Нехаусдорфово многообразие

В геометрии и топологии обычной аксиомой является то, что многообразие является хаусдорфовым пространством . В общей топологии эта аксиома смягчена, и изучаются нехаусдорфовые многообразия : пространства, локально гомеоморфные евклидову пространству , но не обязательно хаусдорфовы.

Примеры

Линия с двумя началами

Наиболее известное нехаусдорфово многообразие — это линия с двумя началами . или линия с жучьими глазами . Это факторпространство двух копий реальной строки, $\mathbb {R} \times \{a\}$ и $\mathbb {R} \times \{b\}$ (с $a\neq b$), полученный путем идентификации точек $(x,a)$ и $(x,b)$ в любое время $x\neq 0.$

Эквивалентным описанием пространства является взятие действительной линии $\mathbb {R}$ и заменить происхождение $0$ с двумя источниками $0_{a}$ и $0_{b}.$ Подпространство $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ сохраняет свою обычную евклидову топологию. И локальная база открытых кварталов в каждом пункте отправления. $0_{i}$ формируется множествами $(U\setminus \{0\})\cup \{0_{i}\}$ с $U$ открытый район $0$ в $\mathbb {R} .$

Для каждого происхождения $0_{i}$ подпространство, полученное из $\mathbb {R}$ заменив $0$ с $0_{i}$ это открытый район $0_{i}$ гомеоморфен $\mathbb {R} .$ Поскольку каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную евклидовой прямой, пространство локально евклидово . В частности, оно локально Хаусдорфово в том смысле, что каждая точка имеет хаусдорфову окрестность. Но это пространство не Хаусдорф, поскольку все окрестности $0_{a}$ пересекает все окрестности $0_{b}.$ Однако это T ₁ пространство .

Пространство является вторым счетным .

В пространстве наблюдается несколько явлений, которых нет в пространствах Хаусдорфа:

• Пространство связано путями , но не дугами . В частности, чтобы получить путь от одного начала координат к другому, нужно сначала переместиться влево от $0_{a}$ к $-1$ внутри линии, проходящей через первое начало координат, а затем вернитесь вправо от $-1$ к $0_{b}$ внутри линии, проходящей через второе начало координат. Но невозможно соединить два начала дугой, которая представляет собой инъективный путь; интуитивно понятно, что если сначала двигаться влево, то в конечном итоге придется отступить и вернуться вправо.

• Пересечение двух компактов не обязательно должно быть компактным. Например, наборы $[-1,0)\cup \{0_{a}\}$ и $[-1,0)\cup \{0_{b}\}$ компактны, но их пересечение $[-1,0)$ нет.

• Пространство локально компактно в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу из компактных окрестностей. Но линия, проходящая через одно начало координат, не содержит замкнутой окрестности этого начала, поскольку любая окрестность одного начала содержит в своем замыкании другое начало. Таким образом, пространство не является регулярным , и хотя каждая точка имеет хотя бы одну замкнутую компактную окрестность, исходные точки не допускают локальной базы замкнутых компактных окрестностей.

Пространство не имеет гомотопического типа CW-комплекса или какого-либо хаусдорфова пространства.

Линия с множеством источников

Линия со многими истоками аналогична линии с двумя началами, но с произвольным количеством начал. Он строится путем взятия произвольного набора $S$ с дискретной топологией и взяв фактор-пространство $\mathbb {R} \times S$ который определяет точки $(x,\alpha )$ и $(x,\beta )$ в любое время $x\neq 0.$ Эквивалентно его можно получить из $\mathbb {R}$ путем замены источника $0$ со многими источниками $0_{\alpha },$ по одному на каждого $\alpha \in S.$ Окрестности каждого начала описываются так же, как и в случае с двумя началами.

Если существует бесконечно много начал, пространство показывает, что замыкание компакта вообще не обязательно должно быть компактным. Например, замыкание компакта $A=[-1,0)\cup \{0_{\alpha }\}\cup (0,1]$ это набор $A\cup \{0_{\beta }:\beta \in S\}$ получается добавлением всех начал координат к $A$, и это замыкание не компактно. Будучи локально евклидовым, такое пространство локально компактно в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу из компактных окрестностей. Но исходные точки не имеют замкнутой компактной окрестности.

Разветвление

Аналогичной линии с двумя началами является линия разветвления .

Это факторпространство двух копий реальной строки

$$\mathbb {R} \times \{a\}\quad {\text{ and }}\quad \mathbb {R} \times \{b\}$$

с отношением эквивалентности

$$(x,a)\sim (x,b)\quad {\text{ if }}\;x<0.$$

В этом пространстве есть одна точка для каждого отрицательного действительного числа. $r$ и две точки $x_{a},x_{b}$ для каждого неотрицательного числа: у него есть «вилка» в нуле.

Этальное пространство пучка . , такого как пучок непрерывных вещественных функций над многообразием, представляет собой многообразие, которое часто не является хаусдорфовым (Этальное пространство называется Хаусдорфовым, если оно представляет собой пучок функций с каким-либо свойством аналитического продолжения .)

Свойства

Поскольку нехаусдорфовые многообразия локально гомеоморфны евклидову пространству , они локально метризуемы (но не метризуемы вообще) и локально хаусдорфовы (но не хаусдорфовы вообще).

См. также

• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Локально Хаусдорфово пространство
• Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».

Ссылки

• Байлиф, Матье; Габар, Александр (2008). «Многообразия: Хаусдорфовость против однородности» . Труды Американского математического общества . 136 (3): 1105–1111. arXiv : math/0609098 . дои : 10.1090/S0002-9939-07-09100-9 .
• Габар, Александр (2006), Сепарабельное многообразие, не имеющее гомотопического типа CW-комплекса , arXiv : math.GT/0609665v1 , Bibcode : 2006math......9665G
• Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (Второе изд.). Спрингер. ISBN  978-1-4419-7939-1 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .