Двойной базис

В линейной алгебре для векторного пространства $V$ с основой $B$ векторов , индексированных набором индексов $I$ ( мощность ​ $I$ это размерность ​ $V$), множество двойственное $B$ это набор $B^{*}$ векторов в дуальном пространстве $V^{*}$ с тем же набором индексов $I$ такой, что $B$ и $B^{*}$образуют биортогональную систему . Двойственное множество всегда линейно независимо , но не обязательно охватывает $V^{*}$. Если это действительно охватывает $V^{*}$, затем $B^{*}$ называется двойным базисом или обратным базисом для базиса $B$.

Обозначая индексированные наборы векторов как $B=\{v_{i}\}_{i\in I}$ и $B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}$Биортогональность означает, что пары элементов имеют внутренний продукт, равный 1, если индексы равны, и равный 0 в противном случае. Символически, вычисление двойственного вектора в $V^{*}$ на векторе в исходном пространстве $V$:

$v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}$

где $\delta _{j}^{i}$ — символ дельты Кронекера .

Введение

Чтобы выполнять операции с вектором, нам необходим простой метод вычисления его компонентов. В декартовой системе координат необходимая операция — это скалярное произведение вектора и базового вектора. Например,

$\mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}$

где $\{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}$является основой в декартовой системе координат. Компоненты $\mathbf {x}$ можно найти по

$x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.$

Однако в недекартовой системе координат мы не обязательно имеем $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0$ для всех $i\neq j$. Однако всегда можно найти векторы $\mathbf {e} ^{i}$ в двойственном пространстве такое, что

$x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).$

Равенство имеет место, когда $\mathbf {e} ^{i}$s являются двойным базисом $\mathbf {e} _{i}$с. Обратите внимание на разницу в положении индекса $i$.

Существование и уникальность

Двойственное множество всегда существует и дает инъекцию из V в V. ^∗ , а именно отображение, которое отправляет v _i в v ^я . Это говорит, в частности, о том, что дуальное пространство имеет размерность большую или равную размерности V .

Однако двойственное множество бесконечномерного V не охватывает его двойственное пространство V. ^∗ . Например, рассмотрим отображение w в V ^∗ из V в базовые скаляры F , заданные формулой w ( v _i ) = 1 для всех i . Это отображение явно ненулевое на всех v _i . Если бы w было конечной линейной комбинацией двойственных базисных векторов v ^я , сказать ${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$ для конечного подмножества K из I , то для любого j, не входящего в K , ${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$, что противоречит определению w . Итак, это w не лежит в пределах двойственного множества.

Двойственное бесконечномерному пространству имеет большую размерность (это большая бесконечная мощность), чем исходное пространство, и, следовательно, они не могут иметь базис с тем же набором индексаций. Однако существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного пространства, изоморфное исходному пространству. Кроме того, для топологических векторных пространств можно определить непрерывное двойственное пространство , и в этом случае может существовать двойственный базис.

Конечномерные векторные пространства

В случае конечномерных векторных пространств двойственное множество всегда является двойственным базисом и единственно. Эти основания обозначаются $B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ и $B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}$. Если обозначить оценку ковектора на векторе как пару, условие биортогональности принимает вид:

$\left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.$

Объединение двойственного базиса с базисом дает отображение пространства баз V в пространство баз V. ^∗ , и это тоже изоморфизм. Для топологических полей, таких как действительные числа, пространство двойственных чисел является топологическим пространством , и это дает гомеоморфизм между многообразиями Штифеля баз этих пространств.

Категориальная и алгебраическая конструкция дуального пространства

Другой способ ввести двойственное пространство к векторному пространству ( модулю ) — ввести его в категориальном смысле. Для этого позвольте $A$ быть модулем, определенным над кольцом $R$ (то есть, $A$ это объект в категории $R{\text{-}}\mathbf {Mod}$). Затем мы определяем двойственное пространство $A$, обозначенный $A^{\ast }$, быть ${\text{Hom}}_{R}(A,R)$, модуль, состоящий из всех $R$-линейные гомоморфизмы модулей из $A$ в $R$. Обратите внимание, что мы можем определить двойственное к двойственному, называемое двойным двойственным к двойственному. $A$, записанный как $A^{\ast \ast }$и определяется как ${\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)$.

Чтобы формально построить базис дуального пространства, мы ограничимся теперь случаем, когда $F$ является конечномерным свободным (слева) $R$-модуль, где $R$представляет собой кольцо с единицей. Тогда мы предполагаем, что множество $X$ является основой для $F$. Отсюда мы определяем дельта-функцию Кронекера $\delta _{xy}$ над основой $X$ к $\delta _{xy}=1$ если $x=y$ и $\delta _{xy}=0$ если $x\neq y$. Тогда набор $S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace$ описывает линейно независимое множество, в котором каждый $f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)$. С $F$ конечномерен, базис $X$имеет конечную мощность. Тогда набор $S$ является основой для $F^{\ast }$ и $F^{\ast }$ это бесплатно (право) $R$-модуль.

Примеры

Например, стандартные базисные векторы $\mathbb {R} ^{2}$ ( декартова плоскость )

$\left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

и стандартные базисные векторы его двойственного пространства $(\mathbb {R} ^{2})^{*}$ являются

$\left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}$

В трехмерном евклидовом пространстве для заданного базиса $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$, биортогональный (двойственный) базис $\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}$ можно найти по формулам ниже:

$\mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.$

где ^Т обозначает транспонирование и

$V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})$

- объем параллелепипеда , образованного базисными векторами $\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}$ и $\mathbf {e} _{3}.$

В общем, двойственный базис базиса в конечномерном векторном пространстве можно легко вычислить следующим образом: учитывая базис $f_{1},\ldots ,f_{n}$ и соответствующий двойной базис $f^{1},\ldots ,f^{n}$ мы можем строить матрицы

${\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Тогда определяющее свойство двойственного базиса гласит, что

$G^{\mathsf {T}}F=I$

Следовательно, матрица для двойственного базиса $G$ может быть вычислено как

$G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}$

См. также

• Обратная решетка
• Индекс Миллера
• Ось зоны

Ссылки

• Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж.; Еремеев, Виктор А. (2010). Тензорный анализ с приложениями к механике . Всемирная научная. ISBN  978-981431312-4 .
• «Нахождение двойного базиса» . Обмен стеками . 27 мая 2012 г.