SnapPea

SnapPea — бесплатное программное обеспечение, разработанное, чтобы помочь математикам , в частности топологам малой размерности , изучать гиперболические трехмерные многообразия . Основной разработчик — Джеффри Уикс , создавший первую версию. ^[1] в рамках своей докторской диссертации, ^[2] под руководством Уильяма Терстона . Его не следует путать с несвязанной вредоносной программой для Android с таким же названием. ^[3]^[4]^[5]

Последняя версия — 3.0d3. Марк Каллер , Натан Данфилд и его коллеги расширили ядро SnapPea и написали модули расширения Python , которые позволяют использовать ядро в программе Python или в интерпретаторе. Они также предоставляют графический пользовательский интерфейс, написанный на Python, который работает под большинством операционных систем (см. внешние ссылки ниже).

Следующие люди указаны в списке благодарностей SnapPea 2.5.3: Колин Адамс , Билл Арвесон , Пэт Каллахан , Джо Кристи , Дэйв Габай , Чарли Ганн , Мартин Хильдебранд , , Крейг Ходжсон , Дайан Хоффосс AC Manoharan , Эл Марден , Дик МакГи , Роб Мейерхофф , Ли Мошер , Уолтер Нойман , Карло Петронио , Марк Филлипс , Алан Рид и Макото Сакума .

Исходный код C подробно комментируется Джеффри Уиксом и содержит полезные описания математических операций, связанных со ссылками.

SnapPeaKernel выпускается под лицензией GNU GPL 2+. ^[6] как и SnapPy. ^[7]

Алгоритмы и функции

В основе SnapPea лежат два основных алгоритма. Первые попытки найти минимальную идеальную триангуляцию данного звена дополняют . Второй вычисляет каноническое разложение с точками возврата гиперболического трехмерного многообразия . Почти все остальные функции SnapPea так или иначе основаны на одной из этих декомпозиций.

Минимальная идеальная триангуляция

SnapPea вводит данные в различных форматах. Имея диаграмму связей , SnapPea может в идеале триангулировать дополнение ссылок . Затем он выполняет последовательность упрощений, чтобы найти локально минимальную идеальную триангуляцию.

Как только подходящая идеальная триангуляция будет найдена, SnapPea может попытаться найти гиперболическую структуру. В своих конспектах лекций в Принстоне Терстон отметил метод описания геометрической формы каждого гиперболического тетраэдра комплексным числом и набором нелинейных уравнений комплексных переменных, решение которых дало бы полную гиперболическую метрику на трехмерном многообразии. Эти уравнения состоят из уравнений ребра и уравнений возврата (полноты) . SnapPea использует итерационный метод, использующий метод Ньютона для поиска решений. Если решения не существует, то об этом сообщается пользователю.

Локальная минимальность триангуляции предназначена для увеличения вероятности существования такого решения, поскольку эвристически можно ожидать, что такая триангуляция будет «выпрямлена», не вызывая вырождений или перекрытия тетраэдров.

На основании этого описания гиперболической структуры дополнения связей SnapPea может затем выполнить гиперболическое заполнение Дена точек возврата, чтобы получить больше гиперболических трехмерных многообразий. SnapPea делает это, беря любые заданные наклоны, которые определяют определенные уравнения заполнения Дена (также объясненные в заметках Терстона), а затем корректируя формы идеальных тетраэдров, чтобы получить решения этих уравнений и уравнений ребер. Почти для всех наклонов это дает неполную гиперболическую структуру на дополнении зацепления, пополнение которой дает гиперболическую структуру на многообразии, заполненном Деном. Его объем представляет собой сумму объемов скорректированных тетраэдров.

Каноническое разложение

SnapPea обычно может вычислить каноническое разложение гиперболического трехмерного многообразия с точками возврата по заданной идеальной триангуляции. Если нет, то он случайным образом выполняет ретриангуляцию и пытается снова. Никогда еще не было известно, что это терпит неудачу.

Каноническое разложение позволяет SnapPea различать два гиперболических 3-многообразия с сборками, превращая проблему распознавания в комбинаторный вопрос, т.е. проверяя, имеют ли эти два многообразия комбинаторно эквивалентные канонические разложения. SnapPea также может проверить, являются ли два замкнутых гиперболических 3-многообразия изометрическими, путем сверления коротких геодезических линий для создания гиперболических 3-многообразий с точками возврата и последующего использования канонического разложения, как и раньше.

Алгоритм распознавания позволяет SnapPea различать два гиперболических узла или связи. Уикс и др. также смогли составить различные переписи гиперболических 3-многообразий, используя алгоритм для отсеивания списков дубликатов.

Кроме того, благодаря каноническому разложению SnapPea может:

Вычислить домен Форда
Вычислить группу симметрии

Вычислимые инварианты

Переписи населения

SnapPea имеет несколько баз данных гиперболических трехмерных многообразий, доступных для систематического изучения.

Скошенная перепись
Закрытая перепись

См. также

Регина включает в себя аспекты SnapPea.
Вычислительная топология

Ссылки

^ Уикс, Джеффри Р., Исходный код SnapPea C, (1999)
^ Уикс, Джеффри Р., Выпуклые оболочки и изометрии гиперболических $3$-многообразий с точками возврата. Топология Appl. 52 (1993), вып. 2, 127–149.
^ Фокс-Брюстер, Томас. «Хакеры Android-«гулиганов» только что совершили самую крупную кражу учетных записей Google в истории» . Forbes.com . Проверено 21 мая 2017 г.
^ «Рекламное ПО или APT — SnapPea Downloader — вредоносное ПО для Android, реализующее 12 различных эксплойтов» . Блог Check Point . 10 июля 2015 года . Проверено 21 мая 2017 г.
^ «Как управлять устройством Android из Windows с помощью SnapPea» . Howtogeek.com . 4 февраля 2013 года . Проверено 21 мая 2017 г.
^ Файл ReadMe для ядра SnapPea , по состоянию на 6 сентября 2013 г.
^ «SnapPy — документация SnapPy 2.1» . Math.uic.edu . Проверено 12 марта 2014 г.

Внешние ссылки

Сайт SnapPea Джеффа Уикса
SnapPy Culler и расширение Данфилда
Расширение Orb Дамиана Херда позволяет:

гиперболические многообразия с вполне геодезической границей
орбифолды, где локус орбифолда содержит трехвалентные вершины

[1] Уикс, Джеффри Р., Исходный код SnapPea C, (1999)

[2] Уикс, Джеффри Р., Выпуклые оболочки и изометрии гиперболических $3$-многообразий с точками возврата. Топология Appl. 52 (1993), вып. 2, 127–149.

[3] Фокс-Брюстер, Томас. «Хакеры Android-«гулиганов» только что совершили самую крупную кражу учетных записей Google в истории» . Forbes.com . Проверено 21 мая 2017 г.

[4] «Рекламное ПО или APT — SnapPea Downloader — вредоносное ПО для Android, реализующее 12 различных эксплойтов» . Блог Check Point . 10 июля 2015 года . Проверено 21 мая 2017 г.

[5] «Как управлять устройством Android из Windows с помощью SnapPea» . Howtogeek.com . 4 февраля 2013 года . Проверено 21 мая 2017 г.

[6] Файл ReadMe для ядра SnapPea , по состоянию на 6 сентября 2013 г.

[7] «SnapPy — документация SnapPy 2.1» . Math.uic.edu . Проверено 12 марта 2014 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]