Интеграл Бохнера

В математике , интеграл Бохнера названный в честь Саломона Бохнера , расширяет определение интеграла Лебега на функции, которые принимают значения в банаховом пространстве , как предел интегралов простых функций .

Определение

Позволять $(X,\Sigma ,\mu )$ быть пространством меры , и $B$ быть банаховым пространством . Интеграл Бохнера функции $f:X\to B$ определяется во многом так же, как интеграл Лебега. Сначала определим простую функцию как любую конечную сумму вида

$$s_{n}(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i},$$

где $E_{i}$ являются непересекающимися членами $\sigma$-алгебра $\Sigma ,$ тот $b_{i}$ являются отдельными элементами $B,$ χ _E — характеристическая функция $E.$ Если $\mu \left(E_{i}\right)$ конечно всякий раз, когда $b_{i}\neq 0,$ тогда простая функция интегрируема , и тогда интеграл определяется формулой

$$\int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}$$

точно так же, как и для обычного интеграла Лебега.

Измеримая функция $f:X\to B$ интегрируема по Бохнеру, если существует последовательность интегрируемых простых функций $s_{n}$ такой, что

$$\lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,$$

где интеграл в левой части представляет собой обычный интеграл Лебега.

В этом случае интеграл Бохнера определяется выражением

$$\int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu .$$

Можно показать, что последовательность $\left\{\int _{X}s_{n}\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty }$ является последовательностью Коши в банаховом пространстве $B,$ следовательно, предел справа существует; при этом предел не зависит от аппроксимирующей последовательности простых функций $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }.$ Эти замечания показывают, что интеграл корректно определен (т.е. не зависит от любого выбора). Можно показать, что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она принадлежит пространству Бохнера. $L^{1}.$

Свойства

Элементарные свойства

Многие из знакомых свойств интеграла Лебега продолжают сохраняться и для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий интегрируемости Бохнера, который утверждает, что если $(X,\Sigma ,\mu )$ — пространство с мерой, то функция, измеримая по Бохнеру $f\colon X\to B$ интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда

$$\int _{X}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu <\infty .$$

Здесь функция $f\colon X\to B$ называется измеримым по Бохнеру, если оно равно $\mu$-почти везде к функции $g$ принятие значений в сепарабельном подпространстве $B_{0}$ из $B$, и такой, что прообраз $g^{-1}(U)$ каждого открытого набора $U$ в $B$ принадлежит $\Sigma$. Эквивалентно, $f$ это предел $\mu$-почти всюду последовательности счетнозначных простых функций.

Линейные операторы

Если $T\colon B\to B'$ — непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами $B$ и $B'$, и $f\colon X\to B$ интегрируема по Бохнеру, то относительно просто показать, что $Tf\colon X\to B'$ интегрируема ли Бохнера, а интегрирование и применение $T$ можно поменять местами:

$$\int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$$

для всех измеримых подмножеств $E\in \Sigma$.

Нетривиально более сильная форма этого результата, известная как теорема Хилле , справедлива и для замкнутых операторов . Если $T\colon B\to B'$ — замкнутый линейный оператор между банаховыми пространствами $B$ и $B'$ и оба $f\colon X\to B$ и $Tf\colon X\to B'$ интегрируемы по Бохнеру, то

$$\int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$$

для всех измеримых подмножеств $E\in \Sigma$.

Теорема

Версия теоремы о доминируемой сходимости справедлива и для интеграла Бохнера. В частности, если $f_{n}\colon X\to B$ — последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящаяся к предельной функции $f$, и если

$$\|f_{n}(x)\|_{B}\leq g(x)$$

почти для каждого $x\in X$, и $g\in L^{1}(\mu )$, затем

$$\int _{E}\|f-f_{n}\|_{B}\,\mathrm {d} \mu \to 0$$

как $n\to \infty$ и

$$\int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$$

для всех $E\in \Sigma$.

Если $f$ интегрируемо по Бохнеру, то неравенство

$$\left\|\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu$$

держится для всех $E\in \Sigma .$ В частности, функция множества

$$E\mapsto \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$$

определяет счетно-аддитивную $B$-значная векторная мера на $X$ который абсолютно непрерывен относительно $\mu$.

Радоно-Никодимское свойство

Важным фактом об интеграле Бохнера является то, что теорема Радона–Никодима в общем случае не выполняется, а вместо этого является свойством ( свойством Радона–Никодима ), определяющим важный класс хороших банаховых пространств.

В частности, если $\mu$ это мера по $(X,\Sigma ),$ затем $B$ обладает свойством Радона–Никодима по отношению к $\mu$ если для всякой счетно-аддитивной векторной меры $\gamma$ на $(X,\Sigma )$ со значениями в $B$ которая имеет ограниченную вариацию и абсолютно непрерывна по отношению к $\mu ,$ есть $\mu$-интегрируемая функция $g:X\to B$ такой, что

$$\gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu$$

для каждого измеримого множества $E\in \Sigma .$

Банахово пространство $B$ обладает свойством Радона–Никодима, если $B$ обладает свойством Радона–Никодима относительно всякой конечной меры. Эквивалентные составы включают:

• с дискретным временем Ограниченные мартингалы в $B$ сходятся как
• Функции ограниченной вариации в $B$ дифференцируемы п.в.
• Для каждого ограниченного $D\subseteq B$, существует $f\in B^{*}$ и $\delta \in \mathbb {R} ^{+}$ такой, что
  $$\{x:f(x)+\delta >\sup {f(D)}\}\subseteq D$$
  имеет сколь угодно малый диаметр.

Известно, что пространство $\ell _{1}$ обладает свойством Радона–Никодима, но $c_{0}$ и пространства $L^{\infty }(\Omega ),$ $L^{1}(\Omega ),$ для $\Omega$ открытое ограниченное подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ и $C(K),$ для $K$ бесконечное компактное пространство, нет. Пространства со свойством Радона–Никодима включают сепарабельные двойственные пространства (это теорема Данфорда–Петтиса ). и рефлексивные пространства , к которым относятся, в частности, гильбертовы пространства .

См. также

• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Ссылки

• Бохнер, Саломон (1933), «Интегрирование функций, значения которых являются элементами векторного пространства» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
• Бургин, Ричард Д. (1983). Геометрические аспекты выпуклых множеств со свойством Радона-Никодима . Конспекты лекций по математике 993. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0069321 . ISBN  3-540-12296-6 .
• Кон, Дональд (2013), Теория меры , Учебники Birkhäuser Advanced Texts Basel, Springer, doi : 10.1007/978-1-4614-6956-8 , ISBN  978-1-4614-6955-1
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ , Классика математики, том. 123, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-61859-8 , ISBN.  978-3-540-58654-8
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах , Тексты для аспирантов по математике, том. 92, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-1-4612-5200-9 , ISBN.  978-0-387-90859-5
• Дистель; Уль (1977), Векторные меры , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-1515-1
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф (1957), Функциональный анализ и полугруппы , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-1031-6
• Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0387940014
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Интеграл Бохнера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], «Векторные меры» , Энциклопедия математики , EMS Press