Обычное пространство
 | Эта статья нуждается в дополнительных ссылок для проверки . ( апрель 2022 г. ) |
| Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
|---|---|
| Колмогорова Классификация | |
| Т 0 | (Kolmogorov) |
| Т 1 | (Фреше) |
| TТ2 | (Хаусдорф) |
| T 2 ½ | (Урысон) |
| полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
| TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
| T 3½ | (Тихонов) |
| Т 4 | (обычный Хаусдорф) |
| TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
| TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
В топологии и смежных областях математики топологическое пространство X называется регулярным пространством если каждое замкнутое подмножество C X , и точка p , не содержащаяся в C , имеют непересекающиеся открытые окрестности . [1] Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это условие известно как аксиома Т 3 . Термин « Т3 пространство » обычно означает «регулярное хаусдорфово пространство ». Эти условия являются примерами аксиом разделения .
Определения [ править ]
Топологическое пространство X является регулярным пространством , если для любого замкнутого множества F и любой точки x , не принадлежащей F , существуют окрестность U x , и окрестность V точки F которые не пересекаются . Короче говоря, должна быть возможность разделить x и F непересекающимися окрестностями.
А Т 3 пробел или регулярное хаусдорфово пространство — топологическое пространство, которое одновременно является регулярным и хаусдорфовым пространством . (Хаусдорфово пространство или пространство T 2 — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство является T 3 тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярно и T 0 . (AT 0 или пространство Колмогорова — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы , т. е. для каждой пары различных точек по крайней мере одна из них имеет открытую окрестность, не содержащую другую.) Действительно, если пространство Хаусдорф, то это T 0 , и каждое регулярное пространство T 0 является Хаусдорфовым: учитывая две различные точки, по крайней мере одна из них не попадает в замыкание другой, поэтому (по регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкания о) другой.
Хотя представленные здесь определения «обычного» и «Т 3 » не являются редкостью, в литературе существуют значительные различия: некоторые авторы меняют определения «обычного» и «Т 3 », как они используются здесь, или используют оба термина. взаимозаменяемо. В этой статье свободно используется термин «регулярный», но обычно вместо менее точного «T 3 » используется однозначное слово «регулярный Хаусдорф». Подробнее об этом вопросе см. в разделе « История аксиом разделения» .
А локально регулярное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую регулярную окрестность. Всякое регулярное пространство локально регулярно, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является регулярным, является линия с жуками .
Отношения с разделения другими аксиомами
Регулярное пространство обязательно также предрегулярно , т. е. любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями. Поскольку хаусдорфово пространство — это то же самое, что и предрегулярное T 0 пространство , регулярное пространство, которое также является T 0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T 3 ). Фактически, регулярное Хаусдорфово пространство удовлетворяет несколько более сильному условию T 2½ . (Однако такое пространство не обязательно должно быть полностью хаусдорфовым .) Таким образом, в определении Т 3 могут упоминаться Т 0 , Т 1 или Т 2½ вместо Т 2 (хаусдорфовость) ; все они эквивалентны в контексте регулярных пространств.
Говоря более теоретически, условия регулярности и Т 3 -ности связаны факторами Колмогорова . Пространство регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова равен T 3 ; и, как уже упоминалось, пространство является T 3 тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярное и T 0 . Таким образом, обычное пространство, встречающееся на практике, обычно можно принять за T 3 , заменив это пространство его фактором Колмогорова.
Существует множество результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.
Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например , нормальность , псевдонормальность , паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется какая-то более слабая аксиома разделения, такая как предрегулярность. [2] Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфово пространство, как правило, не является регулярным, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, поскольку любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность здесь не является проблемой, и вместо этого мы могли бы наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат. Однако определения обычно все же формулируются с точки зрения регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.
Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе , являются регулярными; на самом деле они обычно совершенно регулярны , что является более сильным условием. Обычные пробелы также следует противопоставлять обычным пробелам .
Примеры и непримеры [ править ]
Нульмерное пространство относительно малой индуктивной размерности имеет базу , состоящую из открытозамкнутых множеств . Каждое такое пространство регулярно.
Как описано выше, любое вполне регулярное пространство является регулярным, и любое пространство T 0 , которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не предрегулярным), не может быть регулярным. Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях. С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не вполне регулярными или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем . Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T 0 и, следовательно, не являются хаусдорфовыми, например, недискретное пространство , но эти примеры дают больше понимания аксиомы 0 , T чем регулярности. Примером правильного пространства, которое не является полностью правильным, является тихоновский штопор .
Наиболее интересные пространства в математике, которые являются регулярными, также удовлетворяют некоторым более сильным условиям. Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются, чтобы найти свойства и теоремы, подобные приведенным ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, обычно в анализе.
Существуют пространства Хаусдорфа, которые не являются регулярными. Примером может служить множество R с топологией, порожденной множествами вида U — C , где U — открытое множество в обычном смысле, а С — фиксированное незамкнутое подмножество R с пустой внутренностью.
Элементарные свойства [ править ]
Предположим, что X — регулярное пространство. Тогда для любой точки x и окрестности G точки x существует замкнутая окрестность E точки x которая является подмножеством G , . Проще говоря, замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в точке x . Фактически это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки топологического пространства образуют в этой точке локальную базу, то пространство должно быть регулярным.
Взяв внутренности этих замкнутых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют основу для открытых множеств регулярного пространства X . Это свойство на самом деле слабее регулярности; Топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют базу, является полурегулярным .
Ссылки [ править ]
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
- ^ «общая топология - предрегулярная и локально компактная подразумевает регулярную» . Математический обмен стеками .
| Поля |  | |
|---|---|---|
| Ключевые идеи | ||
| Метрики и свойства | ||
| Ключевые результаты | ||
