Закрытый линейный оператор

В функциональном анализе , разделе математики, замкнутый линейный оператор или часто закрытый оператор — это линейный оператор , график которого замкнут (см. свойство замкнутого графика ). Это базовый пример неограниченного оператора .

Теорема о замкнутом графике гласит, что замкнутый линейный оператор между банаховыми пространствами непрерывен; таким образом, это ограниченный оператор . Следовательно, используемый на практике замкнутый линейный оператор обычно не определен в банаховом пространстве или некоторых других полных пространствах, но часто определяется в плотном подпространстве .

Определение

В функциональном анализе принято рассматривать частичные функции , которые представляют собой функции, определенные на подмножестве некоторого пространства. $X.$ Частичная функция $f$ объявляется с обозначением $f:D\subseteq X\to Y,$ что указывает на то, что $f$ имеет прототип $f:D\to Y$ есть его домен ( то $D$ его кодомен и $Y$)

Каждая частичная функция, в частности, является функцией, и поэтому к ней может быть применена вся терминология, обозначающая функции. Например, график частичной функции $f$ это набор ${\textstyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$ Однако единственным исключением из этого правила является определение «замкнутого графа». функция Частичная ​ $f:D\subseteq X\to Y$ говорят, что он имеет замкнутый граф , если $\operatorname {graph} f$ является закрытым подмножеством $X\times Y$ в топологии продукта ; Важно отметить, что пространство продукта $X\times Y$ и не $D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y$ как это было определено выше для обычных функций. Напротив, когда $f:D\to Y$ рассматривается как обычная функция (а не как частичная функция $f:D\subseteq X\to Y$), то вместо этого «иметь замкнутый график» означало бы, что $\operatorname {graph} f$ является закрытым подмножеством $D\times Y.$ Если $\operatorname {graph} f$ является закрытым подмножеством $X\times Y$ то это также закрытое подмножество $\operatorname {dom} (f)\times Y$ хотя обратное, вообще говоря, не гарантируется.

Определение : Если X и Y — топологические векторные пространства (TVS), то мы называем линейное отображение f : D ( f ) ⊆ X → Y замкнутым линейным оператором, если его график замкнут в X × Y .

Закрывающиеся карты и замыкания

Линейный оператор $f:D\subseteq X\to Y$ является закрывающийся в $X\times Y$ если существует векторное подпространство $E\subseteq X$ содержащий $D$ и функция (соответственно многофункциональность) $F:E\to Y$ график которого равен замыканию множества $\operatorname {graph} f$ в $X\times Y.$ Такой $F$ называется закрытием $f$ в $X\times Y$, обозначается ${\overline {f}},$ и обязательно расширяется $f.$

Если $f:D\subseteq X\to Y$ является замыкаемым линейным оператором, то ядро или существенная область $f$ является подмножеством $C\subseteq D$ такое, что замыкание в $X\times Y$ графика ограничения $f{\big \vert }_{C}:C\to Y$ из $f$ к $C$ равно замыканию графика $f$ в $X\times Y$ (т.е. закрытие $\operatorname {graph} f$ в $X\times Y$ равно закрытию $\operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}$ в $X\times Y$).

Примеры

Ограниченный оператор — это закрытый оператор. Вот примеры закрытых операторов, которые не ограничены.

• Если $(X,\tau )$ является хаусдорфовым TVS и $\nu$ представляет собой векторную топологию на $X$ это строго лучше, чем $\tau ,$ затем карта личности $\operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )$ замкнутый разрывный линейный оператор.
• Рассмотрим производной оператор $A={\frac {d}{dx}}$ где $X=Y=C([a,b]).$— банахово пространство всех непрерывных функций на интервале $[a,b].$Если кто-то возьмет его домен $D(f)$ быть $C^{1}([a,b]),$ затем $f$ — закрытый оператор, который не ограничен. С другой стороны, если $D(f)$ это пространство $C^{\infty }([a,b])$ скалярнозначные гладких функций функции, то $f$ больше не будет закрыт, но его можно будет закрыть, при этом замыкание будет его расширением, определенным в $C^{1}([a,b]).$

Основные свойства

Следующие свойства легко проверяются для линейного оператора f : D ( f ) ⊆ X → Y между банаховыми пространствами:

• Если A замкнуто, то A − λ Id _{D ( f )} замкнуто, где λ — скаляр, а Id _{D ( f )} — тождественная функция ;
• Если f замкнуто, то его ядро ​​(или нулевое пространство) является замкнутым векторным подпространством X ;
• Если f замкнута и инъективна, то ее обратная f  ⁻¹ также закрыт;
• Линейный оператор f допускает замыкание тогда и только тогда, когда для каждого x ∈ X и каждой пары последовательностей x _• = ( x _i ) ^∞
  _{я = 1} и y _• знак равно ( y _я ) ^∞
  _{i =1} в D ( f ) оба сходятся к x в X , так что оба f ( x _• ) = ( f ( x _i )) ^∞
  _{я = 1} и ж ( y _• ) знак равно ( ж ( y _я )) ^∞
  _{i =1} сходятся в Y , имеем lim _{i → ∞} fx _{i знак} равно lim _{i → ∞} fy _i .

Ссылки

• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .