Jump to content

Локальный диффеоморфизм

В математике , точнее, в дифференциальной топологии , локальный диффеоморфизм интуитивно представляет собой отображение между гладкими многообразиями , которое сохраняет локальную дифференцируемую структуру . Формальное определение локального диффеоморфизма дано ниже.

Формальное определение [ править ]

Позволять и быть дифференцируемыми многообразиями . Функция является локальным диффеоморфизмом , если для каждой точки существует открытое множество содержащий такой, что открыт в и

является диффеоморфизмом .

Локальный диффеоморфизм — это частный случай погружения где изображение из под структуру подмногообразия локально имеет дифференцируемую Затем и может иметь меньшую размерность, чем

Характеристики [ править ]

Отображение является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно является гладким погружением (гладким локальным вложением) и открытым отображением .

Из теоремы об обратной функции следует, что гладкое отображение является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда производная является линейным изоморфизмом для всех точек Это подразумевает, что и должен иметь одинаковую размерность.

Карта между двумя связными многообразиями одинаковой размерности ( ) является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда он является гладким погружением (гладким локальным вложением) или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он является гладкой субмерсией . Это связано с тем, что каждое гладкое погружение является локально инъективной функцией , а инвариантность области гарантирует, что любая непрерывная инъективная функция между многообразиями равных размерностей обязательно является открытым отображением.

Обсуждение [ править ]

Например, хотя все многообразия локально выглядят одинаково (как для некоторых ) в топологическом смысле естественно задаться вопросом, ведут ли их дифференцируемые структуры локально одинаково. Например, можно наложить две разные дифференцируемые структуры на это делает в дифференцируемое многообразие, но обе структуры не являются локально диффеоморфными (см. ниже). Хотя локальные диффеоморфизмы сохраняют дифференцируемую структуру локально, необходимо иметь возможность «исправить» эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы гарантировать, что областью определения является все (гладкое) многообразие . Например, не может быть глобального диффеоморфизма 2-сферы в евклидово 2-пространство, хотя они действительно имеют одну и ту же локальную дифференцируемую структуру. Это связано с тем, что все локальные диффеоморфизмы непрерывны , непрерывный образ компакта компактен , сфера компактна, а евклидово 2-пространство - нет.

Свойства [ править ]

Если существует локальный диффеоморфизм между двумя многообразиями, то их размерности должны быть равны. Каждый локальный диффеоморфизм является также локальным гомеоморфизмом и, следовательно, локально инъективным открытым отображением . Локальный диффеоморфизм имеет ранг постоянный

Примеры [ править ]

Диффеоморфизм биективный — это . локальный диффеоморфизм Гладкая — это локальный диффеоморфизм , покрывающая карта в котором каждая точка цели имеет окрестность , равномерно покрываемую картой.

потока Диффеоморфизмы локального

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2003-2 , МР   2428390 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: fde1b4544689d5fe225fb9acdc31d7f3__1671131880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/fd/f3/fde1b4544689d5fe225fb9acdc31d7f3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Local diffeomorphism - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)