Дифференциальная топология

В математике топологическими дифференциальная топология — это область, занимающаяся свойствами и гладкими свойствами. гладких многообразий . В этом смысле дифференциальная топология отличается от тесно связанной области дифференциальной геометрии , которая касается геометрических свойств гладких многообразий, включая понятия размера, расстояния и жесткой формы. Для сравнения: дифференциальная топология занимается более грубыми свойствами, такими как количество дыр в многообразии, его гомотопический тип или структура его группы диффеоморфизмов . Поскольку многие из этих более грубых свойств могут быть зафиксированы алгебраически , дифференциальная топология тесно связана с алгебраической топологией .

Теория Морса функции высоты на торе может описать его гомотопический тип .

Центральной целью области дифференциальной топологии является классификация всех гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма . Поскольку размерность является инвариантом гладких многообразий с точностью до типа диффеоморфизма, эта классификация часто изучается путем классификации ( связных ) многообразий в каждом измерении отдельно:

• В размерности 1 единственные гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма — это окружность , прямая с действительными числами , и допускающая границу полузамкнутый интервал . $[0,1)$ и полностью закрытый интервал $[0,1]$.
• В размерности 2 каждая замкнутая поверхность классифицируется с точностью до диффеоморфизма по ее роду , числу дырок (или, что то же самое, ее эйлеровой характеристике ) и тому, является ли она ориентируемой . Это знаменитая классификация закрытых поверхностей . Уже во втором измерении классификация некомпактных поверхностей становится затруднительной из-за существования экзотических пространств, таких как лестница Якоба .
• В размерности 3 Уильяма Тёрстона , гипотеза геометризации доказанная Григорием Перельманом , даёт частичную классификацию компактных трёхмногообразий. В эту теорему включена гипотеза Пуанкаре , которая утверждает, что любое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно (и фактически диффеоморфно) 3-сфере .

Кобордизм ) , ( W ; M , N обобщающий понятие диффеоморфизма.

Начиная с измерения 4, классификация становится намного сложнее по двум причинам. Во-первых, каждая конечно определенная группа появляется как фундаментальная группа некоторого 4-многообразия , а поскольку фундаментальная группа является инвариантом диффеоморфизма, это делает классификацию 4-многообразий по крайней мере такой же сложной, как и классификацию конечно определенных групп. С помощью проблемы слов для групп , которая эквивалентна проблеме остановки , невозможно классифицировать такие группы, поэтому полная топологическая классификация невозможна. Во-вторых, начиная с четвертого измерения, возможно иметь гомеоморфные гладкие многообразия, но с различными недиффеоморфными гладкими структурами . Это верно даже для евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{4}$, допускающий много экзотики $\mathbb {R} ^{4}$структуры. Это означает, что изучение дифференциальной топологии в размерностях 4 и выше должно использовать инструменты, действительно выходящие за рамки регулярной непрерывной топологии топологических многообразий . Одной из центральных открытых проблем дифференциальной топологии является четырехмерная гладкая гипотеза Пуанкаре , которая спрашивает, каждое ли гладкое 4-многообразие, гомеоморфное 4-сфере , также диффеоморфно ей. То есть допускает ли 4-сфера только одну гладкую структуру ? Согласно приведенным выше результатам классификации, эта гипотеза верна в измерениях 1, 2 и 3, но известно, что она неверна в измерении 7 из-за сфер Милнора .

Важные инструменты изучения дифференциальной топологии гладких многообразий включают построение гладких топологических инвариантов таких многообразий, таких как когомологии де Рама или форма пересечения , а также сглаживаемые топологические конструкции, такие как теория гладких хирургий или конструкция кобордизмов . Теория Морса — важный инструмент изучения гладких многообразий путем рассмотрения критических точек дифференцируемых функций на многообразии, демонстрируя, как гладкая структура многообразия входит в набор доступных инструментов. Часто можно использовать более геометрические или аналитические методы, снабжая гладкое многообразие римановой метрикой или изучая дифференциальное уравнение на нем . Необходимо позаботиться о том, чтобы результирующая информация была нечувствительна к этому выбору дополнительной структуры и поэтому действительно отражала только топологические свойства лежащего в основе гладкого многообразия. Например, теорема Ходжа обеспечивает геометрическую и аналитическую интерпретацию когомологий де Рама, а калибровочная теория использовалась Саймоном Дональдсоном для доказательства фактов о форме пересечения односвязных 4-многообразий. В некоторых случаях могут появиться методы современной физики , такие как топологическая квантовая теория поля , которую можно использовать для вычисления топологических инвариантов гладких пространств.

Известные теоремы дифференциальной топологии включают теорему вложения Уитни , теорему о волосатом шаре , теорему Хопфа , теорему Пуанкаре-Хопфа , теорему Дональдсона и гипотезу Пуанкаре .

Описание

Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, требуется только гладкая структура для определения которых на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут служить препятствиями для определенных типов эквивалентностей и деформаций , существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами , которые позволяют различать разные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сгладить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться искажение пространства и влияние на кривизну или объем.

С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические многообразия . Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры — см. «Экзотическая сфера» и теорему Дональдсона . Мишель Кервер продемонстрировал топологические многообразия вообще без гладкой структуры. Некоторые конструкции теории гладких многообразий, такие как существование касательных расслоений , можно сделать в топологической обстановке, требуя гораздо больше работы, а другие — нет.

Одной из основных тем дифференциальной топологии является изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий , а также пересечений подмногообразий посредством трансверсальности . В более общем плане нас интересуют свойства и инварианты гладких многообразий, переносимые диффеоморфизмами , другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений ранга якобиана функции — еще одна .

Список тем по дифференциальной топологии см. в следующем справочнике: Список тем по дифференциальной геометрии .

топология против

Дополнительная информация: Геометрия и топология.

Дифференциальная топология и дифференциальная геометрия характеризуются прежде всего своим сходством . Оба они изучают в первую очередь свойства дифференцируемых многообразий, иногда с наложением на них множества структур.

Анимация превращения кофейной чашки в форму пончика

Одно из основных различий заключается в характере проблем, которые пытается решить каждый предмет. С одной точки зрения, Дифференциальная топология отличается от дифференциальной геометрии тем, что изучает прежде всего те проблемы, которые по своей сути являются глобальными . Рассмотрим пример кофейной чашки и пончика. С точки зрения дифференциальной топологии пончик и чашка кофе — одно и то же (в некотором смысле). Однако это по своей сути глобальный взгляд, поскольку у дифференциального тополога нет возможности определить, одинаковы ли два объекта (в этом смысле), взглянув лишь на крошечную ( локальную ) часть любого из них. Они должны иметь доступ ко всем ( глобальным ) объектам.

С точки зрения дифференциальной геометрии кофейная чашка и пончик различны, поскольку невозможно повернуть кофейную чашку так, чтобы ее конфигурация совпадала с конфигурацией пончика. Это также глобальный подход к проблеме. Но важным отличием является то, что геометру не нужен весь объект, чтобы решить это. Взглянув, например, на крошечный кусочек ручки, они могут решить, что кофейная чашка отличается от пончика, потому что ручка тоньше (или более изогнута), чем любая часть пончика.

Короче говоря, дифференциальная топология изучает структуры на многообразиях, которые в некотором смысле не имеют интересной локальной структуры. Дифференциальная геометрия изучает структуры на многообразиях, которые имеют интересную локальную (а иногда даже бесконечно малую) структуру.

С математической точки зрения, например, проблема построения диффеоморфизма между двумя многообразиями одной и той же размерности по своей сути является глобальной, поскольку локально два таких многообразия всегда диффеоморфны. Аналогично, проблема вычисления величины на многообразии, инвариантном относительно дифференцируемых отображений, является по своей сути глобальной, поскольку любой локальный инвариант будет тривиален в том смысле, что он уже представлен в топологии многообразия. $\mathbb {R} ^{n}$. Более того, дифференциальная топология не обязательно ограничивается изучением диффеоморфизма. Например, симплектическая топология — подветвь дифференциальной топологии — изучает глобальные свойства симплектических многообразий . Дифференциальная геометрия занимается проблемами, которые могут быть локальными или глобальными, которые всегда имеют некоторые нетривиальные локальные свойства. Таким образом, дифференциальная геометрия может изучать дифференцируемые многообразия, снабженные связностью , метрикой ( которая может быть римановой , псевдоримановой или финслеровой ), особым видом распределения (например, структурой CR ) и так далее.

Однако это различие между дифференциальной геометрией и дифференциальной топологией размывается в вопросах, конкретно касающихся инвариантов локального диффеоморфизма, таких как касательное пространство в точке. Дифференциальная топология также занимается подобными вопросами, которые конкретно относятся к свойствам дифференцируемых отображений на $\mathbb {R} ^{n}$ (например, касательное расслоение , струйное расслоение , теорема расширения Уитни и т. д.).

Различие кратко выражается в абстрактных терминах:

• Дифференциальная топология — это изучение (бесконечно малых, локальных и глобальных) свойств структур на многообразиях, которые имеют только тривиальные локальные модули .
• Дифференциальная геометрия — это исследование структур на многообразиях, которые имеют один или несколько нетривиальных локальных модулей.

См. также

• Список тем дифференциальной геометрии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Важные публикации по дифференциальной геометрии.
• Важные публикации по дифференциальной топологии.
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени

Ссылки

• Блох, Итан Д. (1996). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3840-5 .
• Хирш, Моррис (1997). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90148-0 .
• Лашоф, Ричард (декабрь 1972 г.). «Касательное расслоение топологического многообразия». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1090–1096. дои : 10.2307/2317423 . JSTOR   2317423 .
• Кервер, Мишель А. (декабрь 1960 г.). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». математические комментарии Гельветийские 34 (1): 257–270. дои : 10.1007/BF02565940 .

Внешние ссылки

• «Дифференциальная топология» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]