Кронекера дельта

В математике ( дельта Кронекера названная в честь Леопольда Кронекера ) является функцией двух переменных , обычно просто неотрицательных целых чисел . Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:

\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}

или с использованием брекетов Айверсона :

\delta _{ij}=[i=j]\,

Например,

\delta _{12}=0

потому что

1\neq 2

, тогда как

\delta _{33}=1

потому что

3=3

.

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики, техники и информатики как средство компактного выражения ее определения, приведенного выше.

В линейной алгебре $n\times n$ единичная матрица $\mathbf {I}$ имеет записи, равные дельте Кронекера:

I_{ij}=\delta _{ij}

где

i

и

j

принять значения

1,2,\cdots ,n

, а внутренний продукт векторов можно записать как

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.

Здесь евклидовы векторы определяются как

n

-кортежи:

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})

и

\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})

и последний шаг получается путем использования значений дельты Кронекера для сокращения суммирования по

j

.

Обычно $i$ и $j$ ограничиваются набором формы ${1, 2, ..., n}$ или ${0, 1, ..., n - 1}$ , но дельта Кронекера может быть определена на произвольный набор.

Свойства [ править ]

Следующие уравнения удовлетворяются:

{\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}

Следовательно, матрицу

δ

можно рассматривать как единичную.

Еще одним полезным представлением является следующая форма:

\delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}

Это можно получить, используя формулу геометрической прогрессии .

Альтернативное обозначение [ править ]

Использование скобки Айверсона :

\delta _{ij}=[i=j].

Часто запись с одним аргументом $\delta _{i}$ используется, что эквивалентно настройке $j=0$ :

\delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}

В линейной алгебре его можно рассматривать как тензор , и он записывается $\delta _{j}^{i}$ . Иногда дельту Кронекера называют тензором замещения. ^[1]

Цифровая обработка сигнала [ править ]

При исследовании цифровой обработки сигналов (DSP) функция единичной выборки $\delta [n]$ представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера $\delta _{ij}$ где индексы Кронекера включают число ноль и где один из индексов равен нулю. В этом случае:

\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty

Или, в более общем смысле, где:

\delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty

Однако это лишь частный случай. В тензорном исчислении чаще нумеруют базисные векторы в определенном измерении, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае соотношение $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}$ не существует, и на самом деле дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки — это разные функции, перекрывающиеся в конкретном случае, когда индексы включают число 0, число индексов равно 2, а один из индексов имеет значение нуль.

Хотя функция выборки дискретных единиц и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующим образом. Для функции выборки дискретных единиц более привычно помещать один целочисленный индекс в квадратные скобки; напротив, дельта Кронекера может иметь любое количество индексов. Кроме того, назначение функции выборки дискретных единиц отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет получена как выходной сигнал системы. Напротив, типичной целью дельта-функции Кронекера является фильтрация членов из соглашения Эйнштейна о суммировании .

Функция дискретной единичной выборки проще определяется как:

\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}

Кроме того, дельта-функцию Дирака часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:

{\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}

В отличие от дельта-функции Кронекера $\delta _{ij}$ и функция единичной выборки $\delta [n]$ , дельта-функция Дирака $\delta (t)$ не имеет целочисленного индекса, он имеет одно непрерывное нецелое значение $t$ .

Чтобы еще больше запутать ситуацию, функция единичного импульса иногда используется для обозначения либо дельта- функции Дирака, либо дельта-функции Дирака. $\delta (t)$ или функция единичной выборки $\delta [n]$ .

Примечательные свойства [ править ]

Дельта Кронекера обладает так называемым просеивающим свойством, которое для $j\in \mathbb {Z}$ :

\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.

а если целые числа рассматривать как пространство меры , наделенное считающей мерой , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта-функции Дирака

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),

и фактически дельта Дирака была названа в честь дельты Кронекера из-за этого аналогичного свойства. ^[2]При обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции Кронекера и Дирака». И по соглашению,

\delta (t)

обычно указывает на непрерывное время (Дирак), тогда как аргументы вроде

i

,

j

,

k

,

l

,

m

, и

n

обычно относятся к дискретному времени (Кронекер). Другая распространенная практика — представлять дискретные последовательности с помощью квадратных скобок; таким образом:

\delta [n]

. Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.

Дельта Кронекера образует мультипликативный единичный элемент алгебры инцидентности . ^[3]

с дельта- функцией Связь Дирака

В теории вероятностей и статистике дельта Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения . Если поддержка распределения состоит из точек $\mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}$ , с соответствующими вероятностями $p_{1},\cdots ,p_{n}$ , то функция массы вероятности $p(x)$ распределения по $\mathbf {x}$ можно записать, используя дельту Кронекера, как

p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.

Эквивалентно, функция плотности вероятности $f(x)$ распределения можно записать с помощью дельта-функции Дирака как

f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале подвергается фильтрованию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) в соответствии с теоремой о выборке Найквиста-Шеннона , результирующий сигнал дискретного времени будет дельта-функцией Кронекера.

Обобщения [ править ]

Если его рассматривать как тип $(1,1)$ tensor тензор Кронекера можно записать $\delta _{j}^{i}$ с ковариантным индексом $j$ и контрвариантный индекс $i$ :

\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}

Этот тензор представляет:

Тождественное отображение (или единичная матрица), рассматриваемое как линейное отображение $V\to V$ или $V^{*}\to V^{*}$
След или , рассматриваемое как тензорное сжатие отображение $V^{*}\otimes V\to K$
Карта $K\to V^{*}\otimes V$ , представляющий скалярное умножение как сумму внешних произведений .

The обобщенная дельта Кронекера или многоиндексная дельта Кронекера порядка $2p$ это тип $(p,p)$ тензор, полностью антисимметричный по своей $p$ верхних индексах, а также в его $p$ более низкие индексы.

Два определения, различающиеся в разы. $p!$ используются. Ниже представлена версия с ненулевыми компонентами, масштабированными до $\pm 1$ . Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые $\pm 1/p!$ , с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования $1/p!$ в § Свойства обобщенной дельты Кронекера ниже исчезающих. ^[4]

обобщенной Кронекера Определения дельты

С точки зрения индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как: ^[5]^[6]

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}

Позволять $\mathrm {S} _{p}$ — симметрическая группа степени $p$ , затем:

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.

Использование антисимметризации :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.

С точки зрения $p\times p$ определитель : ^[7]

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.

Используя разложение Лапласа ( формулу Лапласа ) определителя, его можно определить рекурсивно : ^[8]

{\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}

где карон,

{\check {}}

, указывает индекс, который опущен в последовательности.

Когда $p=n$ (размерность векторного пространства) через символ Леви-Чивита :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.

В более общем смысле для

m=n-p

, используя соглашение Эйнштейна о суммировании :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.

генерализованной Кронекера Сокращение дельты

Сокращение Кронекера Дельта зависит от размера пространства. Например,

\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},

где

d

— размерность пространства. Из этого соотношения полная сжатая дельта получается как

\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).

Обобщением предыдущих формул является ^{[ нужна цитата ]}

\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.

обобщенной дельты Кронекера Свойства

Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризации :

{\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}

Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:

{\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}

которые являются обобщенной версией формул, написанных в § Свойства . Последняя формула эквивалентна формуле Коши–Бине .

Понижение порядка путем суммирования индексов может быть выражено тождеством ^[9]

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.

Использование обоих правил суммирования для случая $p=n$ и связи с символом Леви-Чивита правило суммирования символа Леви-Чивита выводится :

\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.

4D-версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности. ^[10] которые он позже обобщил, разрабатывая диаграммы Эйткена, ^[11] стать частью техники графической записи Пенроуза . ^[12] Также это соотношение широко используется в теориях S-двойственности , особенно когда они написаны на языке дифференциальных форм и дуалов Ходжа .

Интегральные представления [ править ]

Для любого целого числа $n$ , используя стандартное вычисление остатка , мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла, приведенного ниже, где контур интеграла движется против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу при вращении в комплексной плоскости.

\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi

Гребень Кронекера [ править ]

Гребенчатая функция Кронекера с периодом $N$ определяется (с использованием обозначения DSP ) как:

\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],

где

N

и

n

являются целыми числами. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов,

разделенных N

единицами, и включает единичный импульс в нуле. Его можно считать дискретным аналогом гребенки Дирака .

Интеграл Кронекера [ править ]

Дельтой Кронекера также называют степень отображения одной поверхности в другую. ^[13]Предположим, что происходит отображение поверхности $S uvw$ на $S xyz$ , которые являются границами областей $R uvw$ и $R xyz$ , которое просто связано взаимно однозначным соответствием. В этой структуре, если $s$ и $t$ параметрами для $Suvw к$ , и $Suvw каждый из Suvw$ ориентирован $внешней являются$ нормалью $n$ :

u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),

а нормаль имеет направление

(u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).

Пусть $x = x (u, v, w)$ , $y = y (u, v, w)$ , $z = z (u, v, w)$ определены и гладки в области, содержащей $S uvw$ , и пусть эти уравнения определяют отображение $S uvw$ на $S xyz$ . Тогда степень $δ$ отображения равна $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}В 1 / 4π$ раз телесный угол изображения $S$ изображения $S uvw$ относительно внутренней точки $S xyz$ , $O$ . Если $O$ является началом области $R xyz$ , то степень $δ$ определяется интегралом:

\delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Троубридж, Дж. Х. (1998). «О методике измерения турбулентного напряжения сдвига при наличии поверхностных волн» . Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Бибкод : 1998JAtOT..15..290T . doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .
^ Дирак, Поль (1930). Принципы квантовой механики (1-е изд.) . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198520115 .
^ Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности , Чистая и прикладная математика, том. 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8 .
^ Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .
^ Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: Введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601 .
^ Агарвал, округ Колумбия (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан Медиа. ^{[ ISBN отсутствует ]}
^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-65840-6 .
^ Рекурсивное определение требует первого случая, который можно принять как $δ = 1$ для $p = 0$ или, альтернативно, $δ м п = д м ν$ для $p = 1$ (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).
^ Хасани, Садри (2008). Математические методы: для студентов-физиков и смежных специальностей (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-09503-5 .
^ Пенроуз, Роджер (июнь 1960 г.). «Спинорный подход к общей теории относительности» . Анналы физики . 10 (2): 171–201. Бибкод : 1960АнФиз..10..171П . дои : 10.1016/0003-4916(60)90021-X .
^ Эйткен, Александр Крейг (1958). Определители и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.
^ Роджер Пенроуз , «Применение тензоров отрицательной размерности», в книге «Комбинаторная математика и ее приложения» , Academic Press (1971).
^ Каплан, Уилфред (2003). Продвинутое исчисление . Пирсон Образование. п. 364. ИСБН 0-201-79937-5 .

[Trowbridge-1] Троубридж, Дж. Х. (1998). «О методике измерения турбулентного напряжения сдвига при наличии поверхностных волн» . Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Бибкод : 1998JAtOT..15..290T . doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .

[2] Дирак, Поль (1930). Принципы квантовой механики (1-е изд.) . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198520115 .

[3] Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности , Чистая и прикладная математика, том. 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8 .

[4] Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .

[5] Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: Введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601 .

[6] Агарвал, округ Колумбия (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан Медиа. ^{[ ISBN отсутствует ]}

[7] Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Публикации Courier Dover. ISBN 0-486-65840-6 .

[8] Рекурсивное определение требует первого случая, который можно принять как $δ = 1$ для $p = 0$ или, альтернативно, $δ м п = д м ν$ для $p = 1$ (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).

[9] Хасани, Садри (2008). Математические методы: для студентов-физиков и смежных специальностей (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-09503-5 .

[10] Пенроуз, Роджер (июнь 1960 г.). «Спинорный подход к общей теории относительности» . Анналы физики . 10 (2): 171–201. Бибкод : 1960АнФиз..10..171П . дои : 10.1016/0003-4916(60)90021-X .

[11] Эйткен, Александр Крейг (1958). Определители и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.

[12] Роджер Пенроуз , «Применение тензоров отрицательной размерности», в книге «Комбинаторная математика и ее приложения» , Academic Press (1971).

[13] Каплан, Уилфред (2003). Продвинутое исчисление . Пирсон Образование. п. 364. ИСБН 0-201-79937-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]