Теорема о замкнутом диапазоне

В математической теории банаховых пространств теорема о замкнутом образе дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы замкнутый плотно определенный оператор имел замкнутый образ .

История

Теорема была доказана Стефаном Банахом в его 1932 года «Теории линейных операций» .

Заявление

Позволять $X$ и $Y$ быть банаховыми пространствами, $T:D(T)\to Y$ замкнутый линейный оператор, область определения которого $D(T)$ плотный в $X,$ и $T'$ транспонирование ​ ​ $T$. Теорема утверждает, что следующие условия эквивалентны:

• $R(T),$ диапазон $T,$ закрыт в $Y.$
• $R(T'),$ диапазон $T',$ закрыт в $X',$ двойник ​ ​ $X.$
• $R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.$
• $R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad y\in N(T)\right\}.$

Где $N(T)$ и $N(T')$ являются нулевым пространством $T$ и $T'$, соответственно.

Заметим, что всегда имеется включение $R(T)\subseteq N(T')^{\perp }$, потому что если $y=Tx$ и $x^{*}\in N(T')$, затем $\langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0$. Аналогично, имеется включение $R(T')\subseteq N(T)^{\perp }$. Таким образом, нетривиальная часть приведенной выше теоремы — это противоположное включение в последние два пункта.

Следствия

Из теоремы непосредственно вытекает несколько следствий. Например, плотно определенный закрытый оператор $T$ как указано выше $R(T)=Y$ тогда и только тогда, когда транспонировать $T'$ имеет непрерывную обратную величину. Сходным образом, $R(T')=X'$ тогда и только тогда, когда $T$ имеет непрерывную обратную величину.

Ссылки

• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Йосида, К. (1980), Функциональный анализ , Фундаментальные принципы математических наук, том. 123 (6-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .