Интегральная теорема Коши

В математике ( интегральная теорема Коши также известная как теорема Коши-Гурса ) в комплексном анализе , названная в честь Огюстена-Луи Коши (и Эдуарда Гурса ), является важным утверждением о линейных интегралах для голоморфных функций в комплексной плоскости . По сути, там говорится, что если $f(z)$ голоморфен в односвязной области Ω, то для любого однозамкнутого контура $C$ в Ω этот контурный интеграл равен нулю.

$\int _{C}f(z)\,dz=0.$

Заявление

Основная теорема для комплексных линейных интегралов

Если $f (z)$ — голоморфная функция на открытой области $U$ , и $\gamma$ представляет собой кривую в $U$ из $z_{0}$ к $z_{1}$ затем, $\int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).$

Кроме того, когда $f (z)$ имеет однозначную первообразную в открытой области $U$ , то интеграл по путям ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$ не зависит от пути для всех путей в $U$ .

Формулировка об односвязных областях.

Позволять $U\subseteq \mathbb {C}$ — односвязное открытое множество и пусть $f:U\to \mathbb {C}$ быть голоморфной функцией . Позволять $\gamma :[a,b]\to U$ быть гладкой замкнутой кривой. Затем: $\int _{\gamma }f(z)\,dz=0.$ (Условие, что $U$ быть односвязным означает, что $U$ не имеет «дырок» или, другими словами, группа фундаментальная $U$ это тривиально.)

Общая формулировка

Позволять $U\subseteq \mathbb {C}$ быть открытым множеством , и пусть $f:U\to \mathbb {C}$ быть голоморфной функцией . Позволять $\gamma :[a,b]\to U$ быть гладкой замкнутой кривой. Если $\gamma$ гомотопен : постоянной кривой, то $\int _{\gamma }f(z)\,dz=0.$ (Напомним, что кривая гомотопна постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия (в пределах $U$ ) от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно сжать кривую в точку, не выходя из пространства.) Первая версия представляет собой частный случай, поскольку на односвязном множестве каждая замкнутая кривая гомотопна постоянной кривой.

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая $\gamma$ не окружает никаких «дыр» в области, иначе теорема неприменима. Известным примером является следующая кривая: $\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],$ который очерчивает единичный круг. Здесь следующий интеграл: $\int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,$ ненулевое значение. Интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку $f(z)=1/z$ не определяется в $z=0$ . Интуитивно, $\gamma$ окружает «дыру» в области $f$ , так $\gamma$ невозможно сжать до точки, не выходя из пространства. Таким образом, теорема не применима.

Обсуждение

Как показал Эдуард Гурса , интегральная теорема Коши может быть доказана только в предположении, что комплексная производная $f'(z)$ существует повсюду в $U$ . Это важно, потому что тогда можно доказать интегральную формулу Коши для этих функций и из этого сделать вывод, что эти функции бесконечно дифференцируемы .

Условие, которое $U$ быть односвязным означает, что $U$ не имеет «дырок» или, говоря языком гомотопии , что группа фундаментальная $U$ тривиально; например, каждый открытый диск $U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}$ , для $z_{0}\in \mathbb {C}$ , соответствует требованиям. Условие имеет решающее значение; учитывать $\gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]$ который вычерчивает единичную окружность, а затем интеграл по пути $\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i$ ненулевое значение; интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку $f(z)=1/z$ не определен (и, конечно, не голоморфен) в точке $z=0$ .

Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по путям голоморфных функций в односвязных областях могут быть вычислены способом, знакомым из фундаментальной теоремы исчисления : пусть $U$ быть односвязным открытым подмножеством $\mathbb {C}$ , позволять $f:U\to \mathbb {C}$ — голоморфная функция, и пусть $\gamma$ — кусочно-непрерывно дифференцируемый путь в $U$ с начальной точкой $a$ и конечная точка $b$ . Если $F$ представляет собой сложную первообразную от $f$ , затем $\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

Интегральная теорема Коши справедлива при более слабой гипотезе, чем приведенная выше, например, при условии $U$ , односвязное открытое подмножество $\mathbb {C}$ , мы можем ослабить предположения до $f$ будучи голоморфным на $U$ и постоянно включен ${\textstyle {\overline {U}}}$ и $\gamma$ цикл исправимый простой в ${\textstyle {\overline {U}}}$ . ^{[ 1 ]}

Интегральная теорема Коши приводит к интегральной формуле Коши и теореме о вычетах .

Доказательство

Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие теоремы Грина и того факта, что действительная и мнимая части $f=u+iv$ должно удовлетворять уравнениям Коши–Римана в области, ограниченной $\gamma$ , причем в открытой окрестности $U$ этой области. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса без использования методов векторного исчисления или непрерывности частных производных.

Мы можем разбить подынтегральную функцию $f$ , а также дифференциал $dz$ на их действительные и мнимые компоненты:

$f=u+iv$ $dz=dx+i\,dy$

В этом случае мы имеем $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)$

По теореме Грина мы можем тогда заменить интегралы по замкнутому контуру $\gamma$ с площадью, интегральной по всей области $D$ который заключен в $\gamma$ следующее:

$\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$ $\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

Но поскольку действительная и мнимая части функции, голоморфной в области определения $D$ , $u$ и $v$ там должно удовлетворять уравнениям Коши–Римана : ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Таким образом, мы находим, что оба подынтегральных выражения (и, следовательно, их интегралы) равны нулю.

$\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0$ $\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0$

Это дает желаемый результат $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$

См. также

Ссылки

^ Уолш, Дж. Л. (1 мая 1933 г.). «Теорема Коши-Гурса для спрямляемых жордановых кривых» . Труды Национальной академии наук . 19 (5): 540–541. дои : 10.1073/pnas.19.5.540 . ISSN 0027-8424 . ПМК 1086062 . ПМИД 16587781 .

Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджский институт исследований. Адв. Матем., 107, CUP , ISBN 978-0-521-80937-5
Альфорс, Ларс (2000), Комплексный анализ , серия McGraw-Hill по математике, McGraw-Hill , ISBN 0-07-000657-1
Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
Рудин, Уолтер (2000), Реальный и комплексный анализ , серия McGraw-Hill по математике, McGraw-Hill

Внешние ссылки

«Интегральная теорема Коши» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная теорема Коши» . Математический мир .
Джереми Орлофф, 18.04. Комплексные переменные в приложениях. Весна 2018 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons.

[1] Уолш, Дж. Л. (1 мая 1933 г.). «Теорема Коши-Гурса для спрямляемых жордановых кривых» . Труды Национальной академии наук . 19 (5): 540–541. дои : 10.1073/pnas.19.5.540 . ISSN 0027-8424 . ПМК 1086062 . ПМИД 16587781 .

[ 1 ]