Котангенс пространство

В дифференциальной геометрии кокасательное пространство — это векторное пространство , связанное с точкой. $x$ на гладком (или дифференцируемом) многообразии ${\mathcal {M}}$; можно определить кокасательное пространство для каждой точки гладкого многообразия. Обычно котангенс пространство $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ определяется как двойственное пространство касательного пространства в точке $x$, $T_{x}{\mathcal {M}}$, хотя существуют и более прямые определения (см. ниже). Элементы кокасательного пространства называются кокасательными векторами или касательными ковекторами .

Свойства

Все кокасательные пространства в точках связного многообразия имеют одинаковую размерность , равную размерности многообразия. Все кокасательные пространства многообразия могут быть «склеены» (т. е. объединены и наделены топологией), чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие удвоенной размерности, кокасательное расслоение многообразия.

Касательное пространство и кокасательное пространство в точке являются вещественными векторными пространствами одной и той же размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы приводит к естественному изоморфизму между касательным пространством и кокасательным пространством в точке, сопоставляя любому касательному ковектору канонический касательный вектор.

Формальные определения

Определение как линейные функционалы

Позволять ${\mathcal {M}}$ — гладкое многообразие и пусть $x$ быть точкой в ${\mathcal {M}}$. Позволять $T_{x}{\mathcal {M}}$ быть касательным пространством в $x$. Тогда кокасательное пространство в точке x определяется как двойственное пространство к $T_{x}{\mathcal {M}}$:

$T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}$

Конкретно, элементы кокасательного пространства являются линейными функционалами на $T_{x}{\mathcal {M}}$. То есть каждый элемент $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ это линейная карта

$\alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F$

где $F$— базовое поле рассматриваемого векторного пространства, например, поле действительных чисел . Элементы $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ называются котангенсными векторами.

Альтернативное определение

В некоторых случаях может потребоваться прямое определение кокасательного пространства без ссылки на касательное пространство. Такое определение можно сформулировать в терминах классов эквивалентности гладких функций на ${\mathcal {M}}$. Неформально будем говорить, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке $x$ если они имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи $x$, аналогичный их линейным полиномам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи $x$ тогда и только тогда, когда производная функции f − g обращается в нуль в точке $x$. Тогда котангенс-пространство будет состоять из всех возможных поведений функции первого порядка вблизи $x$.

Позволять ${\mathcal {M}}$ — гладкое многообразие, и пусть x — точка в ${\mathcal {M}}$. Позволять $I_{x}$быть идеалом всех функций в $C^{\infty }\!({\mathcal {M}})$ исчезает в $x$, и разреши $I_{x}^{2}$ — набор функций вида ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$, где $f_{i},g_{i}\in I_{x}$. Затем $I_{x}$ и $I_{x}^{2}$ оба являются действительными векторными пространствами, а кокасательное пространство можно определить как факторпространство $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ показав, что эти два пространства изоморфны друг другу.

Эта формулировка аналогична конструкции кокасательного пространства для определения касательного пространства Зарисского в алгебраической геометрии. Конструкция также обобщается на локально окольцованные пространства .

Дифференциал функции

Позволять $M$ — гладкое многообразие и пусть $f\in C^{\infty }(M)$быть гладкой функцией . Дифференциал $f$ в какой-то момент $x$ это карта

$\mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)$

где $X_{x}$ является касательным вектором в точке $x$, рассматриваемый как производное. То есть $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ является Ли производной $f$ в направлении $X$, и у одного есть $\mathrm {d} f(X)=X(f)$. Эквивалентно, мы можем думать о касательных векторах как о касательных к кривым и писать

$\mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)$

В любом случае, $\mathrm {d} f_{x}$ представляет собой линейное отображение на $T_{x}M$ и, следовательно, это касательный ковектор в точке $x$.

Затем мы можем определить дифференциальное отображение $\mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)$ в какой-то момент $x$ как карта, которая отправляет $f$ к $\mathrm {d} f_{x}$. Свойства дифференциальной карты включают в себя:

1. $\mathrm {d}$ представляет собой линейную карту: $\mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g$ для констант $a$ и $b$,
2. $\mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}$

Дифференциальное отображение обеспечивает связь между двумя альтернативными определениями котангенсного пространства, данными выше. Поскольку для всех $f\in I_{x}^{2}$ существуют $g_{i},h_{i}\in I_{x}$ такой, что ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$, у нас есть, ${\textstyle \mathrm {d} f_{x}}$${\textstyle =\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}=}$${\textstyle \sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))=}$${\textstyle \sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)=0}$ т.е. все функции в $I_{x}^{2}$ имеют нулевой дифференциал, то для каждых двух функций $f\in I_{x}^{2}$, $g\in I_{x}$, у нас есть $\mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)$. Теперь мы можем построить изоморфизм между $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ и $I_{x}/I_{x}^{2}$ отправив линейные карты $\alpha$ соответствующим смежным классам $\alpha +I_{x}^{2}$. Поскольку для данного ядра и наклона существует единственное линейное отображение, это изоморфизм, устанавливающий эквивалентность двух определений.

Откат гладкой карты

Как и всякое дифференцируемое отображение $f:M\to N$ между многообразиями порождает линейное отображение (называемое прямым или производным ) между касательными пространствами

$f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N$

каждое такое отображение порождает линейное отображение (называемое обратным образом ) между кокасательными пространствами, только на этот раз в обратном направлении:

$f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.$

Откат естественным образом определяется как двойное (или транспонированное) движение вперед . Если раскрыть определение, то это означает следующее:

$(f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),$

где $\theta \in T_{f(x)}^{*}N$ и $X_{x}\in T_{x}M$. Обратите внимание внимательно, где все живет.

Если мы определим касательные ковекторы в терминах классов эквивалентности гладких отображений, исчезающих в точке, то определение обратного образа станет еще более простым. Позволять $g$ быть гладкой функцией на $N$ исчезает в $f(x)$. Тогда обратный ход ковектора, определяемый формулой $g$ (обозначается $\mathrm {d} g$) дан кем-то

$f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).$

То есть это класс эквивалентности функций на $M$ исчезает в $x$ определяется $g\circ f$.

полномочия

The $k$-я внешняя степень котангенса пространства, обозначаемая $\Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})$, является еще одним важным объектом дифференциальной и алгебраической геометрии. Векторы в $k$-ая внешняя власть, точнее разделы $k$-я внешняя степень коткасательного расслоения , называются дифференциальными $k$-формы . Их можно рассматривать как чередующиеся многолинейные карты на $k$касательные векторы. По этой причине касательные ковекторы часто называют одноформами .

Ссылки

• Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN  978-0-8053-0102-1
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-25907-7
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников Springer по математике, том. 218, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-95448-6
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0