Теория хирургии

В математике , особенно в геометрической топологии , теория хирургии — это набор методов, используемых для создания одного конечномерного многообразия из другого «контролируемым» способом, введенный Джоном Милнором ( 1961 ). Милнор назвал эту технику хирургией , а Эндрю Уоллес назвал ее сферической модификацией . «Хирургия» на дифференцируемом многообразии M размерности $n=p+q+1$, можно описать как удаление вложенной сферы размера p из M . Первоначально разработанные для дифференцируемых (или гладких ) многообразий, методы хирургии также применимы к кусочно-линейным (PL-) и топологическим многообразиям .

Хирургия подразумевает вырезание частей коллектора и замену его частью другого коллектора, совпадающей по разрезу или границе. Это тесно связано с разложением корпуса ручки , но не идентично ему .

Говоря более технически, идея состоит в том, чтобы начать с хорошо понятного многообразия M и выполнить над ним операцию, чтобы создать многообразие M ', обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы эффекты на гомологии , гомотопические группы или другие инварианты многообразие известно. Относительно простой аргумент с использованием теории Морса показывает, что одно многообразие может быть получено из другого с помощью последовательности сферических модификаций тогда и только тогда, когда эти два многообразия принадлежат одному и тому же классу кобордизмов .

Классификация экзотических сфер Мишелем Кервером и Милнором ( 1963 ) привела к появлению теории хирургии как основного инструмента в многомерной топологии.

Операция на коллекторе

Основное наблюдение

Если X , Y — многообразия с краем, то границей многообразия произведения является

$\partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).$

Основное наблюдение, оправдывающее хирургическое вмешательство, состоит в том, что пространство $S^{p}\times S^{q-1}$ можно понимать либо как границу $D^{p+1}\times S^{q-1}$ или как граница $S^{p}\times D^{q}$. В символах,

$\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)$,

где $D^{q}$ – это q -мерный диск, т. е. множество точек в $\mathbb {R} ^{q}$ находящиеся на расстоянии единицы или меньше от заданной фиксированной точки (центра диска); например, тогда, $D^{1}$ гомеоморфен а единичному интервалу, $D^{2}$ представляет собой круг вместе с точками внутри него.

Хирургия

Теперь, учитывая многообразие M размерности $n=p+q$ и вложение $\phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M$, определим другое n -мерное многообразие $M'$ быть

$M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).$

С $\operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})$ и из уравнения из нашего основного наблюдения выше, склеивание оправдано тогда

$\phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).$

Говорят, что многообразие M ' создается хирургическим вырезанием $S^{p}\times D^{q}$ и вклеивание $D^{p+1}\times S^{q-1}$или с помощью p - хирургии, если нужно указать число p . Строго говоря, M ′ — многообразие с углами, но существует канонический способ их сгладить. Обратите внимание, что подмногообразие, которое было заменено в M, имело ту же размерность, что и M (оно имело коразмерность 0).

Прикрепление меток и кобордизмов

Хирургия тесно связана с прикреплением ручки (но не то же самое) . Учитывая $(n+1)$-многообразие с краем $(L,\partial L)$ и вложение $\phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L$, где $n=p+q$, определите другой $(n+1)$-многообразие с краем L ′ по

$L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).$

Многообразие L ′ получается «присоединением $(p+1)$-ручка", с $\partial L'$ получено от $\partial L$ с помощью p -хирургии

$\partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).$

Перестройка на M не только создает новое многообразие M ′, но также и кобордизм W между M и M ′. След . операции – кобордизм $(W;M,M')$, с

$W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)$

тот $(n+1)$-мерное многообразие с краем $\partial W=M\cup M'$ полученный из продукта $M\times I$ прикрепив $(p+1)$-ручка $D^{p+1}\times D^{q}$.

Хирургия симметрична в том смысле, что многообразие M может быть заново получено из M ′ с помощью $(q-1)$-операция, след которой совпадает со следом исходной операции, вплоть до ориентации.

В большинстве приложений многообразие M имеет дополнительную геометрическую структуру, например отображение некоторого эталонного пространства или дополнительные данные пакета. Затем требуется, чтобы в ходе операции операция наделила M ' такой же дополнительной структурой. Например, стандартным инструментом в теории хирургии является операция на картах нормалей : такой процесс меняет карту нормалей на другую карту нормалей в том же классе бордизмов.

Примеры

1. Операция на круге

   

   Рис. 1

   Согласно приведенному выше определению, операция на круге заключается в вырезании копии $S^{0}\times D^{1}$ и вклеивание $D^{1}\times S^{0}$. Изображения на рис. 1 показывают, что результатом этого является либо (i) $S^{1}$ еще раз, или (ii) две копии $S^{1}$.

   

   Рис. 2а

   

   Рис. 2б

2. Хирургия на 2-сфере

   В этом случае возможностей больше, поскольку мы можем начать с вырезания либо $S^{1}\times D^{1}$ или $S^{0}\times D^{2}$.

   1. $S^{1}\times D^{1}$: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останется два диска. Нам нужно приклеить обратно $S^{0}\times D^{2}$ – то есть два диска – и ясно, что в результате мы получим две непересекающиеся сферы. (рис. 2а)

      

      Рис. 2в. Эту фигуру нельзя встроить в трехмерное пространство.

   2. $S^{0}\times D^{2}$: Вырезав два диска $S^{0}\times D^{2}$, вклеиваем обратно в цилиндр $S^{1}\times D^{1}$. Есть два возможных результата, в зависимости от того, имеют ли наши карты склейки одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных кругах. Если ориентации одинаковы (рис. 2б), то полученное многообразие является тором $S^{1}\times S^{1}$, но если они различны, то получим бутылку Клейна (рис. 2в).
3. Хирургия на н -сфере

   Если $n=p+q$, затем

   $S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}$.

   П - хирургия на ' $S^{n}$ поэтому

   $D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}$.

   Примеры 1 и 2 выше представляют собой особый случай.
4. Функции Морса Предположим, что f — функция Морса на ( n + 1)-мерном многообразии, и предположим, что c — критическое значение с ровно одной критической точкой в ​​прообразе. Если индекс этой критической точки равен $p+1$, то набор уровней $M':=f^{-1}(c+\varepsilon )$ получается из $M:=f^{-1}(c-\varepsilon )$ с помощью p -хирургии. Бордизм $W:=f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])$ можно идентифицировать по следам этой операции.Действительно, на некоторой координатной карте вокруг критической точки функция f имеет вид $-\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$, с $x\in R^{p+1},y\in R^{q}$, и $p+q+1=n+1$. На рис. 3 на этой локальной карте показано многообразие M синим цветом и многообразие M ′ красным. Цветная область между M и M ′ соответствует бордизму W . На рисунке видно, что W диффеоморфно объединению

   $W\cong M\times I\cup _{S^{p}\times D^{q}}D^{p+1}\times D^{q}$

   (пренебрегая вопросом спрямления углов), где $M\times I$ окрашен в желтый цвет, а $D^{p+1}\times D^{q}$ окрашен в зеленый цвет. Таким образом, многообразие M ′, являющееся граничной компонентой W , получается из M с помощью p -перестройки. Поскольку каждый бордизм между замкнутыми многообразиями имеет функцию Морса, где разные критические точки имеют разные критические значения, это показывает, что любой бордизм можно разложить на следы операций ( разложение тела ручки ). В частности, каждое многообразие M можно рассматривать как бордизм границы ∂ M (которая может быть пустой) в пустое многообразие и, таким образом, может быть получено из $\partial M\times I$ прикрепив ручки.

Влияние на гомотопические группы и сравнение

Интуитивно процесс операции представляет собой многообразный аналог прикрепления клетки к топологическому пространству, где вложение $\phi$ занимает место прилагаемой карты. Простое крепление $(p+1)$-ячейка в n -многообразие разрушит структуру многообразия по соображениям размерности, поэтому ее необходимо утолщать путем пересечения с другой ячейкой.

С точностью до гомотопии процесс перестройки вложения $\phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M$ можно охарактеризовать как присоединение $(p+1)$-ячейка, задающая гомотопический тип следа, и отделение q -клетки для получения N . Необходимость процесса отделения можно понимать как эффект двойственности Пуанкаре .

Точно так же, как ячейку можно присоединить к пространству, чтобы уничтожить элемент в некоторой гомотопической группе пространства, p -хирургию на многообразии M. для уничтожения элемента часто можно использовать $\alpha \in \pi _{p}(M)$. Однако важны два момента: во-первых, элемент $\alpha \in \pi _{p}(M)$ должно быть представлено вложением $\phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M$ (что означает вложение соответствующей сферы в тривиальное нормальное расслоение ). Например, невозможно выполнить операцию на петле, меняющей ориентацию. Во-вторых, необходимо учитывать влияние процесса отделения, поскольку он также может оказать влияние на рассматриваемую гомотопическую группу. Грубо говоря, этот второй момент важен только тогда, когда p составляет по крайней мере порядка половины размерности M .

коллекторов

Истоки и основное применение теории хирургии лежат в классификации многообразий размерности больше четырех. Вкратце, организующими вопросами теории хирургии являются:

• Является ли X многообразием?
• Является ли f диффеоморфизмом?

Более формально, задаются эти вопросы с точностью до гомотопии :

• Имеет ли пространство X гомотопический тип гладкого многообразия заданной размерности?
• Является гомотопической эквивалентностью $f\colon M\to N$ между двумя гладкими многообразиями, гомотопными диффеоморфизму?

Оказывается, второй вопрос («единственности») является относительной версией вопроса первого типа («существования»); таким образом, оба вопроса можно решать одними и теми же методами.

Заметим, что теория хирургии не дает полного набора инвариантов для этих вопросов. Напротив, это теория обструкции : существует первичная обструкция и вторичная обструкция, называемая хирургической обструкцией , которая определяется только в том случае, если первичная обструкция исчезает, и которая зависит от выбора, сделанного при проверке исчезновения первичной обструкции.

Хирургический подход

В классическом подходе, разработанном Уильямом Браудером , Сергеем Новиковым , Деннисом Салливаном и С.Т.С. Уоллом , операция проводится на картах нормалей первой степени. С помощью хирургического вмешательства вопрос «Является ли карта нормали $f\colon M\to X$ коборданта степени один гомотопической эквивалентности?" можно перевести (в размерностях больше четырех) в алгебраическое утверждение о некотором элементе в L-группе группового кольца $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]$. Точнее, вопрос имеет положительный ответ тогда и только тогда, когда хирургическая обструкция $\sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])$ равно нулю, где n — размерность M .

Например, рассмотрим случай, когда размерность n = 4k кратна четырем, и $\pi _{1}(X)=0$. Известно, что $L_{4k}(\mathbb {Z} )$ изоморфно целым числам $\mathbb {Z}$; при этом изоморфизме препятствие операции f пропорционально разнице сигнатур $\sigma (X)-\sigma (M)$ X ​ и М. ​Следовательно, нормальное отображение степени один кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда сигнатуры области и ко-области совпадают.

Возвращаясь к вопросу о «существовании» выше, мы видим, что пространство X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда оно получает нормальное отображение степени один, препятствие к перестройке которого исчезает. Это приводит к многоэтапному процессу препятствий: чтобы говорить о нормальных отображениях, X должно удовлетворять соответствующей версии двойственности Пуанкаре , которая превращает его в комплекс Пуанкаре . Предполагая, что X является комплексом Пуанкаре, конструкция Понтрягина–Тома показывает, что нормальное отображение степени один к X существует тогда и только тогда, когда нормальное расслоение Спивака X расслоению имеет редукцию к стабильному векторному . Если нормальные отображения степени один в X существуют, их классы бордизмов (называемые нормальными инвариантами ) классифицируются набором гомотопических классов. $[X,G/O]$. Каждый из этих нормальных инвариантов имеет хирургическое препятствие; X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда одно из этих препятствий равно нулю. Другими словами, это означает, что имеется выбор нормального инварианта с нулевым изображением под картой препятствий операции.

$[X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).$

Структурные наборы и

Концепция набора структур является объединяющей основой как для вопросов существования, так и для уникальности. Грубо говоря, структурное множество пространства X состоит из гомотопических эквивалентностей M → X из некоторого многообразия в X , где два отображения отождествляются по отношению типа бордизма. структурного множества пространства X Необходимым (но, вообще говоря, не достаточным) условием непустоты является то, что X является n -мерным комплексом Пуанкаре, т. е. чтобы группы гомологий и когомологий были связаны изоморфизмами $H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)$ -мерного многообразия n для некоторого целого числа n . В зависимости от точного определения и категории многообразий ( гладких , PL или топологических ) существуют различные версии структурных множеств. Поскольку по теореме о s-кобордизме некоторые бордизмы между многообразиями изоморфны (в соответствующей категории) цилиндрам, понятие структурного множества допускает классификацию даже с точностью до диффеоморфизма .

Набор структур и карта хирургических препятствий объединяются в точной последовательности операции . Эта последовательность позволяет определить структурный набор комплекса Пуанкаре после понимания карты препятствий операции (и ее относительной версии). В важных случаях набор гладких или топологических структур можно вычислить с помощью точной последовательности операции. Примерами являются классификация экзотических сфер и доказательства гипотезы Бореля для многообразий отрицательной кривизны и многообразий с гиперболической фундаментальной группой.

В топологической категории точная последовательность операции — это длинная точная последовательность, индуцированная расслоений спектров последовательностью . Это означает, что все множества, входящие в последовательность, на самом деле являются абелевыми группами. На уровне спектра карта препятствий операции представляет собой карту сборки , слоем которой является пространство блочной структуры соответствующего многообразия.

См. также

• теорема о s-кобордизме
• теорема о h-кобордизме
• Кручение Уайтхеда
• Операция Дена
• Разложение многообразия
• Характер ориентации
• Сантехника (математика)

Ссылки

• Милнор, Джон (2007). Сборник статей Джона Милнора III Дифференциальная топология . АМС . ISBN  978-0-8218-4230-0 .
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных коллекторах , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0358813
• Каппелл, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан , ред. (2000), Обзоры по теории хирургии. Том. 1 (PDF) , Анналы математических исследований, том. 145, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-04938-0 , МР   1746325
• Каппелл, Сильвен; Раницки, Эндрю; Розенберг, Джонатан, ред. (2001), Обзоры по теории хирургии. Том. 2 (PDF) , Анналы математических исследований, том. 149, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08815-0 , МР   1818769
• Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963), «Группы гомотопических сфер: I», Annals of Mathematics , 77 (3): 504–537, doi : 10.2307/1970128 , JSTOR   1970128 , MR   0148075
• Милнор, Джон Уиллард (1961), «Процедура уничтожения гомотопических групп дифференцируемых многообразий», Proc. Симпозиумы. Чистая математика., Vol. III , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 39–55, MR   0130696.
• Милнор, Джон Уиллард (1965), Лекции по теореме h-кобордизма , Заметки Лорана Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton University Press , MR   0190942
• Постников Микаил М. ; Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Хирургия Морса» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Раницки, Эндрю (1980), «Алгебраическая теория хирургии. I. Основы» (PDF) , Proceedings of the London Mathematical Society , 40 (3): 87–192, CiteSeerX   10.1.1.309.4753 , doi : 10.1112/plms /s3-40.1.87
• Раницки, Эндрю (1980), «Алгебраическая теория хирургии. II. Приложения к топологии» (PDF) , Труды Лондонского математического общества , 40 (2): 193–283, doi : 10.1112/plms/s3-40.2. 193
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0 , МР   2061749
• Уолл, CTC (1999) [1970], Раницки, Эндрю (ред.), Хирургия на компактных многообразиях (PDF) , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0942-6 , МР   1687388

Внешние ссылки

• Теория хирургии для любителей
• Эдинбургская группа по изучению теории хирургии
• 2012 Семинар в Обервольфахе по теории хирургии в рамках проекта Manifold Atlas Project.
• 2012 Регенсбургский блок-семинар по теории хирургии в рамках проекта Manifold Atlas Project.
• Гарвардский курс хирургии Джейкоба Лурье 2011 г. Конспект лекций
• Домашняя страница Эндрю Раницки
• Домашняя страница Шмуэля Вайнбергера