Остаток (комплексный анализ)

В математике , а точнее в комплексном анализе , остаток представляет собой комплексное число, пропорциональное контурному интегралу мероморфной функции вдоль пути, охватывающего одну из ее особенностей . (В более общем плане остатки можно рассчитать для любой функции $f\colon \mathbb {C} \smallsetminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ который голоморфен, за исключением дискретных точек { ak _{.) Вычеты можно вычислить довольно легко и} } _k , даже если некоторые из них являются существенными особенностями , как только они станут известны, позволят определить общие контурные интегралы с помощью теоремы о вычетах .

Определение

Вычет мероморфной функции $f$ в изолированной сингулярности $a$, часто обозначаемый $\operatorname {Res} (f,a)$, $\operatorname {Res} _{a}(f)$, $\mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)$ или $\mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)$, уникальное значение $R$ такой, что $f(z)-R/(z-a)$ имеет аналитическую первообразную в проколотом диске $0<\vert z-a\vert <\delta$.

Альтернативно, остатки можно рассчитать, найдя разложения в ряд Лорана , и можно определить остаток как коэффициент a _-1 ряда Лорана.

Эта концепция может быть использована для получения значений контурного интегрирования некоторых задач контурного интеграла, рассматриваемых в теореме о вычетах . По теореме о вычетах для мероморфной функции $f$, остаток в точке $a_{k}$ дается как:

$\operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.$

где $\gamma$ представляет собой положительно ориентированную простую замкнутую кривую вокруг $a_{k}$ и не включая никаких других особенностей на кривой или внутри нее.

Определение вычета можно обобщить на произвольные римановы поверхности . Предполагать $\omega$ является 1-формой на римановой поверхности. Позволять $\omega$ быть мероморфным в какой-то момент $x$, чтобы мы могли написать $\omega$ в местных координатах как $f(z)\;dz$. Тогда остаток $\omega$ в $x$ определяется как остаток $f(z)$ в точке, соответствующей $x$.

Контурная интеграция

См. также: Контурная интеграция.

Контурный интеграл монома

Вычисление остатка монома

$\oint _{C}z^{k}\,dz$

упрощает выполнение большинства вычислений остатков. Поскольку вычисления интеграла по путям гомотопически инвариантны, мы будем считать, что $C$ быть кругом с радиусом $1$ идем против часовой стрелки. Тогда, используя замену координат $z\to e^{i\theta }$ мы находим это

$dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta$

следовательно, наш интеграл теперь читается как

$\oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Таким образом, остаток $z^{k}$ равно 1, если целое число $k=-1$ и 0 в противном случае.

на

Если функция выражается как разложение в ряд Лорана вокруг c следующим образом:

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.$$

Затем остаток в точке c рассчитывается как:

$$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}$$

использование результатов контурного интеграла монома для контурного интеграла против часовой стрелки $\gamma$ вокруг точки c. Следовательно, если представление функции в ряд Лорана существует вокруг c, то ее вычет вокруг c известен по коэффициенту $(z-c)^{-1}$ срок.

Применение в

Основная статья: Теорема о вычетах

Для мероморфной функции $f$, с конечным набором особенностей внутри положительно ориентированной простой замкнутой кривой $C$ который не проходит ни через одну особенность, значение контурного интеграла определяется в соответствии с теоремой о вычетах как:

$$\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$$

где $\operatorname {I} (C,a_{k})$, номер обмотки, $1$ если $a_{k}$ находится внутри $C$ и $0$ если нет, упрощаем до:

$$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})$$

где $a_{k}$ все изолированные особенности внутри контура $C$.

Расчет остатков

Предположим, проколотый диск D = { z : 0 < | г - с | < R } в комплексной плоскости задано, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Остаток Res( f , c ) от f в точке c является коэффициентом a ₋₁ числа ( z − c ) ⁻¹ в в ряд Лорана разложении f вокруг c . Существуют различные методы вычисления этой величины, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и природы особенности.

По теореме о вычетах имеем:

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

где γ очерчивает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через нее и не содержит в себе других особенностей. Мы можем выбрать путь γ как круг радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть настолько малым, насколько мы хотим, его можно заставить содержать только особенность c из-за природы изолированных особенностей. Это можно использовать для расчета в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно остатки используются для упрощения расчета интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем диске $|y-c|<R$, то Res( f , c ) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно.

Простые столбы

В простом полюсе c остаток f определяется выражением:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

Если этого предела не существует, то здесь имеется существенная сингулярность. Если он равен 0, то он там либо аналитичен, либо имеется устранимая особенность. Если он равен бесконечности, то порядок выше 1.

Возможно, функцию f можно выразить как частное двух функций: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, где g и h — голоморфные функции в окрестности c ) ≠ 0. , с h ( c ) = 0 и h' ( c В таком случае правило Лопиталя можно использовать для упрощения приведенной выше формулы до:

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}$

порядка

В более общем смысле, если c является полюсом порядка n , то остаток f вокруг z = c можно найти по формуле:

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

Эта формула может быть очень полезна при определении вычетов для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка расчеты могут стать неуправляемыми, и расширение серии обычно проще. Для существенных особенностей такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложения в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).$

Если выполняется следующее условие:

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).$

Если вместо этого

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

тогда остаток на бесконечности равен

$\operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

Для голоморфных функций сумма вычетов в изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

$\operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).$

Методы серии

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что может быть возможно, если части или вся функция имеет стандартное разложение в ряд, то вычисление остатка существенно проще, чем другими методами. Остаток функции просто определяется коэффициентом при $(z-c)^{-1}$ в в ряд Лорана разложении функции .

Примеры

от

Пример 1

В качестве примера рассмотрим контурный интеграл

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

где C — некоторая простая замкнутая кривая около 0.

Давайте вычислим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости при интегрировании в ряд. Мы можем заменить ряд Тейлора на $e^{z}$ в подынтегральную функцию. Тогда интеграл становится

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

Приведем 1/ z ⁵ фактор в сериале. Тогда контурный интеграл ряда запишет

${\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}$

Поскольку ряд сходится равномерно на носителе пути интегрирования, нам разрешено менять местами интегрирование и суммирование. Затем ряд интегралов по траекториям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущих вычислений. Итак, теперь интеграл вокруг C любого другого члена не в форме cz ⁻¹ равен нулю, и интеграл сводится к

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

Стоимость 1/4! остаток ​ ​ e ^С / С ⁵ при z = 0 и обозначается

$\operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.$

Пример 2

В качестве второго примера рассмотрим вычисление вычетов в особенностях функции

$$f(z)={\sin z \over z^{2}-z}$$

который можно использовать для вычисления определенных контурных интегралов. Кажется, что эта функция имеет особенность при z = 0, но если факторизовать знаменатель и, таким образом, записать функцию как

$$f(z)={\sin z \over z(z-1)}$$

очевидно, что особенность при z = 0 является устранимой особенностью , и тогда вычет при z = 0, следовательно, равен 0.Единственная другая особенность находится в точке z = 1. Напомним выражение ряда Тейлора для функции g ( z ) относительно z = a :

$$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots$$

Итак, для g ( z ) = sin z и a = 1 имеем

$$\sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$$

и для g ( z ) = 1/ z и a = 1 имеем

$${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$$

Умножив эти два ряда и введя 1/( z − 1), мы получим

$${\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$$

Таким образом, остаток f ( z ) при z = 1 равен греху 1.

Пример 3

Следующий пример показывает, что при вычислении вычета разложением в ряд большую роль играет теорема обращения Лагранжа . Позволять

$$u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$$

быть целой функцией , и пусть

$$v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$$

с положительным радиусом сходимости и с ${\textstyle v_{1}\neq 0}$. Так ${\textstyle v(z)}$ имеет локальный обратный ${\textstyle V(z)}$ в 0 и ${\textstyle u(1/V(z))}$ мероморфен в 0. Тогда имеем:

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.$$

Действительно,

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}$$

потому что первый ряд сходится равномерно на любом маленьком круге вокруг 0. Используя теорему обращения Лагранжа

$$\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},$$

и мы получаем приведенное выше выражение. Например, если $u(z)=z+z^{2}$ а также $v(z)=z+z^{2}$, затем

$$V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}$$

и

$$u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.$$

Первый член дает вклад 1 в остаток, а второй член дает вклад 2, поскольку он асимптотичен $1/z^{2}+2/z$.

Заметим, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях на ${\textstyle u(z)}$ и ${\textstyle v(z)}$, отсюда также следует

$$\operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),$$

где ${\textstyle U(z)}$ является локальной инверсией ${\textstyle u(z)}$ в 0.

См. также

• Теорема о вычетах связывает контурный интеграл вокруг некоторых полюсов функции с суммой их вычетов.
• Интегральная формула Коши
• Интегральная теорема Коши
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Мореры
• Частные дроби в комплексном анализе

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . МакГроу Хилл.
• Марсден, Джеррольд Э.; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Базовый комплексный анализ (3-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-2877-1 .

Внешние ссылки

• «Вычет аналитической функции» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Сложный остаток» . Математический мир .