Формула Коши для повторного интегрирования

Формула Коши повторного интегрирования , названная в честь Огюстена-Луи Коши , позволяет сжать n первообразных функции в один интеграл (ср. формулу Коши ).

Скалярный случай

Пусть f — непрерывная функция на прямой. Тогда n- й повторный интеграл от f с базовой точкой a , $$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},$$определяется путем одиночного интегрирования $$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Доказательство

Доказательство дается по индукции . Базовый случай с n=1 тривиален, поскольку он эквивалентен:

$$f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$$Теперь предположим, что это верно для n , и докажем это для n +1. Во-первых, используя правило интеграла Лейбница , заметим, что

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

Тогда, применяя предположение индукции,

$${\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}\left[\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что член в квадратных скобках имеет n-кратное последовательное интегрирование, а верхний предел внешнего интеграла внутри квадратных скобок равен $\sigma _{1}$. Таким образом, сравнивая со случаем n=n и заменяя $x,\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}$ формулы на шаге индукции n=n с $\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n+1}$ соответственно, чтобы получить

$${\begin{aligned}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\\\end{aligned}}$$

Помещение этого выражения в квадратную скобку приведет к

$${\begin{aligned}&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$$

• Было показано, что это утверждение справедливо для базового случая. $n=1$.
• Если утверждение верно для $n=k$, то было показано, что утверждение справедливо для $n=k+1$.
• Таким образом, это утверждение оказалось верным для всех положительных целых чисел.

Это завершает доказательство.

Обобщения и приложения

Формула Коши обобщается на нецелые параметры интегралом Римана-Лиувилля , где $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ заменяется на $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$, а факториал заменяется гамма-функцией . Обе формулы согласуются, если $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}$.

И формула Коши, и интеграл Римана-Лиувилля обобщаются на произвольные размерности с помощью потенциала Рисса .

В дробном исчислении эти формулы можно использовать для построения дифференциального целого , что позволяет дифференцировать или интегрировать дробное число раз. Дифференцирование дробного числа раз можно выполнить путем дробного интегрирования с последующим дифференцированием результата.

Ссылки

• Огюстен-Луи Коши : Тридцать пятый урок . В: Краткое изложение уроков по исчислению бесконечно малых в Королевской политехнической школе . Imprimerie Royale, Париж, 1823 г. Перепечатка: Полное собрание сочинений II (4), Готье-Виллар, Париж, стр. 5–261.
• Джеральд Б. Фолланд, Продвинутое исчисление , с. 193, Прентис Холл (2002). ISBN   0-13-065265-2

Внешние ссылки

• Алан Бирдон (2000). «Дробное исчисление II» . Кембриджский университет.

• Морис Мишлер (2023). «О некоторых повторяющихся интегралах и связанных с ними полиномах» .