Гиперболическое 3-многообразие

В математике , точнее в топологии и дифференциальной геометрии , гиперболическое 3-многообразие — это многообразие размерности 3, снабженное гиперболической метрикой , то есть римановой метрикой которой , все секционные кривизны равны −1. Обычно требуется, чтобы эта метрика была также полной : в этом случае многообразие можно реализовать как фактор трехмерного гиперболического пространства по дискретной группе изометрий ( клеиновой группе ).

Гиперболические 3-многообразия конечного объема имеют особое значение в 3-мерной топологии Терстона, , как это следует из гипотезы геометризации доказанной Перельманом. Изучение клейновых групп также является важной темой геометрической теории групп .

в

Гиперболическая геометрия — самая богатая и наименее понятная из восьми геометрий размерности 3 (например, для всех остальных геометрий нетрудно дать явную нумерацию многообразий конечного объема с этой геометрией, а это далеко не так. случай гиперболических многообразий ). Таким образом, после доказательства гипотезы геометризации понимание топологических свойств гиперболических трехмерных многообразий становится основной целью трехмерной топологии. Недавние открытия Кана-Марковича, Уайза, Агола и других ответили на большинство давних открытых вопросов по этой теме, но есть еще много менее важных вопросов, которые не решены.

В размерности 2 почти все замкнутые поверхности гиперболичны (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Клейна). В размерности 3 это далеко не так: существует много способов построить бесконечное количество негиперболических замкнутых многообразий. С другой стороны, эвристическое утверждение о том, что «общее 3-многообразие имеет тенденцию быть гиперболическим», подтверждается во многих контекстах. Например, любой узел, который не является ни узлом-спутником , ни узлом тора, является гиперболическим. Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле дают гиперболическое многообразие. Аналогичный результат верен и для связей ( гиперболическая теорема Дена Терстона о перестройках), и поскольку все 3-многообразия получаются как операции на звене в 3-сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Другой смысл, в котором «почти все» многообразия являются гиперболическими в размерности 3, — это случайные модели. Например, случайные расщепления Хегора рода не менее 2 почти наверняка гиперболические (когда сложность отображения склейки стремится к бесконечности).

Актуальность гиперболической геометрии 3-многообразия для его топологии также вытекает из теоремы о жесткости Мостоу , которая утверждает, что гиперболическая структура гиперболического 3-многообразия конечного объема однозначно определяется его гомотопическим типом. В частности, геометрический инвариант, такой как объем, может использоваться для определения новых топологических инвариантов.

Структура

Многообразия конечного объема

В этом случае одним из важных инструментов для понимания геометрии многообразия является разложение «толстый-тонкий» . В нем говорится, что гиперболическое трехмерное многообразие конечного объема распадается на две части:

• толстая часть , где радиус приемистости больше абсолютной константы;
• и его дополнение, тонкая часть, представляющая собой непересекающееся объединение полноторий и точек возврата .

многообразия

Разложение толстого на тонкое справедливо для всех гиперболических трехмерных многообразий, хотя в целом тонкая часть не такая, как описано выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечным, если оно содержит выпуклое подмногообразие (его выпуклое ядро ), на которое оно втягивается, и толстая часть которого компактна (обратите внимание, что все многообразия имеют выпуклое ядро, но, вообще говоря, оно не компактно). ). Самый простой случай - когда многообразие не имеет «каспов» (т. Е. Фундаментальная группа не содержит параболических элементов), и в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является фактором замкнутого выпуклого подмножества гиперболического пространства. группой, действующей кокомпактно на этом подмножестве.

с конечно порожденной

Это более широкий класс гиперболических 3-многообразий, для которых существует удовлетворительная структурная теория. Оно основано на двух теоремах:

• Теорема прирученности , утверждающая, что такое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем;
• Конечная теорема о слоении , которая обеспечивает классификацию гиперболической структуры внутри компактного многообразия по ее «конечным инвариантам».

Построение гиперболических 3-многообразий конечного объёма

Гиперболические многогранники, группы отражений

Самая старая конструкция гиперболических многообразий, восходящая, по крайней мере, к Пуанкаре, выглядит следующим образом: начните с конечного набора трехмерных гиперболических конечных многогранников . Предположим, что между двумерными гранями этих многогранников существует спаривание сторон (т.е. каждая такая грань соединена с другой, отличной, так что они изометричны друг другу как двумерные гиперболические многоугольники), и рассмотрим пространство получается склейкой парных граней (формально это получается как факторпространство ). Он несет в себе гиперболическую метрику, которая четко определена вне образа 1-скелетов многогранников. Эта метрика продолжается до гиперболической метрики на всем пространстве, если выполняются два следующих условия:

• для каждой (неидеальной) вершины склейки сумма телесных углов многогранников, которым она принадлежит, равна $4\pi$;
• для каждого ребра в склейке сумма двугранных углов многогранников, которым оно принадлежит, равна $2\pi$.

Ярким примером этой конструкции является пространство Зейферта-Вебера , которое получается склейкой противоположных граней правильного додекаэдра .

Разновидностью этой конструкции является использование гиперболических многогранников Кокстера (многогранников, двугранные углы которых имеют вид $\pi /m,m\in \mathbb {N}$). Такой многогранник порождает клейновскую группу отражений , которая является дискретной подгруппой изометрий гиперболического пространства. Взяв подгруппу конечного индекса без кручения, получим гиперболическое многообразие (которое можно восстановить с помощью предыдущей конструкции, склеив копии исходного многогранника Кокстера способом, предписанным подходящим графом смежных классов Шрейера ).

хирургия Дена

Основная статья: Гиперболическая хирургия Дена

В предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Чтобы получить многообразия с точками возврата, необходимо использовать многогранники, имеющие идеальные вершины (т.е. вершины, лежащие на бесконечной сфере). В этом случае конструкция склейки не всегда дает полное многообразие. Полнота обнаруживается с помощью системы уравнений, включающих двугранные углы вокруг ребер, прилегающих к идеальной вершине, которые обычно называют уравнениями склейки Терстона. В случае завершения склейки идеальные вершины становятся точками возврата многообразия. Примером некомпактного гиперболического многообразия конечного объема, полученного таким способом, является многообразие Гизекинга , которое строится путем склейки граней правильного идеального гиперболического тетраэдра .

Также возможно построить полное гиперболическое многообразие конечного объема, когда склейка не завершена. В этом случае пополнением полученного метрического пространства является многообразие с краем тора и при некоторых (не общих) условиях можно на каждую компоненту края приклеить гиперболический полноторий так, чтобы полученное пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически многообразие получается гиперболической хирургией Дена на полном гиперболическом многообразии, которая возникает в результате полной склейки.

Неизвестно, можно ли построить таким образом все гиперболические 3-многообразия конечного объема. Однако на практике именно так вычислительное программное обеспечение (такое как SnapPea или Regina ) хранит гиперболические многообразия.

Арифметические конструкции

Основная статья: Арифметическое гиперболическое трехмерное многообразие

Построение арифметических клейновых групп из алгебр кватернионов приводит к особенно интересным гиперболическим многообразиям. С другой стороны, они в некотором смысле «редки» среди гиперболических 3-многообразий (например, гиперболическая хирургия Дена на фиксированном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех параметров).

Теорема гиперболизации

В отличие от явных конструкций, приведенных выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на трехмерном многообразии исключительно на основе топологической информации. Это является следствием гипотезы геометризации и может быть сформулировано следующим образом (утверждение, иногда называемое «теоремой гиперболизации», которое было доказано Терстоном в специальном случае многообразий Хакена):

Если компактное 3-многообразие с торическим краем неприводимо и алгебраически тороидально (это означает, что каждое $\pi _{1}$-инъективно погруженный тор гомотопен граничной компоненте), то его внутренность несет полную гиперболическую метрику конечного объема.

Частным случаем является случай поверхностного расслоения над окружностью : такие многообразия всегда неприводимы и несут полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдоаносовским отображением .

Другое следствие гипотезы геометризации состоит в том, что любое замкнутое 3-многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательной секционной кривизной, фактически допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной -1. Это не так в высших измерениях.

Виртуальная недвижимость

Топологические свойства 3-многообразий настолько сложны, что во многих случаях интересно знать, что свойство выполняется практически для класса многообразий, то есть для любого многообразия в этом классе существует конечное накрытие многообразия со свойством . Виртуальные свойства гиперболических трехмерных многообразий являются объектом ряда гипотез Вальдхаузена и Терстона, которые недавно были доказаны Яном Аголом после работ Джереми Кана, Влада Марковича, Фредерика Хаглунда, Дэни Уайза и других. Первая часть гипотез была логически связана с практически гипотезой Хакена . В порядке силы они следующие:

1. ( гипотеза о поверхностной подгруппе ) Фундаментальная группа любого гиперболического многообразия конечного объема содержит (несвободную) группу поверхностей (фундаментальную группу замкнутой поверхности ).
2. ( гипотеза виртуально Хакена ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема виртуально является Хакеном; то есть он содержит вложенную замкнутую поверхность, такую, что вложение индуцирует инъективное отображение между фундаментальными группами.
3. Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное накрытие с ненулевым первым числом Бетти .
4. Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, фундаментальная группа которого сюръектируется на неабелеву свободную группу (такие группы обычно называют большими ).

Другая гипотеза (также доказанная Аголом), которая подразумевает 1-3 выше, но априори не имеет никакого отношения к 4, заключается в следующем:

5. ( гипотеза о виртуальном расслоении ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, представляющее собой поверхностное расслоение над окружностью.

Пространство всех гиперболических трехмерных многообразий

Геометрическая конвергенция

Последовательность клейновых групп называется геометрически сходящейся, если она сходится в топологии Шаботи . Для многообразий, полученных как факторы, это означает их сходимость в указанной метрике Громова-Хаусдорфа .

-

Гиперболический объем можно использовать для упорядочения пространства всего гиперболического многообразия. Множество многообразий, соответствующих данному объему, не более чем конечно, а множество объемов вполне упорядочено и имеет порядковый тип. $\omega ^{\omega }$. Точнее, из гиперболической теоремы Дена Терстона следует, что многообразие с $m$ точки возврата — это предел последовательности многообразий с $l$ выступы для любого $0\leq l<m$, так что изолированные точки являются объемами компактных многообразий, многообразия с ровно одним каспом являются пределами компактных многообразий и так далее. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена операциями Дена на предельном многообразии.

Квазифуксовы группы

Последовательности квазифуксовых поверхностных групп данного рода могут сходиться к двукратно вырожденной поверхностной группе, как в двойной предельной теореме .

Ссылки

• Ашенбреннер, Матиас; Фридл, Стефан; Уилтон, Генри (2015). Группы 3-многообразий . Серия EMS лекций по математике. Европейская математика.
• Каллахан, Патрик Дж.; Хильдебранд, Мартин В.; Уикс, Джеффри Р. (1999). «Перепись гиперболических трехмерных многообразий с точками возврата» . Математика. Комп . 68 (225): 321–332. дои : 10.1090/s0025-5718-99-01036-4 . МР   1620219 .
• Громов, Михаил (1981). «Гиперболические многообразия по Терстону и Йоргенсену» . Семинар Н. Бурбаки, 1979–1980 гг . Конспект лекций по математике. Том. 842. Спрингер. стр. 40–53. МР   0636516 . Архивировано из оригинала 10 января 2016 г.
• Громов, Михаил; Терстон, Уильям (1987). «Константы сжатия для гиперболических многообразий». Математические изобретения . 89 : 1–12. Бибкод : 1987InMat..89....1G . дои : 10.1007/bf01404671 . S2CID   119850633 .
• Махер, Джозеф (2010). «Случайное расщепление Хигора». Журнал топологии . 3 (4): 997–1025. arXiv : 0809.4881 . дои : 10.1112/jtopol/jtq031 . S2CID   14179122 .
• Нойманн, Вальтер; Загер, Дон (1985). «Объемы гиперболических трехмерных многообразий» . Топология . 24 (3): 307–332. дои : 10.1016/0040-9383(85)90004-7 .
• Петронио, Карло; Порти, Джоан (2000). «Отрицательно ориентированные идеальные триангуляции и доказательство гиперболической теоремы Дена о заполнении Терстона». Экспо. Математика . 18 :1–35. arXiv : математика/9901045 . Бибкод : 1999math......1045P .
• Рэтклифф, Джон Г. (2006) [1994]. Основы гиперболических многообразий . Тексты для аспирантов по математике. Том. 149 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-0-387-47322-2 . ISBN  978-0-387-33197-3 . МР   2249478 .
• Терстон, Уильям (1980). Геометрия и топология трехмерных многообразий . Конспекты лекций Принстона.
• Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 6 (3): 357–381. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN   0002-9904 . МР   0648524 .
• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология . Издательство Принстонского университета.