Пространство Зейферта – Вебера

В математике ( пространство Зейферта-Вебера введенное Гербертом Зейфертом и Константином Вебером) представляет собой замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие . Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта-Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство . Это один из первых обнаруженных примеров замкнутых гиперболических трехмерных многообразий.

Он построен путем склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной таким образом, чтобы получить замкнутое трехмерное многообразие. Есть три способа сделать это склеивание последовательно. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения их необходимо повернуть на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; вращение 3/10 дает пространство Зейферта – Вебера. Вращение на 1/10 дает сферу гомологии Пуанкаре , а вращение на 5/10 дает трехмерное реальное проективное пространство .

При схеме склейки в 3/10 оборота грани исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять штук. Таким образом, в пространстве Зейферта–Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72°. Это не соответствует двугранному углу правильного додекаэдра 117 ° в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом от 60 ° до 117 °, а гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72 ° можно использовать для получения пространство Зейферта–Вебера представляет собой геометрическую структуру как гиперболическое многообразие. Это (конечный объем) фактор-пространство додекаэдрических сот (неконечный объем) пятого порядка , правильная мозаика гиперболического трехмерного пространства додекаэдрами с этим двугранным углом.

Пространство Зейферта–Вебера является сферой рациональных гомологий , а его первая группа гомологий изоморфна $\mathbb {Z} _{5}^{3}$ . Уильям Терстон предположил, что пространство Зейферта-Вебера не является многообразием Хакена , то есть не содержит несжимаемых поверхностей; Бертон, Рубинштейн и Тиллманн (2012) доказали эту гипотезу с помощью своего компьютерного программного обеспечения Regin .

Ссылки

Барбьери, Елена; Кавиччиоли, Альберто; Спаггиари, Фульвия (2009). «Какая-то серия сотовых пространств» . Математический журнал Роки Маунтин . 39 (2): 381–398.
Вебер, Константин; Зайферт, Герберт (1933). «Два додекаэдрических пространства». Математический журнал . 37 (1): 237–253. дои : 10.1007/BF01474572 . МР1545392 .
Терстон, Уильям (1997), Леви, Сильвио (ред.), Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 , Принстонская математическая серия, том. 35, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , ISBN 0-691-08304-5
Бертон, Бенджамин А.; Рубинштейн, Дж. Хайам ; Тиллманн, Стефан (2012). «Додекаэдрическое пространство Вебера-Зейферта не является Хакеном». Труды Американского математического общества . 364 : 911–932. arXiv : 0909.4625 . дои : 10.1090/S0002-9947-2011-05419-X .
Уикс, Джеффри . Форма пространства (2-е изд.). Марсель Деккер. стр. 219 . ISBN 978-0824707095 .

Внешние ссылки