Число Милнора

В математике, и особенно в теории особенностей , число Милнора , названное в честь Джона Милнора , является инвариантом ростка функции.

Если f — росток комплекснозначной голоморфной функции, то число Милнора функции f , обозначаемое µ ( f ), является либо неотрицательным целым числом , либо бесконечно . Его можно рассматривать как геометрический инвариант , так и алгебраический инвариант. Вот почему оно играет важную роль в алгебраической геометрии и теории особенностей .

Алгебраическое определение

Рассмотрим голоморфный росток комплексной функции

$f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\$

и обозначим через ${\mathcal {O}}_{n}$ кольцо зародышей всех функциональных $(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$. Каждый уровень функции представляет собой сложную гиперповерхность в $\mathbb {C} ^{n}$, поэтому мы будем называть $f$ гиперповерхностная особенность .

Предположим, что это изолированная особенность : в случае голоморфных отображений мы говорим, что гиперповерхностная особенность $f$ имеет единственное число в $0\in \mathbb {C} ^{n}$ если это градиент $\nabla f$ равен нулю в $0$, и мы говорим, что $0$ является изолированной особой точкой, если это единственная особая точка в достаточно малой окрестности точки $0$. В частности, кратность градиента

$\mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f$

конечен в силу применения теоремы Рюккерта о нулевой точке . Этот номер $\mu (f)$ - число особенности Милнора $f$ в $0$.

Обратите внимание, что кратность градиента конечна тогда и только тогда, когда начало координат является изолированной критической точкой f .

интерпретация

Милнор изначально представил $\mu (f)$ в геометрическом плане следующим образом. Все волокна $f^{-1}(c)$ для ценностей $c$ близко к $0$ являются неособыми многообразиями вещественной размерности $2(n-1)$. Их пересечение с малым открытым диском $D_{\epsilon }$ сосредоточено в $0$ представляет собой гладкое многообразие $F$ называется волокном Милнора. Вплоть до диффеоморфизма $F$ не зависит от $c$ или $\epsilon$ если они достаточно малы. Он также диффеоморфен слою отображения расслоений Милнора .

Волокно Милнора $F$ представляет собой гладкое многообразие размерности $2(n-1)$ и имеет тот же гомотопический тип, и букет что $\mu (f)$ сферы $S^{n-1}$. Это означает, что его среднее число Бетти $b_{n-1}(F)$ равен числу Милнора и имеет гомологию точки размерности меньше $n-1$. Например, комплексная плоская кривая вблизи каждой особой точки. $z_{0}$ имеет волокно Милнора, гомотопное клину $\mu _{z_{0}}(f)$ круги (число Милнора является локальным свойством, поэтому в разных особых точках оно может иметь разные значения).

Таким образом, мы имеем равенства

Число Милнора = количество сфер в клине = среднее число Бетти . $F$ = степень карты $z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}$ на $S_{\epsilon }$ = кратность градиента $\nabla f$

Другой способ посмотреть на число Милнора — это возмущение . Мы говорим, что точка является вырожденной особой точкой или что f имеет вырожденную особенность при $z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ если $z_{0}$ является особой точкой, а матрица Гессе всех частных производных второго порядка имеет нулевой определитель в точке $z_{0}$:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.$

Мы предполагаем, что f имеет вырожденную особенность в точке 0. Мы можем говорить о кратности этой вырожденной особенности, думая о том, сколько точек бесконечно склеено. Если мы теперь возмутим образ f определенным устойчивым образом, то изолированная вырожденная особенность в точке 0 распадется на другие изолированные особенности, которые не являются вырожденными! Число таких изолированных невырожденных особенностей будет равно числу бесконечно мало склеенных точек.

А именно, мы возьмем другой росток функции g , неособый в начале координат, и рассмотрим новый росток функции h := f + εg , где ε очень мало. Когда ε = 0, тогда h = f . Функция h называется морсификацией f ​ . Вычислить особенности h очень сложно , да и вообще это может быть вычислительно невозможно. Это число точек, которые были бесконечно склеены, эта локальная кратность f и есть в точности число Милнора f .

Дальнейшие вклады придают смысл числу Милнора с точки зрения размерности пространства версальных деформаций , т.е. число Милнора — это минимальная размерность пространства параметров деформаций, несущих всю информацию о начальной сингулярности.

Примеры

Здесь мы приводим несколько рабочих примеров с двумя переменными. Работать только с одной слишком просто и не дает ощущения техники, а с тремя переменными может быть довольно сложно. Два – хорошее число. Также мы придерживаемся полиномов. Если f только голоморфен , а не является полиномом, то мы могли бы работать с в степенной ряд разложением f .

1

Рассмотрим росток функции с невырожденной особенностью в точке 0, скажем $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Якобианский идеал – это всего лишь $\langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle$. Далее мы вычисляем локальную алгебру:

${\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .$

Чтобы понять, почему это так, мы можем использовать лемму Адамара , которая гласит, что мы можем написать любую функцию. $h\in {\mathcal {O}}$ как

$h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)$

для некоторой константы k и функций $h_{1}$ и $h_{2}$ в ${\mathcal {O}}$ (где либо $h_{1}$ или $h_{2}$ или оба могут быть в точности нулевыми). Итак, по модулю функциональных кратных x и y мы можем записать h как константу. Пространство постоянных функций натянуто на 1, следовательно ${\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle$

Отсюда следует, что µ ( f ) = 1. Легко проверить, что для любого ростка функции g с невырожденной особенностью в точке 0 получаем µ ( g ) = 1.

Обратите внимание, что применяя этот метод к ростку неособой функции g, мы получаем µ ( g ) = 0.

2

Позволять $f(x,y)=x^{3}+xy^{2}$, затем

${\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .$

Так что в этом случае $\mu (f)=4$.

3

Можно показать, что если $f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}$ затем $\mu (f)=\infty .$

Это можно объяснить тем, что f сингулярна в каждой точке оси x .

Versal Deformations

Пусть f имеет конечное число Милнора µ и пусть $g_{1},\ldots ,g_{\mu }$ быть основой локальной алгебры, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда миниуниверсальная деформация f задается формулой

$F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),$

$F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),$

где $(a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }$.Эти деформации (или развертывания ) представляют большой интерес для большей части науки.

Инвариантность

Мы можем собирать ростки функций вместе, чтобы построить классы эквивалентности . Одной стандартной эквивалентностью является A -эквивалентность . Мы говорим, что два функциональных ростка $f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$ -эквивалентны A , если существуют диффеоморфизмов ростки $\phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)$ и $\psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)$ такой, что $f\circ \phi =\psi \circ g$: существует диффеоморфная замена переменной как в области определения, так и в диапазоне , которая переводит f в g .

Если f и g -эквивалентны A , то µ ( f ) = µ ( g ).

Тем не менее, число Милнора не является полным инвариантом для ростков функций, т. е. обратное неверно: существуют ростки функций f и g с µ ( f ) = µ ( g ), которые не являются A -эквивалентными. Чтобы увидеть это, рассмотрите $f(x,y)=x^{3}+y^{3}$ и $g(x,y)=x^{2}+y^{5}$. У нас есть $\mu (f)=\mu (g)=4$ но f и g не являются A -эквивалентными, поскольку матрица Гессиана f явно равна нулю, а матрица g — нет (а ранг гессиана является A -инвариантом, как легко видеть).

Ссылки

• Арнольд, VI ; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко А.Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений . Том. 1. Биркхойзер .
• Гибсон, Кристофер Г. (1979). Особые точки гладких отображений . Исследования по математике. Питман.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета .
• Милнор, Джон (1969). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета .