Локальный диффеоморфизм

В математике , точнее, в дифференциальной топологии , локальный диффеоморфизм интуитивно представляет собой отображение между гладкими многообразиями , которое сохраняет локальную дифференцируемую структуру . Формальное определение локального диффеоморфизма дано ниже.

Формальное определение [ править ]

Позволять $X$ и $Y$ быть дифференцируемыми многообразиями . Функция $f:X\to Y$ является локальным диффеоморфизмом , если для каждой точки $x\in X$ существует открытое множество $U$ содержащий $x,$ такой, что $f(U)$ открыт в $Y$ и

f\vert _{U}:U\to f(U)

является диффеоморфизмом .

Локальный диффеоморфизм — это частный случай погружения $f:X\to Y,$ где изображение $f(U)$ из $U$ под $f$ локально имеет дифференцируемую подмногообразия структуру $Y.$ Затем $f(U)$ и $X$ может иметь меньшую размерность, чем $Y.$

Характеристики [ править ]

Карта является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда она является гладким погружением (гладким локальным вложением) и открытым отображением .

Из теоремы об обратной функции следует, что гладкое отображение $f:M\to N$ является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда производная $Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N$ является линейным изоморфизмом для всех точек $p\in M.$ Это означает, что $M$ и $N$ должен иметь одинаковую размерность.

Карта $f:X\to Y$ между двумя связными многообразиями одинаковой размерности ( $\operatorname {dim} X=\operatorname {dim} Y$ ) является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда он является гладким погружением (гладким локальным вложением) или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он является гладкой субмерсией . Это связано с тем, что каждое гладкое погружение является локально инъективной функцией, а инвариантность области гарантирует, что любая непрерывная инъективная функция между многообразиями равных размерностей обязательно является открытым отображением.

Обсуждение [ править ]

Например, хотя все многообразия локально выглядят одинаково (как $\mathbb {R} ^{n}$ для некоторых $n$ ) в топологическом смысле естественно задаться вопросом, ведут ли их дифференцируемые структуры локально одинаково. Например, можно наложить две разные дифференцируемые структуры на $\mathbb {R} ^{4}$ это делает $\mathbb {R} ^{4}$ в дифференцируемое многообразие, но обе структуры не являются локально диффеоморфными (см. ниже). Хотя локальные диффеоморфизмы локально сохраняют дифференцируемую структуру, необходимо иметь возможность «исправить» эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы гарантировать, что областью определения является все (гладкое) многообразие . Например, не может быть глобального диффеоморфизма 2-сферы в евклидово 2-пространство, хотя они действительно имеют одну и ту же локальную дифференцируемую структуру. Это связано с тем, что все локальные диффеоморфизмы непрерывны , непрерывный образ компакта компактен , сфера компактна, а евклидово 2-пространство - нет.

Свойства [ править ]

Если существует локальный диффеоморфизм между двумя многообразиями, то их размерности должны быть равны. Каждый локальный диффеоморфизм является также локальным гомеоморфизмом и, следовательно, локально инъективным открытым отображением . Локальный диффеоморфизм имеет ранг постоянный $n.$

Примеры [ править ]

Диффеоморфизм — это биективный локальный диффеоморфизм. Гладкая — это локальный диффеоморфизм , покрывающая карта в котором каждая точка цели имеет окрестность , равномерно покрываемую картой.

локального Диффеоморфизмы потока

См. также [ править ]

Диффеоморфизм - изоморфизм дифференцируемых многообразий.
Гомеоморфизм - отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.
Инвариантность области - Теорема топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства.
Большой диффеоморфизм - Класс диффеоморфизма
Локальный гомеоморфизм - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
Симметрии пространства-времени - особенности представления симметрии пространства-времени.

Ссылки [ править ]

Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2003-2 , МР 2428390 .