Тензор кручения

Чтобы узнать о других значениях, см. Кручение (значения) и Поле Торсиона (значения) .

Развитие единичного круга в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{3}$, с четырьмя различными вариантами плоского соединения, сохраняющими евклидову метрику, определяемую формулой $\nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}$, где $\tau$ является постоянным скаляром соответственно: $\tau =0.01,0.1,0.5,1.0$. Все полученные кривые в касательном пространстве имеют длину дуги. $2\pi$, кривизна $1$, и соответствующее кручение $\tau$ (в смысле Френе-Серре ).

В дифференциальной геометрии тензор кручения — это тензор , которому соответствует любая аффинная связность . Тензор кручения представляет собой билинейную карту двух входных векторов. $X,Y$, который создает выходной вектор $T(X,Y)$ представляющее смещение в касательном пространстве, когда касательное пространство развернуто (или «прокатано») вдоль бесконечно малого параллелограмма, стороны которого равны $X,Y$. Он кососимметричен на своих входах, поскольку развертка по параллелограмму в противоположном направлении приводит к противоположному смещению, аналогично тому, как винт движется в противоположных направлениях, когда его закручивают в двух направлениях.

Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических . Учитывая систему параметризованных геодезических, можно выделить класс аффинных связностей, имеющих эти геодезические, но отличающихся кручением. Существует уникальное соединение, которое поглощает кручение , обобщая соединение Леви-Чивита на другие, возможно, неметрические ситуации (например, геометрию Финслера ). Разницей между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения является тензор, называемый тензором конторсии . Поглощение кручения также играет фундаментальную роль при изучении G-структур и метода эквивалентности Картана . Кручение также полезно при изучении непараметрических семейств геодезических через соответствующую проективную связь . В теории относительности такие идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна-Картана .

Определение

Пусть M — многообразие с аффинной связностью на касательном расслоении (она же ковариантная производная ) ∇. Тензор кручения (иногда называемый тензором ( кручения ) ∇ Картана — это векторнозначная 2-форма , определенная на векторных полях X и Y формулой

$T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

где [ X , Y ] — скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) для любой гладкой функции f . Таким образом, T является тензорным , несмотря на то, что он определен в терминах связности , которая является дифференциальным оператором первого порядка: он дает 2-форму на касательных векторах, в то время как ковариантная производная определена только для векторных полей.

Компоненты тензора кручения

Компоненты тензора кручения $T^{c}{}_{ab}$ терминах локального базиса ( e ₁ , ..., en _X ) сечений в касательного расслоения можно получить, полагая = e i _, Y = e j _и вводя коммутаторные коэффициенты γ ^к _ij е _{k знак} равно [ е _я , е _j ] . Тогда компоненты кручения будут

$T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Здесь ${\Gamma ^{k}}_{ij}$– коэффициенты связи , определяющие связь. Если базис голономен , то скобки Ли исчезают: $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$. Так $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$. В частности (см. ниже), если уравнения геодезических определяют симметричную часть связности, то тензор кручения определяет антисимметричную часть.

Торсионная форма

Форма кручения , альтернативная характеристика кручения, применяется к расслоению реперов F M многообразия M . Это главное расслоение снабжено формой связности ω , gl ( n )-значной однозначной формой, которая отображает вертикальные векторы в генераторы правого действия в gl ( n ) и эквивариантно переплетает правое действие GL( n ) на касательное расслоение к FM с присоединенным представлением на gl ( n ). Пакет кадров также содержит каноническую одну форму θ со значениями в R ^н , определенный в системе отсчета u ∈ F _x M (рассматриваемый как линейная функция u : R ^н → Т _x M ) по

$\theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))$

где π : F M → M — отображение проекции главного расслоения, а π∗ — его преобразование вперед. Тогда форма кручения будет

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .$

Эквивалентно, Θ = Dθ , где D — внешняя ковариантная производная, определяемая связностью.

Торсионная форма представляет собой (горизонтальную) тензорную форму со значениями в R ^н , что означает, что при правильном действии g ∈ GL( n ) он преобразуется эквивариантно :

$R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta$

где g действует в правой части через свое присоединенное представление на R ^н .

Торсионная форма в рамке

См. также: Форма подключения

Форму кручения можно выразить через форму связности на базисном многообразии M , записанную в конкретном репере касательного расслоения ( e1 _, ..., en _n ) . Форма связи выражает внешнюю ковариантную производную этих основных разделов:

$D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.$

Формой спайки касательного расслоения (относительно этой системы отсчета) является двойственный базис θ ^я ∈ Т ^∗ M e i _, так что θ ^я ( е _j ) знак равно δ ^я _j ( дельта Кронекера ). Тогда крученная 2-форма имеет компоненты

$\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.$

В самом правом выражении

${T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)$

являются компонентами системы координат тензора кручения, как указано в предыдущем определении.

Легко показать, что Θ ^я преобразуется тензорно в том смысле, что если другой кадр

${\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}$

для некоторой обратимой матрицей-функции ( g ^дж _я Затем

${\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.$

Другими словами, Θ — тензор типа (1, 2) (несущий один контравариантный и два ковариантных индекса).

Альтернативно, форма припоя может быть охарактеризована независимо от системы координат как TM -значная однозначная форма θ на M , соответствующая тождественному эндоморфизму касательного расслоения при изоморфизме двойственности End(TM ) ≈ TM ⊗ T ^∗ М. ​ Тогда крученная 2-форма является сечением

$\Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)$

данный

$\Theta =D\theta ,$

где D — внешняя ковариантная производная . ( см. в форме подключения Подробнее .)

Неприводимое разложение

Тензор кручения можно разложить на две неприводимые части: часть без следов и часть, содержащую следовые члены. Используя обозначение индекса , след T определяется выражением

$a_{i}=T^{k}{}_{ik},$

и часть без следов

$B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},$

где δ ^я _j — дельта Кронекера .

По сути, человек имеет

$T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).$

След T , tr T , является элементом T ^∗ М определяется следующим образом. Для каждого фиксированного вектора X ∈ TM , T определяет элемент T ( X ) из Hom( TM , TM ) через

$T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).$

Тогда (tr T )( X ) определяется как след этого эндоморфизма. То есть,

$(\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).$

бесследовая часть T Тогда равна

$T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),$

где ι обозначает внутренний продукт .

Бьянки

Тензор кривизны ∇ — это отображение TM определенное × TM → End(TM ) , на векторных полях X , Y и Z формулами

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$

Для векторов в точке это определение не зависит от того, как векторы расширяются до векторных полей вдали от точки (таким образом, оно определяет тензор, во многом похожий на кручение).

Тождества Бьянки связывают кривизну и кручение следующим образом. Позволять ${\mathfrak {S}}$обозначают сумму по X , Y и Z. циклическую Например,

${\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.$

Тогда имеют место следующие тождества

1. Первая личность Бьянки:

   ${\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)$

2. Вторая личность Бьянки:

   ${\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0$

Форма кривизны

Форма кривизны — это gl ( n )-значная 2-форма

$\Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega$

где, опять же, D обозначает внешнюю ковариантную производную. В терминах формы кривизны и формы кручения соответствующие тождества Бьянки имеют вид

1. $D\Theta =\Omega \wedge \theta$
2. $D\Omega =0.$

Более того, по формам кривизны и кручения можно восстановить тензоры кривизны и кручения следующим образом. точке u из _FxM имеем В

${\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}$

где опять ты : R ^н → T _x M — функция, задающая кадр в волокне, и выбор подъема векторов через π ⁻¹ не имеет значения, поскольку формы кривизны и кручения горизонтальны (они исчезают на неоднозначных вертикальных векторах).

Характеристики

Кручение — это способ характеристики степени скольжения или скручивания, которое совершает плоскость при качении по поверхности или аффинному многообразию более высокой размерности .

Например, рассмотрим катку плоскости по маленькому кругу, нарисованному на сфере. Если самолет не скользит и не перекручивается, то при прокатке самолета по окружности он также очертит круг в плоскости. Оказывается, что плоскость повернется (несмотря на то, что при ее вращении не произойдет поворота), эффект обусловлен кривизной сферы . Но начерченная кривая все равно будет кругом, то есть, в частности, замкнутой кривой, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке. С другой стороны, если бы плоскость катилась по сфере, но при этом допускалась ее скольжение или скручивание, то путь, который прочерчивает круг на плоскости, мог бы представлять собой гораздо более общую кривую, которую даже не нужно было бы замыкать. Кручение — это способ количественной оценки этого дополнительного скольжения и скручивания при движении самолета по кривой.

Таким образом, тензор кручения можно интуитивно понять, взяв небольшой контур параллелограмма со сторонами, заданными векторами v и w , в пространстве и прокатав касательное пространство вдоль каждой из четырех сторон параллелограмма, отмечая по мере движения точку контакта. Когда схема будет завершена, отмеченная кривая будет смещена из плоскости параллелограмма вектором, обозначаемым $T(v,w)$. Таким образом, тензор кручения является тензором: (билинейной) функцией двух входных векторов v и w , которая создает выходной вектор. $T(v,w)$. Он кососимметричен по аргументам v и w , что является отражением того факта, что перемещение контура в противоположном направлении отменяет исходное смещение, почти так же, как поворот винта в противоположных направлениях смещает винт в противоположных направлениях. Таким образом, тензор кручения связан с кручением кривой , хотя и отличается от него , как оно появляется в формулах Френе-Серре : кручение соединения измеряет смещение развернутой кривой из ее плоскости, в то время как кручение Кривая также является смещением из соприкасающейся плоскости . В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность закручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся кадры катятся по кривой, не скользя и не перекручиваясь.

Пример

Рассмотрим (плоское) евклидово пространство $M=\mathbb {R} ^{3}$. На него положим связь плоскую, но с ненулевым кручением, заданную в стандартной евклидовой системе координат. $e_{1},e_{2},e_{3}$ (евклидовым) векторным произведением :

$$\nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.$$

Рассмотрим теперь параллельный перенос вектора $e_{2}$ вдоль $e_{1}$оси, начиная с начала координат. Параллельное векторное поле $X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}$ таким образом удовлетворяет $X(0)=e_{2}$, и дифференциальное уравнение

$${\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}$$

Таким образом ${\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a$, и решение $X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}$.

Теперь кончик вектора $X$, поскольку он транспортируется вдоль $e_{1}$ ось очерчивает спираль

$$x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.$$

Таким образом, мы видим, что при наличии кручения параллельный транспорт стремится закрутить систему отсчета вокруг направления движения, аналогично той роли, которую играет кручение в классической дифференциальной геометрии кривых .

Развитие

Одна из интерпретаций кручения предполагает появление кривой. Предположим, что кусочно-гладкий замкнутый контур $\gamma :[0,1]\to M$ задано, исходя из точки $p\in M$, где $\gamma (0)=\gamma (1)=p$. Мы предполагаем, что $\gamma$гомотопно нулю. Кривую можно развернуть в касательное пространство при $p$следующим образом. Позволять $\theta ^{i}$ быть параллельным кофреймом вдоль $\gamma$, и разреши $x^{i}$ быть координатами на $T_{p}M$ индуцированный $\theta ^{i}(p)$. Развитие $\gamma$ это кривая ${\tilde {\gamma }}$ в $T_{p}M$ чьи координаты $x^{i}=x^{i}(t)$ утвердить дифференциальное уравнение

$$dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.$$

Если кручение равно нулю, то развитая кривая ${\tilde {\gamma }}$ также является замкнутым контуром (так что ${\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)$). С другой стороны, если кручение не равно нулю, то развитая кривая может быть незамкнутой, так что ${\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)$. Таким образом, развитие петли при наличии кручения может стать дислоцированным, аналогично винтовой дислокации .

Вышеизложенные соображения можно сделать более количественными, если рассмотреть небольшой параллелограмм, начинающийся в точке $p\in M$, с бортиками $v,w\in T_{p}M$. Тогда касательный бивектор к параллелограмму равен $v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M$. Развертывание этого параллелограмма с помощью связи, вообще говоря, уже не является замкнутым, а перемещение при обходе петли является переносом вектора $\Theta (v,w)$, где $\Theta$ - тензор кручения с точностью до членов более высокого порядка по $v,w$. Это смещение прямо аналогично вектору Бюргерса в кристаллографии.

В более общем плане можно также транспортировать движущийся кадр по кривой. ${\tilde {\gamma }}$. Линейное преобразование , которому подвергается кадр между $t=0,t=1$затем определяется кривизной соединения. Вместе линейное преобразование кадра и перевод начальной точки из ${\tilde {\gamma }}(0)$ к ${\tilde {\gamma }}(1)$ составляют голономность связи.

Кручение нити

В материаловедении , и особенно в теории упругости , важную роль также играют идеи кручения. Одна из задач моделирует рост лоз и фокусируется на вопросе, как лозам удается обвивать объекты. Сама лоза моделируется как пара эластичных нитей, скрученных друг вокруг друга. В состоянии минимизации энергии лоза естественным образом растет в форме спирали . Но лозу также можно вытянуть, чтобы максимально увеличить ее протяженность (или длину). В этом случае кручение лозы связано с кручением пары нитей (или, что то же самое, кручением поверхности ленты, соединяющей нити), и отражает разницу между максимизирующей длину (геодезической) конфигурацией лозы и его энергосберегающая конфигурация.

Кручение и завихренность

В гидродинамике кручение естественным образом связано с вихревыми линиями .

Предположим, что связь $D$ задан в трех измерениях, с кривизной 2-формы $\Omega _{a}^{b}$ и кручение 2-формы $\Theta ^{a}=D\theta ^{a}$. Позволять $\eta _{abc}$ — кососимметричный тензор Леви-Чивита , а

$$t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},$$

$$s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.$$

Тогда тождества Бьянки Личности Бьянки

$$D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.$$

подразумеваю, что $Dt_{a}=0$ и

$$Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.$$

Это уравнения, которым удовлетворяет равновесная сплошная среда с плотностью момента $s_{ab}$.

Геодезика и поглощение кручения

Предположим, что ( t ) — кривая на M. γ Тогда γ — аффинно параметризованная геодезическая при условии, что

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

для всего времени t в области γ . (Здесь точка обозначает дифференцирование по t , которое связывает с γ касательный вектор, указывающий вдоль него.) Каждая геодезическая однозначно определяется своим начальным касательным вектором в момент времени t = 0 , ${\dot {\gamma }}(0)$.

Одно из применений кручения соединения включает в себя геодезическое распыление соединения: грубо говоря, семейство всех аффинно параметризованных геодезических. Кручение — это неоднозначность классификации связей по их геодезическим разбрызгиваниям:

• Две связности ∇ и ∇′, имеющие одинаковые аффинно параметризованные геодезические (т.е. один и тот же геодезический спрей), отличаются только кручением.

Точнее, если X и Y — пара касательных векторов в точке p ∈ M , то пусть

$\Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}$

быть разницей двух связей, рассчитанной с точки зрения произвольных расширений X и Y от p . По правилу произведения Лейбница видно, что Δ на самом деле не зависит от того, как расширяются X и Y ′ (поэтому оно определяет тензор на M ). Пусть S и A — симметричные и знакопеременные части Δ:

$S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

$A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

Затем

• $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ – разность тензоров кручения.
• ∇ и ∇′ определяют одни и те же семейства аффинно параметризованных геодезических тогда и только тогда, когда S ( X , Y ) = 0 .

Другими словами, симметричная часть разности двух связей определяет, имеют ли они одинаковые параметризованные геодезические, тогда как косая часть разности определяется относительным кручением двух связей. Другое последствие:

• Для любой аффинной связности ∇ существует единственная связность без кручения ∇′ с тем же семейством аффинно параметризованных геодезических. Разница между этими двумя связями на самом деле представляет собой тензор, тензор конторсии .

Это обобщение основной теоремы римановой геометрии на общие аффинные (возможно, неметрические) связности. Выделение единственной связности без кручения, подчиненной семейству параметризованных геодезических, известно как поглощение кручения и является одним из этапов метода эквивалентности Картана .

См. также

• Тензор конторсии
• Куртрайт Филд
• Тензор кривизны
• Связь Леви-Чивита
• Коэффициент кручения
• Кручение кривых

Ссылки

• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1980), Тензорный анализ многообразий , Dover Publications
• Картан, Э. (1923), «О многообразиях с аффинной связностью и теории обобщенной относительности (первая часть)» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
• Картан, Э. (1924), «О многообразиях с аффинной связностью и теории обобщенной относительности (первая часть) (продолжение)» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/asens.753
• Эльжановский, М.; Эпштейн, М. (1985), «Геометрическая характеристика гиперупругой однородности», Архив Rational Mechanics and Analysis , 88 (4): 347–357, Бибкод : 1985ArRMA..88..347E , doi : 10.1007/BF00250871 , S2CID   120127682
• Гориели, А.; Робертсон-Тесси, М.; Табор, М.; Вандивер, Р. (2006), «Модели эластичного роста» (PDF) , BIOMAT-2006 , Springer-Verlag , заархивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Хель, ФРВ; фон дер Хейде, П.; Керлик, Грузия; Нестер, Дж. М. (1976), «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы» , Rev. Mod. Физ. , 48 (3): 393–416, Бибкод : 1976RvMP...48..393H , doi : 10.1103/revmodphys.48.393 , 393.
• Киббл, TWB (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле», J. Math. Физ. , 2 (2): 212–221, Бибкод : 1961JMP.....2..212K , doi : 10.1063/1.1703702 , 212.
• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии , вып. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN  0-471-15733-3
• Поплавски, Нью-Джерси (2009), Пространство-время и поля , arXiv : 0911.0334 , Бибкод : 2009arXiv0911.0334P
• Схоутен, Дж. А. (1954), Исчисление Риччи , Springer-Verlag
• Шрёдингер, Э. (1950), Структура пространства-времени , издательство Кембриджского университета.
• Скиама, Д.В. (1964), «Физическая структура общей теории относительности» , Rev. Mod. Физ. , 36 (1): 463, Бибкод : 1964RvMP...36..463S , doi : 10.1103/RevModPhys.36.463
• Спивак, М. (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Том II , Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN  0-914098-71-3

Внешние ссылки

• Билл Терстон (2011) «Качение без скольжения, интерпретация кручения» , URL (версия: 27 января 2011 г.).