комплекс ХО

Комплекс CW (также называемый клеточным комплексом или клеточным комплексом ) — это своего рода топологическое пространство , которое особенно важно в алгебраической топологии . Его представил JHC Whitehead. для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторную природу, позволяющую производить вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом). Буква C означает «конечное замыкание», а буква W означает «слабую» топологию.

Определение

Комплекс ХО

Комплекс CW строится путем объединения последовательности топологических пространств

$$\emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots$$

такой, что каждый $X_{k}$ получается из $X_{k-1}$ путем склеивания копий k-клеток $(e_{\alpha }^{k})_{\alpha }$, каждый гомеоморфен открытому $k$- мяч $D^{k}$, к $X_{k-1}$ путем непрерывной склейки карт $g_{\alpha }^{k}:\partial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}$. Карты также называются прикрепленными картами .

Каждый $X_{k}$ называется k-скелетом комплекса.

Топология $X=\cup _{k}X_{k}$ слабая топология : подмножество $U\subset X$ открыт , если только $U\cap e_{\alpha }^{k}$ открыт для каждой ячейки $e_{\alpha }^{k}$.

На языке теории категорий топология на $X$ является прямым пределом диаграммы

$$X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots$$

Название «CW» означает «слабая топология с конечным замыканием», что объясняется следующей теоремой:

Теорема . Хаусдорфово пространство X гомеоморфно комплексу CW тогда и только тогда, когда существует разбиение X . на «открытые клетки» $e_{\alpha }^{k\circ }$, каждый из которых имеет соответствующее замыкание (или «закрытую ячейку») $e_{\alpha }^{k}:=cl(e_{\alpha }^{k\circ })$ что удовлетворяет:

• Для каждого $e_{\alpha }^{k}$, существует непрерывная сюръекция $g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to e_{\alpha }^{k}$ из $k$-мерный закрытый шар такой, что
  • Ограничение на открытый мяч $g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k\circ }$является гомеоморфизмом .
  • (замыкание-конечность) Образ границы $g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})$ покрыто конечным числом замкнутых ячеек, каждая из которых имеет размерность меньше k.
• (слабая топология) Подмножество X замкнуто тогда и только тогда , когда оно встречается с каждой закрытой ячейкой в ​​замкнутом множестве.

Это разделение X также называется ячейкой .

Конструкция словами

Комплексная конструкция CW представляет собой прямое обобщение следующего процесса:

• 0- мерный комплекс CW — это просто набор из нуля или более дискретных точек (с дискретной топологией ).
• Одномерный комплекс CW строится путем несвязного объединения 0-мерного комплекса CW с одной или несколькими копиями единичного интервала . Для каждой копии существует карта, которая « приклеивает » ее границу (две ее конечные точки) к элементам 0-мерного комплекса (точкам). Топология комплекса CW — это топология факторпространства, определяемая этими отображениями склейки.
• В общем, n-мерный комплекс CW строится путем несвязного объединения k -мерного комплекса CW (для некоторых $k<n$) с одной или несколькими копиями n -мерного шара . Для каждой копии существует карта, «склеивающая» ее границу (карта $(n-1)$-мерная сфера ) к элементам $k$-мерный комплекс. Топология комплекса CW — это фактортопология, определяемая этими отображениями склейки.
• можно Бесконечномерный комплекс CW построить, повторив описанный выше процесс счетное количество раз. Поскольку топология объединения $\cup _{k}X_{k}$неопределенна, принимается топология прямого предела, поскольку диаграмма весьма наводит на мысль о прямом пределе. Оказывается, это имеет большие технические преимущества.

Штатные комплексы CW

Регулярный комплекс CW — это комплекс CW, отображения склейки которого являются гомеоморфизмами. Соответственно, разбиение X еще называют регулярной ячейкой .

Граф без петель представляется регулярным одномерным CW-комплексом. Замкнутый двухклеточный граф, вложенный на поверхность , представляет собой регулярный двумерный CW-комплекс. Наконец, гипотеза о регулярной ячеистости 3-сфер утверждает, что каждый 2-связный граф является 1-скелетом регулярного CW-комплекса на 3-мерной сфере .

CW

Грубо говоря, относительный комплекс CW отличается от комплекса CW тем, что мы позволяем ему иметь один дополнительный строительный блок, который не обязательно имеет клеточную структуру. Этот дополнительный блок можно рассматривать как (-1)-мерную ячейку в первом определении.

Примеры

0-мерные комплексы CW

Каждое дискретное топологическое пространство представляет собой 0-мерный комплекс CW.

1-мерные комплексы CW

Некоторые примеры одномерных комплексов CW:

• Интервал . Его можно построить из двух точек ( x и y ) и одномерного шара B (интервала), так что одна конечная точка B приклеена к x , а другая приклеена к y . Две точки x и y — это 0-ячейки; внутренняя часть B - это 1-ячейка. Альтернативно, его можно построить только из одного интервала, без нулевых ячеек.
• Круг . Его можно построить из одной точки x и одномерного шара B так, что обе конечные точки B приклеены к x . В качестве альтернативы его можно построить из двух точек x и y и двух одномерных шаров A и B так, что концы A приклеены к x и y , а концы B приклеены к x и y . тоже
• График. Учитывая граф , можно построить одномерный комплекс CW, в котором 0-ячейки являются вершинами, а 1-ячейки являются ребрами графа. Концы каждого ребра отождествляются с инцидентными ему вершинами. Эту реализацию комбинаторного графа как топологического пространства иногда называют топологическим графом .
  • 3-регулярные графы можно рассматривать как общие 1-мерные комплексы CW. В частности, если X является одномерным комплексом CW, карта присоединения для 1-клетки представляет собой карту из двухточечного пространства в X , $f:\{0,1\}\to X$. Это отображение можно исказить так, чтобы оно не пересекалось с 0-скелетом X тогда и только тогда, когда $f(0)$ и $f(1)$ не являются 0-валентными вершинами X .
• Стандартная структура CW для действительных чисел имеет 0-скелет целых чисел. $\mathbb {Z}$ и как 1-ячейки интервалы $\{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}$. Аналогично, стандартная структура CW на $\mathbb {R} ^{n}$ имеет кубические ячейки, которые являются произведениями 0 и 1-ячеек из $\mathbb {R}$. Это стандартная структура ячеек кубической решетки на $\mathbb {R} ^{n}$.

Конечномерные комплексы CW

Некоторые примеры конечномерных комплексов CW:

• n - мерная сфера . Он допускает структуру CW с двумя ячейками: одной 0-ячейкой и одной n-ячейкой. Здесь n-ячейка $D^{n}$ прикрепляется постоянным отображением от его границы $S^{n-1}$к единственной 0-ячейке. Альтернативное клеточное разложение имеет одну ( n -1)-мерную сферу (« экватор ») и две прикрепленные к ней n -клетки («верхнее полушарие» и «нижнее полушарие»). Индуктивно это дает $S^{n}$ разложение CW с двумя ячейками в каждом измерении k такое, что $0\leq k\leq n$.
• n - мерное реальное проективное пространство . Он допускает структуру CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.
• Терминология общего двумерного комплекса CW — тень .
• Многогранник , естественно, представляет собой комплекс CW.
• Грассмановы многообразия допускают структуру CW, называемую клетками Шуберта .
• Дифференцируемые многообразия , алгебраические и проективные многообразия имеют гомотопический тип комплексов CW.
• Одноточечная компактификация со сборками гиперболического многообразия имеет каноническое разложение CW только с одной 0-клеткой (точкой компактификации), называемое разложением Эпштейна – Пеннера . Такие клеточные разложения часто называют разложениями идеальных многогранников и используются в популярных компьютерных программах, таких как SnapPea .

Не CW-комплексы

• Бесконечномерное гильбертово пространство не является комплексом CW: оно является пространством Бэра и поэтому не может быть записано как счетное объединение n -скелетов, каждый из которых представляет собой замкнутое множество с пустой внутренностью. Этот аргумент распространяется на многие другие бесконечномерные пространства.
• ежика Пространство $\{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C}$ гомотопен комплексу CW (точке), но не допускает разложения CW, так как не локально стягиваем .
• Гавайская серьга не гомотопна комплексу CW. Он не имеет разложения CW, поскольку не является локально сжимаемым в начале. Он не гомотопически эквивалентен комплексу CW, поскольку у него нет хорошего открытого покрытия.

Свойства

• Комплексы CW локально сжимаемы (Хэтчер, предложение A.4).
• Если пространство гомотопно комплексу CW, то оно имеет хорошее открытое покрытие. Хорошее открытое покрытие — это открытое покрытие, в котором каждое непустое конечное пересечение стягиваемо.
• Комплексы ХО являются паракомпактными . Конечные комплексы CW компактны . Компактное подпространство комплекса CW всегда содержится в конечном подкомплексе.
• Комплексы CW удовлетворяют теореме Уайтхеда : отображение между комплексами CW является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах.
• Пространство покрытия комплекса КС также является комплексом КС.
• Продукт двух комплексов CW можно превратить в комплекс CW. В частности, если X и Y являются комплексами CW, то можно сформировать комплекс CW X × Y , в котором каждая ячейка является продуктом клетки в X и клетки в Y , наделенной слабой топологией . Базовый набор X × Y тогда является декартовым произведением X и . Y , как и ожидалось Кроме того, слабая топология на этом множестве часто согласуется с более знакомой топологией произведения на X × Y , например, если X или Y конечны. Однако слабая топология может быть тоньше, чем топология произведения, например, если ни X , ни Y не являются локально компактными . В этом неблагоприятном случае произведение X × Y в топологии произведения не является CW-комплексом. С другой стороны, произведение X и Y в категории компактно порожденных пространств согласуется со слабой топологией и, следовательно, определяет комплекс CW.
• Пусть X и Y — комплексы CW. Тогда функциональные пространства Hom( X , Y ) (с компактно-открытой топологией являются не ) вообще CW-комплексами. Если X конечно, то Hom( X , Y ) гомотопически эквивалентен комплексу CW по теореме Джона Милнора (1959). Обратите внимание, что X и Y являются компактно порожденными хаусдорфовыми пространствами , поэтому Hom( X , Y ) часто берется с компактно порожденным вариантом компактно-открытой топологии; приведенные выше утверждения остаются верными.

когомологии комплексов

Сингулярные гомологии и когомологии комплексов CW легко вычислить с помощью клеточной гомологии . Более того, в категории комплексов CW и клеточных карт клеточную гомологию можно интерпретировать как теорию гомологии . Чтобы вычислить необычную теорию (ко) гомологий для комплекса CW, спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха является аналогом клеточной гомологии .

Некоторые примеры:

• Для сферы, $S^{n},$возьмем разложение ячеек с двумя ячейками: одной 0-ячейкой и одной n -ячейкой. клеточной цепи гомологии Комплекс $C_{*}$ и гомологии определяются как:

$C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}$

поскольку все дифференциалы равны нулю.

Альтернативно, если мы используем экваториальное разложение с двумя ячейками в каждом измерении

$C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

а дифференциалы представляют собой матрицы вида $\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).$ Это дает то же самое вычисление гомологии, что и выше, поскольку цепной комплекс точен во всех терминах, кроме $C_{0}$ и $C_{n}.$

• Для $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ мы получаем аналогично

$H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Оба приведенных выше примера особенно просты, поскольку гомология определяется количеством клеток, т.е. карты прикрепления клеток не играют никакой роли в этих вычислениях. Это совершенно частное явление и не является показателем общего случая.

Модификация структур CW

Существует разработанная Уайтхедом методика замены комплекса CW гомотопически эквивалентным комплексом CW, имеющим более простое разложение CW.

Рассмотрим, например, произвольный комплекс CW. Его 1-скелет может быть довольно сложным, поскольку представляет собой произвольный граф . Теперь рассмотрим максимальный лес F в этом графе. Поскольку это совокупность деревьев, а деревья сжимаемы, рассмотрим пространство $X/{\sim }$ где отношение эквивалентности порождается формулой $x\sim y$если они содержатся в общем дереве максимального леса F . Карта коэффициентов $X\to X/{\sim }$является гомотопической эквивалентностью. Более того, $X/{\sim }$ естественным образом наследует структуру CW, где ячейки соответствуют ячейкам $X$которые не содержатся F. в В частности, 1-скелет $X/{\sim }$ представляет собой непересекающееся объединение клиньев окружностей.

Другой способ сформулировать вышесказанное состоит в том, что связный комплекс CW можно заменить гомотопически эквивалентным комплексом CW, 0-скелет которого состоит из одной точки.

Рассмотрим подъем по лестнице связности: предположим, что X — односвязный CW-комплекс, 0-скелет которого состоит из точки. Можем ли мы путем соответствующих модификаций заменить X гомотопически эквивалентным комплексом CW, где $X^{1}$состоит из одной точки? Ответ: да. Первый шаг – заметить, что $X^{1}$ и прилагаемые карты для построения $X^{2}$ от $X^{1}$сформировать групповую презентацию . Теорема Титце для представлений групп утверждает, что существует последовательность шагов, которые мы можем выполнить, чтобы свести это представление группы к тривиальному представлению тривиальной группы. Есть два хода Титце:

1) Добавление/удаление генератора. Добавление генератора с точки зрения разложения CW состоит из добавления 1-ячейки и 2-ячейки, карта присоединения которых состоит из новой 1-ячейки, а остальная часть карты присоединения находится в $X^{1}$. Если мы позволим ${\tilde {X}}$ – соответствующий комплекс CW ${\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}$ тогда существует гомотопическая эквивалентность ${\tilde {X}}\to X$ задается путем перемещения новой 2-ячейки в X .

2) Добавление/удаление отношения. Действие добавления отношения аналогично, только одно заменяет X на ${\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}$ где новая 3- ячейка имеет карту прикрепления, состоящую из новой 2-ячейки и отображения остатка в $X^{2}$. Подобный слайд дает гомотопическую эквивалентность ${\tilde {X}}\to X$.

Если CW-комплекс X n -связен , можно найти гомотопически эквивалентный CW-комплекс ${\tilde {X}}$ чей n -скелет $X^{n}$состоит из одной точки. Аргумент в пользу $n\geq 2$ похож на $n=1$ случае только заменяют ходы Титце для представления фундаментальной группы на элементарные матричные операции для матриц представления для $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$ (с использованием матриц представления, происходящих из клеточной гомологии , т. е.: можно аналогичным образом реализовать элементарные матричные операции с помощью последовательности добавления/удаления ячеек или подходящих гомотопий присоединяемых карт.

Категория гомотопий «The»

Гомотопическая категория комплексов CW является, по мнению некоторых экспертов, лучшим, если не единственным кандидатом на гомотопическую версия для точечных пространств ). категорию (по техническим причинам фактически используется Иногда приходится использовать вспомогательные конструкции, дающие пространства, не являющиеся комплексами CW. Одним из основных результатов является то, что представимые функторы в гомотопической категории имеют простую характеризацию ( теорема Брауна о представимости ).

См. также

• Абстрактный клеточный комплекс
• Понятие комплекса CW имеет адаптацию к гладким многообразиям , называемую декомпозицией ручки , которая тесно связана с теорией хирургии .

Ссылки

Общие ссылки

• Ланделл, AT; Вейнграм, С. (1970). Топология комплексов CW . Серия Университета Ван Ностранда по высшей математике. ISBN  0-442-04910-2 .
• Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Трактаты Европейского математического общества по математике, том 15. ISBN  978-3-03719-083-8 . Более подробная информация на [1] домашней странице первого автора]