Карта сборки

В математике . карты сборки понятием в геометрической топологии являются важным С теоретико - гомотопической точки зрения отображение сборки представляет собой универсальную аппроксимацию гомотопически-инвариантного функтора теорией гомологии слева. С геометрической точки зрения карты сборки соответствуют «собранию» локальных данных в пространстве параметров для получения глобальных данных.

Отображения сборки для алгебраической K-теории и L-теории играют центральную роль в топологии многообразий большой размерности , поскольку их гомотопические слои имеют прямой геометрический

-теоретическая

Это классический результат, что для любой обобщенной теории гомологии $h_{*}$ в категории топологических пространств (считающихся гомотопически эквивалентными CW-комплексам ) существует спектр $E$ такой, что

$h_{*}(X)\cong \pi _{*}(X_{+}\wedge E),$

где $X_{+}:=X\sqcup \{*\}$.

Функтор $X\mapsto X_{+}\wedge E$ от пространств к спектрам обладает следующими свойствами:

• Он гомотопически инвариантен (сохраняет гомотопическую эквивалентность). Это отражает тот факт, что $h_{*}$ гомотопически инвариантен.
• Он сохраняет гомотопические кодекартовы квадраты. Это отражает тот факт, что $h_{*}$ имеет последовательности Майера-Виеториса , эквивалентную характеристику иссечения.
• Он сохраняет произвольные копроизведения . Это отражает аксиому непересекающегося союза $h_{*}$.

Функтор от пространств к спектрам, обладающий этими свойствами, называется эксизивным .

Теперь предположим, что $F$ является гомотопически-инвариантным, не обязательно акцизным функтором. Карта сборки — это естественное преобразование $\alpha \colon F^{\%}\to F$ из некоторого акцизного функтора $F^{\%}$ к $F$ такой, что $F^{\%}(*)\to F(*)$ является гомотопической эквивалентностью.

Если мы обозначим через $h_{*}:=\pi _{*}\circ F^{\%}$ связанной с ней теории гомологии, следует, что индуцированное естественное преобразование градуированных абелевых групп $h_{*}\to \pi _{*}\circ F$ — это универсальное преобразование от теории гомологии к $\pi _{*}\circ F$, т.е. любое другое преобразование $k_{*}\to \pi _{*}\circ F$ из какой-то теории гомологии $k_{*}$ факторы уникальным образом посредством трансформации теорий гомологии $k_{*}\to h_{*}$.

Отображения сборки существуют для любого гомотопически инвариантного функтора благодаря простой теоретико-гомотопической конструкции.

точка

Как следствие последовательности Майера-Виеториса , значение эксцизивного функтора в пространстве $X$ зависит только от его значения на «маленьких» подпространствах $X$, вместе со знанием того, как пересекаются эти небольшие подпространства. В цикловом представлении соответствующей теории гомологии это означает, что все циклы должны быть представимы малыми циклами. Например, для сингулярных гомологии свойство вырезания доказывается подразделением симплексов с получением сумм малых симплексов, представляющих произвольные классы гомологии.

В этом духе для некоторых гомотопически-инвариантных функторов, которые не являются акцизными, соответствующая эксизивная теория может быть построена путем наложения «условий управления», приводящих к области управляемой топологии . На этом рисунке карты сборки представляют собой карты «контроля забывания», т. е. они создаются в результате забывания условий управления.

в

Отображения сборки изучаются в геометрической топологии в основном для двух функторов $L(X)$, алгебраическая L- теория $X$, и $A(X)$, алгебраическая K-теория пространств $X$. Фактически гомотопические слои обоих отображений сборки имеют прямую геометрическую интерпретацию, когда $X$ является компактным топологическим многообразием. Поэтому знания о геометрии компактных топологических многообразий можно получить, изучая $K$- и $L$-теории и соответствующие им карты сборки.

В случае $L$-теория, гомотопический слой $L_{\%}(M)$ соответствующей карты сборки $L^{\%}(M)\to L(M)$, оцененный на компактном топологическом многообразии $M$, гомотопически эквивалентен пространству блочных структур $M$. Более того, последовательность расслоений

$L_{\%}(M)\to L^{\%}(M)\to L(M)$

индуцирует длинную точную последовательность гомотопических групп, которую можно отождествить с точной хирургической последовательностью $M$. Это можно назвать фундаментальной теоремой теории хирургии , и она была развита впоследствии Уильямом Браудером , Сергеем Новиковым , Деннисом Салливаном , С.Т.С. Уоллом , Фрэнком Куинном и Эндрю Раницки .

Для $A$-теория, гомотопический слой $A_{\%}(M)$ соответствующего ассемблерного отображения гомотопически эквивалентно пространству стабильных h-кобордизмов на $M$. Этот факт называется стабильной параметризованной теоремой о h-кобордизме , доказанной Вальдхаузеном-Яреном-Рогнесом. Ее можно рассматривать как параметризованную версию классической теоремы, которая утверждает, что классы эквивалентности h-кобордизмов на $M$ находятся в однозначном соответствии с элементами группы Уайтхеда . $\pi _{1}(M)$.