Топологии Уитни

В математике, и особенно в дифференциальной топологии , функциональном анализе и теории особенностей , топологии Уитни представляют собой счетное бесконечное семейство топологий, определенных на множестве гладких отображений между двумя гладкими многообразиями . Они названы в честь американского математика Хасслера Уитни .

Строительство

Пусть M и N — два действительных гладких многообразия. Далее, пусть C ^∞ ( M , N ) обозначают пространство гладких отображений между M и N . Обозначение С ^∞ означает, что отображения бесконечно дифференцируемы, т.е. частные производные всех порядков существуют и непрерывны .

Уитни С ^к -топология

Для некоторого целого числа k ≥ 0 пусть J ^к ( M , N ) обозначают пространство k -струй отображений между M и N . Пространство струи можно наделить гладкой структурой (т.е. структурой типа C ^∞ многообразие), которые превращают его в топологическое пространство. Эта топология используется для определения топологии на C. ^∞ ( М , Н ).

Для фиксированного целого числа k ≥ 0 рассмотрим открытое подмножество U ⊂ J ^к ( M , N ) и обозначим через S ^к ( У ) следующее:

$S^{k}(U)=\{f\in C^{\infty }(M,N):(J^{k}f)(M)\subseteq U\}.$

Наборы S ^к ( U ) образуют основу для Уитни C ^к -топология на C ^∞ ( М , Н ).

Уитни С ^∞ -топология

Для каждого выбора k ≥ 0 функция Whitney C ^к -топология дает топологию для C ^∞ ( М , Н ); другими словами, Уитни С. ^к -топология сообщает нам, какие подмножества C ^∞ ( M , N ) — открытые множества. Обозначим через W ^к множество открытых подмножеств C ^∞ ( M , N ) относительно Уитни C ^к -топология. Тогда Уитни С. ^∞ -топология определяется как топология, базис которой задается W , где:

$W=\bigcup _{k=0}^{\infty }W^{k}.$

Размерность

Обратите внимание, что С ^∞ ( M , N ) имеет бесконечную размерность, тогда как J ^к ( M , N ) имеет конечную размерность. На самом деле, Дж. ^к ( M , N ) — вещественное конечномерное многообразие. Чтобы увидеть это, поставьте ℝ ^к [ x ₁ ,..., x _m ] обозначают пространство многочленов с действительными коэффициентами от m переменных порядка не более k и с нулем в качестве постоянного члена. Это настоящее векторное пространство с размерностью

$\dim \left\{\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}]\right\}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).$

Написание a = dim{ℝ ^к [ x ₁ ,..., x _m ] } тогда по стандартной теории векторных пространств ℝ ^к [ Икс ₁ ,..., Икс _м ] ≅ ℝ ^а , а значит, и вещественное конечномерное многообразие. Далее определите:

$B_{m,n}^{k}=\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}],\implies \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).$

Использование b для обозначения размера B ^к _{m , n} , мы видим, что B ^к _{м , п} ≅ ℝ ^б , а значит, и вещественное конечномерное многообразие.

Фактически, если M и N имеют размерность m и n соответственно, тогда:

$\dim \!\left\{J^{k}(M,N)\right\}=m+n+\dim \!\left\{B_{n,m}^{k}\right\}=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).$

Топология

Учитывая Уитни C ^∞ -топология, пространство C ^∞ ( M , N является пространством Бэра , т.е. каждое остаточное множество плотно . )