Коллектор Фреше

В математике , в частности в нелинейном анализе , многообразие Фреше представляет собой топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше, во многом так же, как многообразие моделируется на основе евклидова пространства .

Точнее, многообразие Фреше состоит из хаусдорфова пространства. $X$ с атласом координатных карт над пространствами Фреше, переходы которых являются гладкими отображениями . Таким образом $X$ имеет открытую крышку $\left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in I},$ и набор гомеоморфизмов $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to F_{\alpha }$ на свои изображения, где $F_{\alpha }$ являются пространствами Фреше такими, что $\phi _{\alpha \beta }:=\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}|_{\phi _{\beta }\left(U_{\beta }\cap U_{\alpha }\right)}$ является гладким для всех пар индексов $\alpha ,\beta .$

Классификация с точностью до гомеоморфизма

Ни в коем случае не верно, что конечномерное многообразие размерности $n$ гомеоморфен глобально $\mathbb {R} ^{n}$ или даже открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}.$ Однако в бесконечномерной ситуации можно довольно хорошо классифицировать « хорошие » многообразия Фреше с точностью до гомеоморфизма. что каждое бесконечномерное сепарабельное метрическое Теорема Дэвида Хендерсона 1969 года утверждает , многообразие Фреше $X$ может быть вложено как открытое подмножество бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства , $H$ (с точностью до линейного изоморфизма такое пространство только одно).

Вкладывающий гомеоморфизм можно использовать как глобальную диаграмму для $X.$ Таким образом, в бесконечномерном сепарабельном метрическом случае с точностью до гомеоморфизма «единственные» топологические многообразия Фреше являются открытыми подмножествами сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства. Но в случае дифференцируемых или гладких многообразий Фреше (с точностью до соответствующего понятия диффеоморфизма) это неверно. ^{[ нужна ссылка ]}.

См. также

Банахово многообразие - многообразие, смоделированное на банаховых пространствах, обобщением которого является многообразие Фреше.
Многообразия отображений - локально выпуклые векторные пространства, удовлетворяющие очень мягкому условию полноты.
Дифференцирование в пространствах Фреше
Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.

Ссылки

Гамильтон, Ричард С. (1982). «Теорема Нэша и Мозера об обратной функции» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 7 (1): 65–222. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 . ISSN 0273-0979 . МИСТЕР 656198
Хендерсон, Дэвид В. (1969). «Бесконечномерные многообразия являются открытыми подмножествами гильбертова пространства» . Бык. амер. Математика. Соц . 75 (4): 759–762. дои : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . МИСТЕР 0247634

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category