Бессель потенциал

В математике потенциал Бесселя — это потенциал (названный в честь Фридриха Вильгельма Бесселя ), аналогичный потенциалу Рисса , но с лучшими свойствами распада на бесконечности.

Если s — комплексное число с положительной действительной частью, то потенциал Бесселя порядка s — это оператор

$(I-\Delta )^{-s/2}$

где Δ — оператор Лапласа , а дробная степень определяется с помощью преобразований Фурье.

Потенциалы Юкавы являются частным случаем потенциалов Бесселя для $s=2$ в трехмерном пространстве.

Представление в пространстве Фурье

Потенциал Бесселя действует путем умножения преобразований Фурье : для каждого $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$

${\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.$

Интегральные представления

Когда $s>0$, потенциал Бесселя на $\mathbb {R} ^{d}$ может быть представлено

$(I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,$

где ядро ​​Бесселя $G_{s}$ определяется для $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ по интегральной формуле

$G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.$

Здесь $\Gamma$ обозначает гамма-функцию .Ядро Бесселя можно представить и для $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ к

$G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.$

Это последнее выражение можно более кратко записать в терминах модифицированной функции Бесселя : за что потенциал получил свое название:

$G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})}}K_{(d-s)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(s-d)/2}.$

Асимптотика

В начале имеется как $\vert x\vert \to 0$,

$G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,$

$G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),$

$G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.$

В частности, когда $0<s<d$ потенциал Бесселя ведет себя асимптотически как потенциал Рисса .

На бесконечности имеем, как $\vert x\vert \to \infty$,

$G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).$

См. также

• Потенциал Рисса
• Дробная интеграция
• Sobolev space
• Дробное уравнение Шрёдингера
• потенциал Юкавы

Ссылки

• Дудучава, Р. (2001) [1994], «Потенциальный оператор Бесселя» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Графакос, Лукас (2009), Современный анализ Фурье , Тексты для аспирантов по математике , том. 250 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09434-2 , ISBN  978-0-387-09433-5 , МР   2463316 , S2CID   117771953
• Хедберг, Л.И. (2001) [1994], «Потенциальное пространство Бесселя» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Потенциал Бесселя» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN  0-691-08079-8