Потенциал Рисса

В математике потенциал Рисса — это потенциал, названный в честь его первооткрывателя, венгерского математика Марселя Рисса . В некотором смысле потенциал Рисса определяет обратную степень оператора Лапласа в евклидовом пространстве. Они обобщают на несколько переменных интегралы Римана–Лиувилля от одной переменной.

Определение

Если 0 < α < n , то потенциал Рисса I _α f функции локально интегрируемой f на R ^н это функция, определяемая

$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$ ( 1 )

где константа определяется выражением

$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.$

Этот сингулярный интеграл четко определен при условии, что f достаточно быстро убывает на бесконечности, особенно если f ∈ L ^п ( Р ^н ) с 1 ≤ p < n / α . Фактически, для любого 1 ≤ p ( p > 1 является классическим, согласно Соболеву, а для p = 1 см. ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2014 ) скорость убывания f и скорость убывания I _α f связаны соотношением вид неравенства ( неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева )

$\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},$

где $Rf=DI_{1}f$ — векторное преобразование Рисса . В более общем смысле операторы I _α корректно определены для комплексных α таких, что 0 < Re α < n .

Потенциал Рисса можно определить в более общем смысле в слабом смысле как свертку

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

где K _α — локально интегрируемая функция:

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.$

Таким образом, потенциал Рисса можно определить всякий раз, когда f является распределением с компактным носителем. В этой связи потенциал Рисса положительной борелевской меры µ с компактным носителем представляет главный интерес в теории потенциала, поскольку I _α µ тогда является (непрерывной) субгармонической функцией вне носителя µ и полунепрерывна снизу на всем R ^н .

Рассмотрение преобразования Фурье показывает, что потенциал Рисса является множителем Фурье . Фактически, у человека есть

${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$

и поэтому по теореме о свертке

${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).$

Потенциалы Рисса удовлетворяют следующему свойству полугруппы , например, для быстро убывающих непрерывных функций

$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

предоставил

$0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.$

Более того, если 0 < Re α < n –2 , то

$\Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.$

Для этого класса функций также имеется

$\lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

См. также

• Бессель потенциал
• Дробная интеграция
• Sobolev space

Ссылки

• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0350027.
• Рис, Марсель (1949), «Интеграл Римана-Лиувилля и проблема Коши», Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN   0001-5962 , MR   0030102 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Потенциал Рисса» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Шикорра, Армин; Спектор, Дэниел; Ван Шафтинген, Жан (2014), Ан $L^{1}$-оценка типа для потенциалов Рисса , arXiv : 1411,2318 , doi : 10,4171/rmi/937 , S2CID   55497245
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN  0-691-08079-8
• Самко, Стефан Г. (1998), «Новый подход к обращению потенциального оператора Рисса» (PDF) , Дробное исчисление и прикладной анализ , 1 (3): 225–245