A-эквивалентность

В математике , ${\mathcal {A}}$ -эквивалентность , иногда называемая право-левой эквивалентностью , представляет собой отношение эквивалентности между ростками отображения .

Позволять $M$ и $N$ — два многообразия , и пусть $f,g:(M,x)\to (N,y)$ быть двумя гладкими ростками отображения . Мы говорим, что $f$ и $g$ являются ${\mathcal {A}}$ -эквивалентно, если существуют диффеоморфизмов ростки $\phi :(M,x)\to (M,x)$ и $\psi :(N,y)\to (N,y)$ такой, что $\psi \circ f=g\circ \phi .$

Другими словами, два отображения ростка ${\mathcal {A}}$ -эквивалентно, если одно можно перевести в другое диффеоморфной заменой координат в источнике (т.е. $M$ ) и цель (т.е. $N$ ).

Позволять $\Omega (M_{x},N_{y})$ обозначим пространство ростков гладких отображений $(M,x)\to (N,y).$ Позволять ${\mbox{diff}}(M_{x})$ — группа ростков диффеоморфизмов $(M,x)\to (M,x)$ и ${\mbox{diff}}(N_{y})$ — группа диффеоморфизмов ростков $(N,y)\to (N,y).$ Группа $G:={\mbox{diff}}(M_{x})\times {\mbox{diff}}(N_{y})$ действует на $\Omega (M_{x},N_{y})$ естественным путем: $(\phi ,\psi )\cdot f=\psi ^{-1}\circ f\circ \phi .$ Под этим действием мы видим, что отображение микробов $f,g:(M,x)\to (N,y)$ являются ${\mathcal {A}}$ -эквивалентно тогда и только тогда, когда $g$ на орбите лежит $f$ , то есть $g\in {\mbox{orb}}_{G}(f)$ (или наоборот).

Росток отображения называется стабильным, если орбита под действием его $G:={\mbox{diff}}(M_{x})\times {\mbox{diff}}(N_{y})$ открыт относительно топологии Уитни . С $\Omega (M_{x},N_{y})$ является бесконечномерным пространством, метрическая топология уже не является тривиальной. Топология Уитни сравнивает различия последовательных производных и дает понятие близости в бесконечномерном пространстве. Базу открытых множеств рассматриваемой топологии зададим , взяв $k$ -форсунки для каждого $k$ и беря открытые окрестности в обычном евклидовом смысле. Открытые множества в топологии тогда объединениями являются эти базовые наборы.

Рассмотрим орбиту некоторого ростка отображения $orb_{G}(f).$ Карта зародышей $f$ называется простым, если имеется лишь конечное число других орбит в окрестности каждой его точки . Владимир Арнольд показал, что единственные простые сингулярных отображений ростки $(\mathbb {R} ^{n},0)\to (\mathbb {R} ,0)$ для $1\leq n\leq 3$ бесконечная последовательность $A_{k}$ ( $k\in \mathbb {N}$ ), бесконечная последовательность $D_{4+k}$ ( $k\in \mathbb {N}$ ), $E_{6},$ $E_{7},$ и $E_{8}.$