Кронекера дельта

Не путать ни с дельта-функцией Дирака , ни с символом Кронекера .

В математике ( дельта Кронекера названная в честь Леопольда Кронекера ) является функцией двух переменных , обычно просто неотрицательных целых чисел . Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:

$$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$

или с использованием брекетов Айверсона :

$$\delta _{ij}=[i=j]\,$$

Например, $\delta _{12}=0$ потому что $1\neq 2$, тогда как $\delta _{33}=1$ потому что $3=3$.

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики, техники и информатики как средство компактного выражения ее определения, приведенного выше.

В линейной алгебре $n\times n$ идентификационная матрица $\mathbf {I}$ имеет записи, равные дельте Кронекера:

$$I_{ij}=\delta _{ij}$$

где $i$ и $j$ принять значения $1,2,\cdots ,n$, а продукт векторов внутренний можно записать как

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

Здесь евклидовы векторы определяются как n -кортежи: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ и $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ и последний шаг получается путем использования значений дельты Кронекера для уменьшения суммирования по $j$.

Обычно i и j ограничиваются набором формы {1, 2, ..., n } или {0, 1, ..., n − 1} , но дельта Кронекера может быть определена на произвольный набор.

Свойства

Следующие уравнения удовлетворяются:

$${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$$

Следовательно, матрицу δ можно рассматривать как единичную.

Еще одним полезным представлением является следующая форма:

$$\delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}$$

Это можно получить, используя формулу геометрической прогрессии .

Альтернативное обозначение

Использование скобки Айверсона :

$$\delta _{ij}=[i=j].$$

Часто запись с одним аргументом $\delta _{i}$ используется, что эквивалентно установке $j=0$:

$$\delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}$$

В линейной алгебре его можно рассматривать как тензор , и он записывается $\delta _{j}^{i}$. Иногда дельту Кронекера называют тензором замещения.

Цифровая обработка сигнала

Функция единичной выборки

При исследовании цифровой обработки сигналов (DSP) функция единичной выборки $\delta [n]$ представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера $\delta _{ij}$ где индексы Кронекера включают число ноль и где один из индексов равен нулю. В этом случае:

$$\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty$$

Или, в более общем смысле, где:

$$\delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty$$

Однако это лишь частный случай. В тензорном исчислении чаще нумеруют базисные векторы в определенном измерении, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае соотношение $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}$ не существует, и на самом деле дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки — это разные функции, перекрывающиеся в конкретном случае, когда индексы включают число 0, число индексов равно 2, а один из индексов имеет значение ноль.

Хотя функция выборки дискретных единиц и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующим образом. Для функции выборки дискретных единиц более привычно помещать один целочисленный индекс в квадратные скобки; напротив, дельта Кронекера может иметь любое количество индексов. Кроме того, назначение функции выборки дискретных единиц отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет получена как выходной сигнал системы. Напротив, типичной целью дельта-функции Кронекера является фильтрация членов из соглашения Эйнштейна о суммировании .

Функция дискретной единичной выборки проще определяется как:

$$\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}$$

Кроме того, дельта-функцию Дирака часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:

$${\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}$$

В отличие от дельта-функции Кронекера $\delta _{ij}$ и функция единичной выборки $\delta [n]$, дельта-функция Дирака $\delta (t)$ не имеет целочисленного индекса, он имеет одно непрерывное нецелое значение t .

Чтобы еще больше запутать ситуацию, функция единичного импульса иногда используется для обозначения либо дельта -функции Дирака, либо дельта-функции Дирака. $\delta (t)$или функция единичной выборки $\delta [n]$.

Примечательные свойства

Дельта Кронекера обладает так называемым просеивающим свойством, которое для $j\in \mathbb {Z}$:

$$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$$

а если целые числа рассматривать как пространство меры , наделенное считающей мерой , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта -функции Дирака

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),$$

и фактически дельта Дирака была названа в честь дельты Кронекера из-за этого аналогичного свойства. При обработке сигналов «функции» Кронекера и Дирака обычно различаются по контексту (дискретное или непрерывное время). И по соглашению, $\delta (t)$ обычно указывает на непрерывное время (Дирак), тогда как аргументы вроде $i$, $j$, $k$, $l$, $m$, и $n$ обычно относятся к дискретному времени (Кронекер). Другая распространенная практика — представлять дискретные последовательности с помощью квадратных скобок; таким образом: $\delta [n]$. Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.

Дельта Кронекера образует мультипликативный единичный элемент алгебры инцидентности .

функцией

В теории вероятностей и статистике дельта Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения . Если поддержка распределения состоит из точек $\mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}$, с соответствующими вероятностями $p_{1},\cdots ,p_{n}$, то функция массы вероятности $p(x)$ распределения по $\mathbf {x}$ можно записать, используя дельту Кронекера, как

$$p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.$$

Эквивалентно, функция плотности вероятности $f(x)$ распределения можно записать с помощью дельта-функции Дирака как

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале подвергается фильтрованию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) в соответствии с теоремой о выборке Найквиста-Шеннона , результирующий сигнал дискретного времени будет дельта-функцией Кронекера.

Обобщения

Если его рассматривать как тип $(1,1)$ tensor тензор Кронекера можно записать $\delta _{j}^{i}$ с ковариантным индексом $j$ и контрвариантный индекс $i$:

$$\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$$

Этот тензор представляет:

• Тождественное отображение (или единичная матрица), рассматриваемое как линейное отображение $V\to V$ или $V^{*}\to V^{*}$
• След , или тензорное сжатие рассматриваемое как отображение $V^{*}\otimes V\to K$
• Карта $K\to V^{*}\otimes V$, представляющий скалярное умножение как сумму внешних произведений .

The обобщенная дельта Кронекера или многоиндексная дельта Кронекера порядка $2p$ это тип $(p,p)$ тензор, полностью антисимметричный по своей $p$ верхних индексах, а также в его $p$ более низкие индексы.

Два определения, различающиеся в разы. $p!$ используются. Ниже представлена ​​версия с ненулевыми компонентами, масштабированными до $\pm 1$. Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые $\pm 1/p!$, с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования $1/p!$ в § Свойства обобщенной дельты Кронекера ниже исчезающих.

дельты

С точки зрения индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}$$

Позволять $\mathrm {S} _{p}$ — симметрическая группа степени $p$, затем:

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$$

Использование антисимметризации :

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.$$

С точки зрения $p\times p$ определитель :

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.$$

Используя разложение Лапласа ( формулу Лапласа ) определителя, его можно определить рекурсивно :

$${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}$$

где карон, ${\check {}}$, указывает индекс, который исключен из последовательности.

Когда $p=n$ (размерность векторного пространства) через символ Леви-Чивита :

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.$$

В более общем смысле для $m=n-p$, используя соглашение Эйнштейна о суммировании :

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.$$

генерализованной

Сокращение Кронекера Дельта зависит от размера пространства. Например,

$$\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},$$

где d — размерность пространства. Из этого соотношения полная сжатая дельта получается как

$$\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).$$

Обобщением предыдущих формул является

$$\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.$$

дельты

Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризации :

$${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}$$

Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}$$

которые являются обобщенной версией формул, написанных в § Свойства . Последняя формула эквивалентна формуле Коши–Бине .

Понижение порядка путем суммирования индексов может быть выражено тождеством

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.$$

Использование обоих правил суммирования для случая $p=n$ и связи с символом Леви-Чивита правило суммирования символа Леви-Чивита выводится :

$$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.$$

4D-версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности. которые он позже обобщил, разрабатывая диаграммы Эйткена, стать частью техники графической записи Пенроуза . Также это соотношение широко используется в теориях S-двойственности , особенно когда они написаны на языке дифференциальных форм и дуалов Ходжа .

Интегральные представления

Для любого целого числа $n$, используя стандартное вычисление остатка , мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла, приведенного ниже, где контур интеграла движется против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу при вращении в комплексной плоскости.

$$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi$$

Гребень Кронекера

Гребенчатая функция Кронекера с периодом $N$ определяется (с использованием обозначения DSP ) как:

$$\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],$$

где $N$ и $n$ являются целыми числами. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов, разделенных N единицами, и включает единичный импульс в нуле. Ее можно считать дискретным аналогом гребешка Дирака .

Интеграл Кронекера

Дельтой Кронекера также называют степень отображения одной поверхности в другую. Предположим, что происходит отображение поверхности S _uvw на S _xyz , которые являются границами областей R _uvw и R _xyz , которое просто связано взаимно однозначным соответствием. структуре, если s и t являются параметрами для Suvw _каждый , и к _{из Suvw} Suvw ориентирован _{В этой} внешней нормалью n :

$$u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),$$

а нормаль имеет направление

$$(u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).$$

Пусть x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) определены и гладки в области, содержащей S _uvw , и пусть эти уравнения определяют отображение S _uvw на S _xyz . Тогда степень δ отображения равна В 1 / 4π раз телесный угол изображения S изображения S _uvw относительно внутренней точки S _xyz , O . Если O является началом области R _xyz , то степень δ определяется интегралом:

$$\delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.$$

См. также

• Мера Дирака
• Функция индикатора
• Символ Леви-Чивита
• Метрика Минковского
• символ 'т Хоофта
• Функция устройства
• XNOR-ворота