Реактивный комплект

«Реактивный космос» перенаправляется сюда. Не путать с космическим самолетом .

В дифференциальной топологии струйное расслоение — это определенная конструкция, которая делает новое гладкое расслоение из заданного гладкого расслоения . Это позволяет записывать дифференциальные уравнения на сечениях расслоения в инвариантной форме. Джеты также можно рассматривать как бескоординатную версию расширений Тейлора .

Исторически реактивные пучки приписывают Чарльзу Эресману и были развитием метода ( продолжения ) Эли Картана работы геометрической с высшими производными путем наложения условий дифференциальной формы на вновь введенные формальные переменные. Расслоения струй иногда называют спреями , хотя спреи обычно относятся более конкретно к соответствующему векторному полю , индуцированному на соответствующем расслоении (например, геодезическом спрее на многообразиях Финслера ).

С начала 1980-х годов струйные пучки появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными карт, особенно тех, которые связаны с вариационным исчислением . Следовательно, расслоение струй теперь признано правильной областью для геометрической ковариантной теории поля , и большая работа проделана в области общерелятивистских формулировок полей с использованием этого подхода.

Джетс

Основная статья: Джет (математика)

Предположим, что M — m-мерное многообразие и что ( E , π, M ) — расслоение . Для p ∈ M пусть Γ(p) обозначает множество всех локальных сечений, область определения которых содержит p . Позволять $I=(I(1),I(2),...,I(m))$ быть мультииндексом ( кортеж из m неотрицательных целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), затем определите:

${\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}$

Определим локальные сечения σ, η ∈ Γ(p) так, чтобы они имели одну и ту же r -струю в точке p , если

$\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.$

Отношение того, что два отображения имеют одну и ту же r -струю, является отношением эквивалентности . r - джет является классом эквивалентности по этому отношению, а r -джет с представителем σ обозначается $j_{p}^{r}\sigma$. Целое число r также называется порядком струи, p — ее источник , а σ( p ) — ее цель .

Струйные коллекторы

R -е струйное многообразие π — это множество

$J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.$

Мы можем определить проекции π _r и π _{r ,0} , называемые исходной и целевой проекциями соответственно, следующим образом:

${\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}$

Если 1 ⩽ k ⩽ r , то k проекция -струи — это функция π _r,k, определенная формулой

${\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}$

Из этого определения ясно, что π _r = π o π _{r ,0} и что если 0 ⩽ m ⩽ k , то π _r,m = π _k,m o π _r,k . рассматривают Традиционно π _r,r как тождественное отображение на J ^р ( π ) и идентифицировать J  ⁰ ( π ) с E .

Функции π _r,k , π _{r ,0} и π _r являются гладкими сюръективными субмерсиями .

Система координат на E создаст систему координат на J. ^р ( π ). Пусть ( U , u ) — адаптированная координатная карта на E , где u = ( x ^я , в ^а ). Индуцированная координатная карта ( U ^р , в ^р ) на J ^р ( π ) определяется формулой

${\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}$

и $n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)$ функции, известные как производные координаты :

${\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}$

Учитывая атлас адаптированных карт ( U , u ) на E , соответствующий набор карт ( U ^р , в ^р ) является конечномерным C ^∞ атлас на J ^р ( Пи ).

Реактивные связки

Поскольку атлас на каждом $J^{r}(\pi )$ определяет многообразие, тройки $(J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))$, $(J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)$ и $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$все определяют расслоенные многообразия. В частности, если $(E,\pi ,M)$представляет собой расслоение, тройка $(J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)$ определяет r -е струйное расслоение π .

Если W ⊂ M — открытое подмногообразие, то

$J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,$

Если p ∈ M , то слой $\pi _{r}^{-1}(p)\,$ обозначается $J_{p}^{r}(\pi )$.

Пусть σ — локальное сечение π с областью W ⊂ M. определения r - е струйное продолжение σ — это отображение $j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )$ определяется

$(j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,$

Обратите внимание, что $\pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}$, так $j^{r}\sigma$действительно это раздел. В местных координатах $j^{r}\sigma$ дан кем-то

$\left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,$

Мы определяем $j^{0}\sigma$ с $\sigma$ .

Алгебро-геометрическая перспектива

Самостоятельно мотивированное построение связки разделов. $\Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)$ дано .

Рассмотрим диагональную карту ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$, где гладкое многообразие $M$ является локально окольцованным пространством $C^{k}(U)$ за каждое открытие $U$. Позволять ${\mathcal {I}}$ быть идеальным снопом $\Delta _{n}(M)$, эквивалентно, пусть ${\mathcal {I}}$ быть пучком гладких зародышей , которые исчезают на $\Delta _{n}(M)$ для всех $0<n\leq k$. Откат ​ факторпучка ​ ${\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)$ от ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ к $M$ к $\Delta _{n}$ представляет собой пучок k-струй.

Прямой предел последовательности инъекций, заданной каноническими включениями ${\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}$ пучков, порождает бесконечный реактивный сноп ${\mathcal {J}}^{\infty }(TM)$. Заметим, что по конструкции прямого предела это фильтруемое кольцо.

Пример

Если π — тривиальное расслоение ( M × R , pr ₁ , M ), то существует канонический диффеоморфизм между первым струйным расслоением $J^{1}(\pi )$и Т* × Р. М Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ в $\Gamma _{M}(\pi )$ писать ${\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,$.

Тогда всякий раз, когда p ∈ M

$j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,$

Следовательно, отображение

${\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}$

четко определен и явно инъективен . Запись его в координатах показывает, что это диффеоморфизм, поскольку если (x ^я , u) — координаты на M × R , где u = id _R — единичная координата, то производные координаты u _i на J ¹ (π) соответствуют координатам ∂i _на T *M .

Аналогично, если π — тривиальное расслоение ( R × M , pr ₁ , R ), то существует канонический диффеоморфизм между $J^{1}(\pi )$и R × TM .

Структура контактов

Пространство Дж ^р (π) несет естественное распределение , т. е. подрасслоение касательного расслоения TJ ^р (π)), называемое распределением Картана . Распределение Картана натянуто всеми касательными плоскостями к графикам голономных сечений; то есть сечения вида j ^р φ для φ — сечение π.

Аннулятор распределения Картана — это пространство дифференциальных одноформ, называемых контактными формами , на J ^р (π). Пространство дифференциальных одноформ на J ^р (π) обозначается $\Lambda ^{1}J^{r}(\pi )$ а пространство контактных форм обозначим через $\Lambda _{C}^{r}\pi$. Единичная форма является контактной формой при условии, что ее откат вдоль каждого продолжения равен нулю. Другими словами, $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ является контактной формой тогда и только тогда, когда

$\left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0$

для всех локальных сечений σ точки π над M .

Распределение Картана является основной геометрической структурой в пространствах струй и играет важную роль в геометрической теории уравнений в частных производных . Распределения Картана совершенно неинтегрируемы. В частности, они не инволютивны . Размерность распределения Картана растет с увеличением порядка струйного пространства. Однако в пространстве бесконечных струй J ^∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M .

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≃ R ² и М ≃ Р. ​ Тогда (Дж. ¹ (π), π, M) определяет первый пучок струй и может координироваться с помощью (x, u, u ₁ ) , где

${\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}$

для всех p ∈ M и σ в Γ _p (π). Общая 1-форма на J ¹ (π) принимает вид

$\theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,$

Сечение σ в Γ _p (π) имеет первое продолжение

$j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).$

Следовательно, (j ¹ σ)*θ можно вычислить как

${\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}$

Это будет равно нулю для всех сечений σ тогда и только тогда, когда c = 0 и a = − bσ′(x) . Следовательно, θ = b(x, u, u ₁ )θ ₀ обязательно должно быть кратным основной контактной форме θ ₀ = du − u ₁ dx . Переход во второе реактивное пространство J ² (π) с дополнительной координатой u ₂ , такой, что

$u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,$

общая 1-форма имеет конструкцию

$\theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,$

Это контактная форма тогда и только тогда, когда

${\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}$

откуда следует, что e = 0 и a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Следовательно, θ является контактной формой тогда и только тогда, когда

$\theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},$

где θ ₁ = du ₁ − u ₂ dx — следующая базовая форма контакта (обратите внимание, что здесь мы отождествляем форму θ ₀ с ее обратным ходом $\left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}$ к Дж ² (Пи) ).

В общем случае, если x, u ∈ R , контактная форма на J ^г+1 (π) можно записать как линейную комбинацию основных форм контакта

$\theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,$

где

$u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.$

Подобные рассуждения приводят к полной характеристике всех контактных форм.

В локальных координатах каждый контакт одноформен на J ^г+1 (π) можно записать в виде линейной комбинации

$\theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }$

с гладкими коэффициентами $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ основных контактных форм

$\theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,$

|Я| известен как заказ контактной формы $\theta _{i}^{\alpha }$. Обратите внимание, что контактные формы на J ^г+1 (π) имеют порядок не более r . Контактные формы дают характеристику тех локальных сечений π _r+1 , которые являются продолжениями сечений π.

Пусть ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ), тогда ψ = j ^г+1 σ, где σ ∈ Γ _W (π), тогда и только тогда, когда $\psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,$

Векторные поля

Общее векторное поле на всем пространстве E , координируемое $(x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,$, является

$V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,$

Векторное поле называется горизонтальным , что означает, что все вертикальные коэффициенты равны нулю, если $\phi ^{\alpha }$ = 0.

Векторное поле называется вертикальным , что означает, что все горизонтальные коэффициенты равны нулю, если ρ ^я = 0.

При фиксированном (x, u) мы определяем

$V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$

имеющий координаты (x, u, ρ ^я , Фи ^а ) , с элементом в слое T _xu E TE в над (x, u) E , называемом касательным вектором в TE . Секция

${\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}$

называется векторным полем на E с

$V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}$

и ψ в Γ(TE) .

Реактивный пучок J ^р (π) координируется $(x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,$. Для фиксированного (x, u, w) определите

$V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}$

имея координаты

$\left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),$

с элементом в волокне $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ ТиДжея ​ ^р (π) над (x, u, w) ∈ J ^р (π) , называемый касательным вектором в TJ ^р (π) . здесь

$v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }$

являются действительными функциями на J ^р (Пи) . Секция

${\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}$

— векторное поле на J ^р (π) , и мы говорим $\Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).$

Уравнения в частных производных

Пусть (E, π, M) — расслоение. Уравнение r -го порядка в частных производных на π — это замкнутое вложенное подмногообразие S струйного многообразия J ^р (Пи) . Решением является локальное сечение σ ∈ Γ _W (π), удовлетворяющее $j_{p}^{r}\sigma \in S$, для всех p в M .

Рассмотрим пример уравнения в частных производных первого порядка.

Пример

Пусть π — тривиальное расслоение ( R ² × Р , пр ₁ , Р ² ) с глобальными координатами ( x ¹ , Икс ² , в ¹ ). Тогда отображение F : J ¹ (π) → R , определенный формулой

$F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}$

приводит к дифференциальному уравнению

$S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}$

который можно написать

${\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.$

Конкретный

${\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}$

имеет первое продолжение, заданное формулой

$j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)$

и является решением этого дифференциального уравнения, поскольку

${\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}$

и так $j_{p}^{1}\sigma \in S$ для любого p ∈ R ² .

Удлинение струи

Локальный диффеоморфизм ψ : J ^р ( п ) → Дж ^р ( π ) определяет контактное преобразование порядка r, если оно сохраняет контактный идеал, а это означает, что если θ является любой контактной формой на J ^р ( π ), то ψ*θ также является контактной формой.

Поток, порождаемый векторным полем V ^р на реактивном пространстве J ^р (π) образует однопараметрическую группу контактных преобразований тогда и только тогда, когда производная Ли ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ любой контактной формы θ сохраняет контактный идеал.

Начнем со случая первого порядка. Рассмотрим общее векторное поле V ¹ на J ¹ ( π ), заданный формулой

$V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.$

Теперь мы применяем ${\mathcal {L}}_{V^{1}}$ к основным контактным формам $\theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},$ и разложим внешнюю производную функций по их координатам, чтобы получить:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}$

Следовательно, В ¹ определяет контактное преобразование тогда и только тогда, когда коэффициенты при dx ^я и $du_{i}^{k}$в формуле исчезают. Последние требования подразумевают условия контакта

${\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0$

Первые требования дают явные формулы для коэффициентов членов первой производной в V ¹ :

$\chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)$

где

${\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}$

обозначает усечение нулевого порядка полной производной D _i .

Таким образом, условия контакта однозначно предписывают продолжение любой точки или контактного векторного поля. То есть, если ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ удовлетворяет этим уравнениям, V ^р называется r -м продолжением V до векторного поля на J ^р (Пи) .

Эти результаты лучше всего понятны применительно к конкретному примеру. Поэтому давайте рассмотрим следующее.

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≅ R ² и М ≃ Р. ​ Тогда (Дж. ¹ (π), π, E) определяет первый пучок струй и может координироваться с помощью (x, u, u ₁ ) , где

${\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}$

для всех p ∈ M и σ в Γ _p ( π ). Контактная форма на J ¹ (π) имеет вид

$\theta =du-u_{1}dx$

Рассмотрим вектор V на E , имеющий вид

$V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}$

Тогда первое продолжение этого векторного поля на J ¹ (р) есть

${\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}$

Если теперь мы возьмем производную Ли контактной формы по этому продолженному векторному полю, ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$ мы получаем

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}$

Следовательно, для сохранения контактного идеала потребуем

$1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.$

Итак, первое продолжение V до векторного поля на J ¹ (р) есть

$V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.$

Вычислим также второе продолжение V до векторного поля на J ² (π) . У нас есть $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ как координаты на J ² (π) . Следовательно, продленный вектор имеет вид

$V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$

Контактные формы

${\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}$

Для сохранения контактного идеала потребуем

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}$

Теперь θ не имеет зависимости от u ₂ . Следовательно, из этого уравнения мы подберем формулу для ρ , которая обязательно будет тем же результатом, что мы нашли для V ¹ . Следовательно, задача аналогична продолжению векторного поля V ¹ к Дж ² (π). Другими словами, мы можем сгенерировать r -е продолжение векторного поля, рекурсивно применяя производную Ли контактных форм по отношению к продолженным векторным полям r раз. Итак, у нас есть

$\rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}$

и так

${\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}$

Поэтому производная Ли второй контактной формы по V ² является

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}$

Следовательно, для ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ для сохранения контактного идеала нам потребуется

$3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.$

Итак, второе продолжение V до векторного поля на J ² (р) есть

$V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$

Обратите внимание, что первое продолжение V можно восстановить, опустив члены второй производной в V. ² , или проецируя обратно на J ¹ (Пи) .

Бесконечные реактивные пространства

Обратный предел последовательности проекций $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ порождает бесконечное струйное пространство J ^∞ (Пи) . Точка $j_{p}^{\infty }(\sigma )$— класс эквивалентности сечений π, которые имеют ту же k -струю в p , что и σ, для всех значений k . Естественная проекция π _∞ отображает $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ в п .

Просто думая в терминах координат, Дж. ^∞ (π) кажется бесконечномерным геометрическим объектом. Фактически, самый простой способ введения дифференцируемой структуры на J ^∞ (π) , не опираясь на дифференцируемые карты, задается дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами . Двойственно последовательности проекций $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ многообразий – это последовательность инъекций $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)$коммутативных алгебр. Обозначим $C^{\infty }(J^{k}(\pi ))$ просто ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$. Возьмите теперь прямой предел ${\mathcal {F}}(\pi )$ принадлежащий ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$х. Это будет коммутативная алгебра, которую можно считать алгеброй гладких функций над геометрическим объектом J ^∞ (π) . Обратите внимание, что ${\mathcal {F}}(\pi )$, рожденная как прямой предел, несет в себе дополнительную структуру: это фильтрованная коммутативная алгебра.

Грубо говоря, конкретный элемент $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ всегда будет принадлежать какому-то ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, поэтому это гладкая функция на конечномерном многообразии J ^к (π) в обычном смысле.

Бесконечно продолжительные PDE

Для k системы УЧП -го порядка E ⊆ J ^к (π) , совокупность I(E) исчезающих на E гладких функций на J ^∞ (π) — идеал в алгебре ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, и, следовательно, в прямом пределе ${\mathcal {F}}(\pi )$ слишком.

Улучшите I(E), добавив все возможные композиции полных производных , примененных ко всем его элементам. , мы получаем новый идеал Я Таким образом ${\mathcal {F}}(\pi )$который теперь замкнут при операции взятия полной производной. Подмногообразие E _(∞) в J ^∞ (π), вырезанный I, бесконечным продолжением E называется .

Геометрически E _(∞) многообразие формальных решений E . — это Точка $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ легко видеть, что E _(∞) представлено сечением σ, график k -джета которого касается E в точке $j_{p}^{k}(\sigma )$ со сколь угодно высоким порядком касания.

Аналитически, если E задается формулой φ = 0, формальное решение можно понимать как набор коэффициентов Тейлора сечения σ в точке p , которые обращают в нуль ряд Тейлора $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ в точке п .

Самое главное, что свойства замыкания I подразумевают, что E _(∞) касается контактной структуры бесконечного порядка. ${\mathcal {C}}$ на J ^∞ (π) , так что, ограничив ${\mathcal {C}}$ к E _(∞) получаем разность $(E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})$, и может изучить связанную с ней последовательность Виноградова (C-спектральную) .

Примечание

В этой статье определены струи локальных сечений расслоения, но можно определить струи функций f: M → N , где M и N — многообразия; тогда струя f просто соответствует струе сечения

гр _ж : М → М × N

gr _f (p) = (p, f(p))

( gr _f известен как график функции f ) тривиального расслоения ( M × N , π ₁ , M ). Однако это ограничение не упрощает теорию, поскольку из глобальной тривиальности π не следует глобальная тривиальность π ₁ .

См. также

• Реактивная группа
• Джет (математика)
• Лагранжева система
• Вариационный бикомплекс

Дальнейшее чтение

• Эресманн, К., «Введение в теорию бесконечно малых структур и псевдогрупп Ли». Дифференциальная геометрия, Коллок. Интер. Центра Нац. научных исследований, Страсбург, 1953, 97–127.
• Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN   3-540-56235-4 , ISBN   0-387-56235-4 .
• Сондерс, ди-джей, «Геометрия пучков струй», Cambridge University Press, 1989, ISBN   0-521-36948-7
• Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.], "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1999 г., ISBN   0-8218-0958-X .
• Олвер, П.Дж. , «Эквивалентность, инварианты и симметрия», издательство Кембриджского университета, 1995 г., ISBN   0-521-47811-1