Sobolev space

В математике пространство Соболева — это векторное пространство функций, снабженное нормой , представляющей собой комбинацию L ^п -нормы функции вместе с ее производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле , чтобы сделать пространство полным , т.е. банаховым пространством . Интуитивно понятно, что пространство Соболева — это пространство функций, имеющих достаточно много производных для некоторой области применения, таких как уравнения в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь российского математика Сергея Соболева . Их важность обусловлена ​​тем, что слабые решения некоторых важных уравнений в частных производных существуют в соответствующих пространствах Соболева даже тогда, когда нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация

В этом разделе и на протяжении всей статьи $\Omega$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}.$

Существует множество критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть критерий непрерывности . Более сильное понятие гладкости — это понятие дифференцируемости (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости — это то, что производная также непрерывна (говорят, что эти функции относятся к классу $C^{1}$ — см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство $C^{1}$ (или $C^{2}$и т. д.) было не совсем подходящим местом для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств для поиска решений уравнений в частных производных.

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются через интегральные нормы. Типичным примером является измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью $L^{2}$-норм. Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования пространственных функций Лебега.

Формула интегрирования по частям дает, что для каждого $u\in C^{k}(\Omega )$, где $k$ — натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,$

где $\alpha$ является мультииндексом порядка $|\alpha |=k$ и мы используем обозначения:

$D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предположим $u$ быть локально интегрируемой . Если существует локально интегрируемая функция $v$, такой, что

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$

тогда мы позвоним $v$ слабый ​ $\alpha$-я частная производная от $u$. Если существует слабый $\alpha$-я частная производная от $u$ определен однозначно , то он почти всюду и, следовательно, однозначно определен как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если $u\in C^{k}(\Omega )$, то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если $v$ слабый $\alpha$-я частная производная от $u$, мы можем обозначить его через $D^{\alpha }u:=v$.

Например, функция

$u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

не является непрерывным в нуле и не дифференцируемым в точках −1, 0 или 1. Однако функция

$v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

удовлетворяет определению как слабая производная $u(x),$ которое тогда квалифицируется как находящееся в пространстве Соболева $W^{1,p}$ (для любого разрешенного $p$, см. определение ниже).

Пространства Соболева $W^{k,p}(\Omega )$ объединить понятия слабой дифференцируемости и нормы Лебега .

Sobolev spaces with integer k

Одномерный случай

В одномерном случае пространство Соболева $W^{k,p}(\mathbb {R} )$ для $1\leq p\leq \infty$ определяется как подмножество функций $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} )$ такой, что $f$ и его слабые производные до порядка $k$ иметь конечное L ^п норма . Как упоминалось выше, необходимо проявлять некоторую осторожность при определении производных в собственном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что $(k{-}1)$-я производная $f^{(k-1)}$ дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает несущественные примеры, такие как функция Кантора ).

Согласно этому определению пространства Соболева допускают норму естественную

$\|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.$

Это можно распространить на случай $p=\infty$, с нормой, которая затем определяется с использованием существенного супремума по формуле

$\|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).$

Оборудован по норме. $\|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}$ становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первую и последнюю последовательность, т. е. норму, определяемую формулой

$\left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}$

эквивалентна указанной выше норме (т.е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Случай p = 2

Пространства Соболева с р = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для обозначения этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

$H^{k}=W^{k,2}.$

Пространство $H^{k}$ естественным образом определяется через ряды Фурье , коэффициенты которых затухают достаточно быстро, а именно:

$H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},$

где ${\widehat {f}}$ представляет собой ряд Фурье $f,$ и $\mathbb {T}$ обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму

$\|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.$

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на $in$.

Более того, пространство $H^{k}$ допускает внутренний продукт , такой как пространство $H^{0}=L^{2}.$ Фактически, $H^{k}$ Внутренний продукт определяется с точки зрения $L^{2}$ внутренний продукт:

$\langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.$

Пространство $H^{k}$ с этим внутренним произведением становится гильбертовым пространством.

Другие примеры

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, $W^{1,1}(0,1)$ — пространство функций абсолютно непрерывных на (0, 1) (точнее, классов эквивалентности функций, почти всюду равных таковым), а $W^{1,\infty }(I)$ — пространство ограниченных липшицевых функций на I для каждого I. интервала Однако эти свойства теряются или становятся не такими простыми для функций с более чем одной переменной.

Все помещения $W^{k,\infty }$ являются (нормированными) алгебрами , т. е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, чего не происходит для $p<\infty .$ (Например, функции, ведущие себя как | x | ^−1/3 в начале находятся в $L^{2},$ но произведение двух таких функций не входит в число $L^{2}$).

Многомерный случай

Переход к многомерности приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование, чтобы $f^{(k-1)}$ быть интегралом $f^{(k)}$ не обобщает, и самое простое решение — рассматривать производные в смысле теории распределения .

Далее следует формальное определение. Позволять $k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .$ Пространство Соболева $W^{k,p}(\Omega )$ определяется как набор всех функций $f$ на $\Omega$ такой, что для любого мультииндекса $\alpha$ с $|\alpha |\leqslant k,$ смешанная частная производная

$f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

существует в слабом смысле и находится в $L^{p}(\Omega ),$ т.е.

$\left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .$

То есть пространство Соболева $W^{k,p}(\Omega )$ определяется как

$W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.$

Натуральное число $k$ называется порядком пространства Соболева $W^{k,p}(\Omega ).$

Существует несколько вариантов нормы для $W^{k,p}(\Omega ).$ Следующие две являются общими и эквивалентны в смысле эквивалентности норм :

$\|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}$

и

$\|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}$

По отношению к любой из этих норм $W^{k,p}(\Omega )$ является банаховым пространством. Для $p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )$ также является сепарабельным пространством . Принято обозначать $W^{k,2}(\Omega )$ к $H^{k}(\Omega )$ ибо это гильбертово пространство с нормой $\|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}$.

Приближение гладкими функциями

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса–Серрена функция $u\in W^{k,p}(\Omega )$ аппроксимируется гладкими функциями . Этот факт часто позволяет перевести свойства гладких функций на функции Соболева. Если $p$ конечно и $\Omega$ открыто, то существует для любого $u\in W^{k,p}(\Omega )$ аппроксимирующая последовательность функций $u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )$ такой, что:

$\left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.$

Если $\Omega$ имеет липшицеву границу , можно даже предположить, что $u_{m}$ являются ограничением гладких функций с компактным носителем на всех $\mathbb {R} ^{n}.$

Примеры

В более высоких измерениях уже не верно, что, например, $W^{1,1}$ содержит только непрерывные функции. Например, $|x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})$ где $\mathbb {B} ^{3}$ — единичный шар в трех измерениях. Для $k>n/p$, пространство $W^{k,p}(\Omega )$ будет содержать только непрерывные функции, но для которых $k$ это уже правда, зависит как от $p$ и по размерности. Например, как легко проверить, используя сферические полярные координаты для функции $f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ определенное на n -мерном шаре, имеем:

$f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.$

Интуитивно понятно, что увеличение f при 0 «значит меньше», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

функций Соболева

Позволять $1\leqslant p\leqslant \infty .$ Если функция находится в $W^{1,p}(\Omega ),$ затем, возможно, после модификации функции на множестве нулевой меры, ограничение почти на каждую линию, параллельную координатным направлениям в $\mathbb {R} ^{n}$ непрерывен абсолютно ; более того, классическая производная по линиям, параллельным направлениям координат, находится в $L^{p}(\Omega ).$ И наоборот, если ограничение $f$ почти каждая линия, параллельная координатным направлениям, абсолютно непрерывна, то точечный градиент $\nabla f$ существует почти везде , и $f$ находится в $W^{1,p}(\Omega )$ предоставил $f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).$ В частности, в этом случае слабые частные производные $f$ и поточечные частные производные $f$ почти везде согласен. Характеристика ACL пространств Соболева была установлена ​​Отто М. Никодимом ( 1933 ); см. ( Мазья 2011 , §1.1.3).

Более сильный результат имеет место, когда $p>n.$ Функция в $W^{1,p}(\Omega )$ после модификации на множестве нулевой меры является непрерывным по Гельдеру показателя степени $\gamma =1-{\tfrac {n}{p}},$ по неравенству Морри . В частности, если $p=\infty$ и $\Omega$ имеет липшицеву границу, то функция липшицева .

Функции, исчезающие на границе

См. также: Оператор трассировки

Пространство Соболева $W^{1,2}(\Omega )$ также обозначается $H^{1}\!(\Omega ).$ Это гильбертово пространство с важным подпространством $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ определяется как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в $\Omega$ в $H^{1}\!(\Omega ).$ Определенная выше норма Соболева здесь сводится к

$\|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.$

Когда $\Omega$ имеет регулярную границу, $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ можно описать как пространство функций в $H^{1}\!(\Omega )$ исчезающие на границе в смысле следов ( см. ниже ). Когда $n=1,$ если $\Omega =(a,b)$ является ограниченным интервалом, то $H_{0}^{1}(a,b)$ состоит из непрерывных функций на $[a,b]$ формы

$f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]$

где обобщенная производная $f'$ находится в $L^{2}(a,b)$ и имеет 0 целых, так что $f(b)=f(a)=0.$

Когда $\Omega$ ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует постоянная $C=C(\Omega )$ такой, что:

$\int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

Когда $\Omega$ ограничена, инъекция из $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ к $L^{2}\!(\Omega ),$ компактен ​ . Этот факт играет роль при изучении задачи Дирихле , а также в том, что существует базис ортонормированный $L^{2}(\Omega )$ состоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничным условием Дирихле ).

Следы

См. также: Оператор трассировки

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Существенно учитывать граничные значения функций Соболева. Если $u\in C(\Omega )$, эти граничные значения описываются ограничением $u|_{\partial \Omega }.$ Однако неясно, как описать значения на границе для $u\in W^{k,p}(\Omega ),$ поскольку n -мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема решает проблему:

Теорема о следах . Предположим, что Ω ограничена липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор $T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$ такой, что

$${\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}$$

Ту называют следом и . Грубо говоря, эта теорема расширяет оператор ограничения на пространство Соболева $W^{1,p}(\Omega )$ для хорошо себя Ω. Заметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p < ∞ он непрерывно отображается в пространство Соболева–Слободецкого. $W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).$

Интуитивно понятно, что взятие следа стоит 1/ p производной. Функции u в W ^1,п (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu = 0, можно охарактеризовать равенством

$W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},$

где

$W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.$

Другими словами, для Ω, ограниченного липшицевой границей, функции со следом нуля в $W^{1,p}(\Omega )$ аппроксимируется гладкими функциями с компактным носителем.

Sobolev spaces with non-integer k

пространства

Для натурального числа k и 1 < p < ∞ можно показать (с помощью множителей Фурье ), что пространство $W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})$ можно эквивалентно определить как

$W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},$

с нормой

$\|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства

$H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}$

называются потенциальными пространствами Бесселя (назван в честь Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем случае и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.

Для $s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )$ – множество ограничений функций из $H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})$ к Ω, оснащенному нормой

$\|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.$

И снова Х. ^с,п (Ω) — банахово пространство, а в случае p = 2 — гильбертово пространство.

Используя теоремы расширения пространств Соболева, можно показать, что и W ^к,п (Ом) = Н ^к,п (Ω) выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω — область с равномерным C ^к -граница, k — натуральное число и 1 < p < ∞ . По вложениям

$H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1$

потенциальные пространства Бесселя $H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})$ образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева $W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).$ С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя представляют собой комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм справедливо соотношение

$\left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),$

где:

$1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .$

Пространства Соболева–Слободецкого

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка возникает из идеи обобщить условие Гёльдера на L ^п -параметр. Для $1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)$ и $f\in L^{p}(\Omega ),$ полунорма Слободецкого (примерно аналогичная полунорме Гёльдера) определяется формулой

$[f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.$

Пусть s > 0 не целое число и положим $\theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)$. Используя ту же идею, что и для пространств Гёльдера , пространство Соболева–Слободецкого $W^{s,p}(\Omega )$ определяется как

$W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.$

Это банахово пространство для нормы

$\|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.$

Если $\Omega$ достаточно регулярен в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то пространства Соболева–Слободецкого также образуют шкалу банаховых пространств, т. е. имеют место непрерывные вложения или вложения

$W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.$

Существуют примеры нерегулярных Ω таких, что $W^{1,p}(\Omega )$ даже не является векторным подпространством $W^{s,p}(\Omega )$ для 0 < s < 1 (см. пример 9.1 из )

С абстрактной точки зрения пространства $W^{s,p}(\Omega )$ совпадают с вещественными интерполяционными пространствами Соболева, т. е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее:

$W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .$

Пространства Соболева–Слободецкого играют важную роль в изучении следов функций Соболева. Они являются частными случаями пространств Бесова .

Операторы расширения

Если $\Omega$ — это область , граница которой ведет себя не слишком плохо (например, если ее граница представляет собой многообразие или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции $\Omega$ функциям $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что:

1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в $\Omega$ и
2. $A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})$ непрерывен для любого 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .

будем называть Такой оператор A оператором расширения для $\Omega .$

Случай p = 2

Операторы расширения являются наиболее естественным способом определения $H^{s}(\Omega )$ для нецелых чисел (мы не можем работать напрямую с $\Omega$ поскольку преобразование Фурье является глобальной операцией). Мы определяем $H^{s}(\Omega )$ сказав это $u\in H^{s}(\Omega )$ тогда и только тогда, когда $Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).$ Эквивалентно, комплексная интерполяция дает то же самое $H^{s}(\Omega )$ пространства до тех пор, пока $\Omega$ имеет оператор расширения. Если $\Omega$ не имеет оператора расширения, комплексная интерполяция — единственный способ получить $H^{s}(\Omega )$ пространства.

В результате интерполяционное неравенство по-прежнему сохраняется.

Расширение на ноль

Как и выше , мы определяем $H_{0}^{s}(\Omega )$ быть завершением $H^{s}(\Omega )$ пространства $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ бесконечно дифференцируемых финитных функций. Учитывая определение следа, данное выше, мы можем утверждать следующее.

Теорема — Пусть $\Omega$ быть равномерно C ^м регулярное, m ≥ s, и пусть P — линейное отображение, отправляющее u в $H^{s}(\Omega )$ к

$$\left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}$$

где d/dn — производная, нормальная к G , а k — наибольшее целое число, меньшее s . Затем $H_{0}^{s}$ является ядром P .

Если $u\in H_{0}^{s}(\Omega )$ мы можем определить его расширение нулем ${\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ естественным путем, а именно

${\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}$

Теорема — Пусть $s>{\tfrac {1}{2}}.$ Карта $u\mapsto {\tilde {u}}$ является непрерывным в $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда и только тогда, когда s не имеет вида $n+{\tfrac {1}{2}}$ для n целое число.

Для f ∈ L ^п (Ω) его продолжение нулем,

$Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}$

является элементом $L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).$ Более того,

$\|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.$

В случае пространства Соболева W ^1,п (Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).$ Но если Ω ограничена липшицевой границей (например, ∂Ω есть C ¹ ), то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т. е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор

$E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),$

такой, что для каждого $u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u$ п.в. на Ω, Eu имеет компактный носитель внутри O и существует константа C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что

$\|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.$

Мы звоним $Eu$ расширение $u$ к $\mathbb {R} ^{n}.$

Sobolev embeddings

Main article: Sobolev inequality

Естественен вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточное количество слабых производных (т.е. больших k ) приводит к классической производной. Эта идея обобщена и уточнена в теореме вложения Соболева .

Писать $W^{k,p}$ для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом, причем 1 ≤ p ≤ ∞. (Для p = ∞ пространство Соболева $W^{k,\infty }$ определяется как пространство Гёльдера C ^{н , а} где k = n + α и 0 < α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если $k\geqslant m$ и $k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}$ затем

$W^{k,p}\subseteq W^{m,q}$

и вложение непрерывно. Более того, если $k>m$ и $k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}$ тогда вложение вполне непрерывно (иногда это называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха–Кондрахова ). Функции в $W^{m,\infty }$ все производные порядка меньше m непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия для пространств Соболева, при которых различные производные будут непрерывными. Неформально эти вложения говорят, что для преобразования L ^п оценка для оценки ограниченности стоит 1/ p производных на измерение.

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, такие как $\mathbb {R} ^{n}$ ( Stein 1970 ). Sobolev embeddings on $\mathbb {R} ^{n}$ некомпактные, часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности .

См. также

• Sobolev mapping
• Соучек пространство
• Besov space

Ссылки

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства . Чистая и прикладная математика. Том. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . ISBN  978-0-12-044143-3 . .
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Основы математических наук, т. 1, с. 252, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5734-9 , ISBN.  978-0-387-90704-8 , МР   0681859 .
• Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Основы математических наук, том. 223, Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN.  978-7-5062-6011-4 , МР   0482275 , Збл   0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения в частных производных . Аспирантура по математике . Том. 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ИСБН  978-0-8218-4974-3 .
• Леони, Джованни (2009). Первый курс по пространствам Соболева . Аспирантура по математике . Том. 105. Американское математическое общество. стр. xvi+607. ISBN  978-0-8218-4768-8 . МР   2527916 . Збл   1180.46001 .
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Серия Спрингера в советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix + 486, doi : 10.1007/978-3-662-09922-3 , ISBN  0-387-13589-8 , МР   0817985 , Збл   0692.46023
• Мазья Владимир Георгиевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции в плохих областях , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. xx + 481, ISBN  981-02-2767-1 , МР   1643072 , Збл   0918.46033 .
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных , Основы математических наук, вып. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii+866, doi : 10.1007/978-3-642-15564-2 , ISBN  978-3-642-15563-5 , МР   2777530 , Збл   1217.46002 .
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag .
• Никодим, Отто (1933), "Об одном классе функций, рассматриваемых при исследовании задачи Дирихле" , Фунд. Математика. , 21 : 129–150, doi : 10.4064/fm-21-1-129-150 .
• Никольский С.М. (2001) [1994], «Теоремы вложения» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Никольский, С.М. (2001) [1994], «Пространство Соболева» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Соболев С.Л. (1963), «Об одной теореме функционального анализа», Одиннадцать статей по анализу , Переводы Американского математического общества: Серия 2, том. 34, стр. 39–68, doi : 10.1090/trans2/034/02 , ISBN.  9780821817346 ; перевод Мат. Сб., 4 (1938) стр. 471–497.
• Соболев С. Л. (1963), Некоторые приложения функционального анализа в математической физике , Амер. Математика. Соц. .
• Стейн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN  0-691-08079-8 .
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт .
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 120, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1015-3 , hdl : 10338.dmlcz/143849 , ISBN  978-0-387-97017-2 , МР   1014685 .

Внешние ссылки

• Элеонора Ди Нецца, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».