Топология продукта

В топологии и смежных областях математики представляет пространство продукта собой декартово произведение семейства топологических пространств, снабженных естественной топологией, называемой топологией продукта . Эта топология отличается от другой, возможно, более естественной топологии, называемой топологией ящика , которая также может быть задана пространству произведения и которая согласуется с топологией произведения, когда произведение занимает только конечное число пространств. Однако топология продукта «правильна» в том смысле, что она делает пространство продукта категориальным продуктом своих факторов, тогда как топология «ящик» слишком тонка ; в этом смысле топология произведения является естественной топологией декартова произведения.

Определение [ править ]

Через, $I$ будет некоторый непустой набор индексов и для каждого индекса $i\in I,$ позволять $X_{i}$ быть топологическим пространством . Обозначим декартово произведение множеств $X_{i}$ к

X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}

и для каждого индекса $i\in I,$ обозначают $i$ -я каноническая проекция

{\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}

The топология продукта , иногда называемая Тихоновская топология , на ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ определяется как самая грубая топология (то есть топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ являются непрерывными . Декартово произведение ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$ наделенный топологией произведения, называется пространство продукта . Открытые множества в топологии произведения представляют собой произвольные объединения (конечные или бесконечные) множеств вида ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ где каждый $U_{i}$ открыт в $X_{i}$ и $U_{i}\neq X_{i}$ только для конечного числа $i.$ В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) совокупность всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждого $X_{i}$ дает основу для топологии продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ То есть для конечного произведения множество всех ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ где $U_{i}$ является элементом (выбранного) базиса $X_{i},$ является основой топологии продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Топология продукта на ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ — топология , порожденная множествами вида $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),$ где $i\in I$ и $U_{i}$ является открытым подмножеством $X_{i}.$ Другими словами, множества

\left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}

сформировать подбазу для топологии на $X.$ Подмножество $X$ открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой (возможно, бесконечное) конечного числа объединение пересечений множеств вида $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).$ $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)$ иногда называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — множествами цилиндров .

Топологию произведения также называют топологией поточечной сходимости, поскольку последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) в ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ сходится тогда и только тогда, когда все его проекции на пространства $X_{i}$ сходиться. Явно последовательность ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ (соответственно, сеть ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ) сходится к заданной точке ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ если и только если $p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)$ в $X_{i}$ для каждого индекса $i\in I,$ где $p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }$ обозначает $\left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }$ (соответственно обозначает $\left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}$ ). В частности, если $X_{i}=\mathbb {R}$ используется для всех $i$ тогда декартово произведение — это пространство ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ всех действительных функций на $I,$ и сходимость в топологии произведения аналогична поточечной сходимости функций.

Примеры [ править ]

Если реальная линия $\mathbb {R}$ наделен своей стандартной топологией , то топология произведения на произведении $n$ копии $\mathbb {R}$ равна обычной евклидовой топологии на $\mathbb {R} ^{n}.$ (Потому что $n$ конечно, это также эквивалентно топологии ящика на $\mathbb {R} ^{n}.$ )

гомеоморфно Множество Кантора произведению . счетного числа копий дискретного пространства $\{0,1\}$ и пространство иррациональных чисел гомеоморфно произведению счетного числа копий натуральных чисел , где каждая копия снова несет дискретную топологию.

Несколько дополнительных примеров приведены в статье об исходной топологии .

Свойства [ править ]

Набор декартовых произведений между открытыми множествами топологий каждого $X_{i}$ формирует основу для так называемой коробчатой топологии на $X.$ В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

Пространство продукта $X,$ вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если $Y$ является топологическим пространством, и для каждого $i\in I,$ $f_{i}:Y\to X_{i}$ является непрерывным отображением, то существует ровно одно непрерывное отображение $f:Y\to X$ такой, что для каждого $i\in I$ следующая диаграмма коммутирует :

Это показывает, что пространство продукта является продуктом категории топологических пространств . Из указанного выше универсального свойства следует, что отображение $f:Y\to X$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f_{i}=p_{i}\circ f$ является непрерывным для всех $i\in I.$ Во многих случаях проще проверить работоспособность компонента. $f_{i}$ являются непрерывными. Проверяем, есть ли карта $X\to Y$ является непрерывным, обычно сложнее; пытаются использовать тот факт, что $p_{i}$ в некотором смысле непрерывны.

Канонические проекции не только непрерывны, но и $p_{i}:X\to X_{i}$ открытые карты . Это означает, что любое открытое подмножество пространства продукта остается открытым при проецировании на $X_{i}.$ Обратное неверно: если $W$ — это подпространство пространства продуктов, проекции которого на все $X_{i}$ открыты, то $W$ не обязательно быть открытым в $X$ (рассмотрим, например, ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ) Канонические проекции, как правило, не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ чьи проекции на обе оси равны $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ).

Предполагать ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ является произведением произвольных подмножеств, где $S_{i}\subseteq X_{i}$ для каждого $i\in I.$ Я упал $S_{i}$ непусты , то ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ представляет собой закрытое подмножество пространства продуктов $X$ тогда и только тогда, когда каждый $S_{i}$ является закрытым подмножеством $X_{i}.$ В более общем смысле, закрытие продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ произвольных подмножеств в пространстве произведений $X$ равно произведению замыканий: ^[1]

{\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.

Любое произведение хаусдорфовых пространств снова является хаусдорфовым пространством.

Теорема Тихонова , эквивалентная аксиоме выбора , утверждает, что любое произведение компактов является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова , которая требует только леммы об ультрафильтре (а не полной силы выбранной аксиомы), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством.

Если ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$ фиксировано, то набор

\left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}

является плотным подмножеством пространства продуктов $X$ . ^[1]

другими топологическими с Связь понятиями

Разделение

Каждое произведение T ₀ пространств есть T ₀ .
Каждое произведение T ₁ пространств есть T ₁ .
Всякое произведение хаусдорфовых пространств является хаусдорфовым.
Всякое произведение регулярных пространств регулярно.
Всякое произведение тихоновских пространств является тихоновским.
Произведение нормальных пространств не обязательно должно быть нормальным.

Компактность

Всякое произведение компактов компактно ( теорема Тихонова ).
Произведение локально компактных пространств не обязательно должно быть локально компактным. Однако произвольное произведение локально компактных пространств, из которых все, кроме конечного числа, компактны, локально компактно (это условие является достаточным и необходимым).

Связность

Всякое произведение связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
Всякое произведение наследственно несвязных пространств наследственно несвязно.

Метрические пространства

Счётные произведения метрических пространств — метризуемые пространства .

Аксиома выбора [ править ]

Один из многих способов выразить аксиому выбора — сказать, что она эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. ^[2]Доказательство того, что это эквивалентно формулировке аксиомы в терминах функций выбора, является немедленным: нужно только выбрать элемент из каждого набора, чтобы найти представителя в произведении. И наоборот, представителем произведения является множество, содержащее ровно по одному элементу от каждого компонента.

Аксиома выбора снова возникает при изучении (топологических) пространств произведений; например, теорема Тихонова о компактах представляет собой более сложный и тонкий пример утверждения, требующего аксиомы выбора и эквивалентного ей в самой общей формулировке: ^[3] и показывает, почему топологию произведения можно считать более полезной топологией для декартова произведения.

См. также [ править ]

Непересекающееся объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.
Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
Начальная топология . Самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными. Иногда ее называют топологией проективного предела.
Обратный предел - конструкция в теории категорий
Поточечная сходимость - понятие сходимости в математике.
Факторпространство (топология) - Построение топологического пространства.
Подпространство (топология) — страницы унаследованной топологии
Слабая топология - математический термин

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки 1989 , стр. 43–50.
^ Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33
^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 28 , ISBN 978-0-486-65676-2

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0486434796 . Проверено 13 февраля 2013 г.

[FOOTNOTEBourbaki198943–50-1] Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки 1989 , стр. 43–50.

[2] Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33

[3] Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 28 , ISBN 978-0-486-65676-2

[1]

[2]

[3]