Соединение (волоконный коллектор)

В дифференциальной геометрии многообразие расслоенное это сюръективная погружение гладких многообразий Y → X. — Локально тривиальные расслоенные многообразия являются расслоениями . Таким образом, понятие связности на расслоенных многообразиях дает общую основу связности на расслоениях.

Формальное определение

Пусть π : Y → X — расслоенное многообразие. Обобщенная связность на Y — это сечение Γ : Y → J ¹ Y , где J ¹ Y — многообразие Y . струйное

Соединение как горизонтальное разбиение

С указанным выше многообразием π существует следующая каноническая короткая точная последовательность векторных расслоений над Y :

$0\to \mathrm {V} Y\to \mathrm {T} Y\to Y\times _{X}\mathrm {T} X\to 0\,,$ ( 1 )

где TY а и TX — — касательные расслоения к Y , V Y вертикальное касательное к Y , Y × _X TX — расслоение обратного образа TX Y. на расслоение соответственно

Связность Y на расслоенном многообразии → X определяется как морфизм линейного расслоения

$\Gamma :Y\times _{X}\mathrm {T} X\to \mathrm {T} Y$ ( 2 )

над Y, который разбивает точную последовательность 1 . Связь существует всегда.

Иногда эту связь Γ называют связью Эресмана, поскольку она дает горизонтальное распределение

$\mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y$

TY = Y и его разложение TY Y V горизонтальное ⊕ H .

В то же время под связностью Эресмана понимается также следующая конструкция. Любое соединение Γ на расслоенном многообразии Y → X дает горизонтальный подъем Γ ∘ τ векторного поля τ на X на Y , но не обязательно определяет аналогичный подъем пути из X в Y . Позволять

${\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}$

— два гладких пути в X и Y соответственно. Тогда t → y ( t ) называется горизонтальным подъемом x ( t ), если

$\pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb {R} \,.$

Соединение Γ называется связностью Эресмана , если для каждого пути x ([0,1]) в X существует его горизонтальный подъем через любую точку y ∈ π. ⁻¹ ( Икс ([0,1])) . Расслоенное многообразие является расслоением тогда и только тогда, когда оно допускает такую ​​связность Эресмана.

Соединение как касательная форма

Пусть дано расслоенное многообразие Y → X , и пусть оно наделено атласом расслоенных координат ( x ^м , и ^я ) и пусть Γ — связность на Y → X . Это однозначно дает горизонтальную касательную однозначную форму

$\Gamma =dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\left(x^{\nu },y^{j}\right)\partial _{i}\right)$ ( 3 )

на Y , который проецируется на каноническую форму с касательными значениями ( тавтологическую одноформу или форму пайки )

$\theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }$

на X и наоборот . В этой форме горизонтальное разбиение 2 читается

$\Gamma :\partial _{\mu }\to \partial _{\mu }\rfloor \Gamma =\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\,.$

В частности, связность Γ в 3 дает горизонтальный подъем любого векторного поля τ = τ ^м ∂ _µ на ​​X в проектируемое векторное поле

$\Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y$

это Ю. ​

Соединение как вертикальная форма

Горизонтальное расщепление 2 точной последовательности 1 определяет соответствующее расщепление двойственной точной последовательности

$0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,$

где T* Y и T* X — кокасательные расслоения к Y соответственно, а V* Y → Y — двойственное расслоение к V Y → Y , называемое вертикальным кокасательным расслоением. Это расщепление задается вертикальнозначной формой

$\Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,$

что также представляет собой связность на расслоенном многообразии.

Рассматривая связь как вертикальнозначную форму, приходим к следующей важной конструкции. Для расслоенного многообразия Y → X пусть f : X ′ → X — морфизм, а f ∗ Y → X ′ — расслоение обратного образа Y по f . Тогда любое соединение Γ 3 на Y → X индуцирует обратное соединение

$f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}$

на ж * Y → Икс ′ .

Соединение в виде секции реактивного пучка

Пусть J ¹ Y — струйное многообразие сечений расслоенного многообразия Y → X с координатами ( x ^м , и ^я , и ^я
_мкм ) . Ввиду канонического вложения

$\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,$

любая связность Γ 3 на расслоенном многообразии Y → X представляется глобальным сечением

$\Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,$

струйного пучка J ¹ Y → Y , и наоборот . Это аффинное расслоение, смоделированное на векторном расслоении.

$\left(Y\times _{X}T^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\to Y\,.$ ( 4 )

Из этого факта следуют следующие следствия.

1. Связности на расслоенном многообразии Y → X составляют аффинное пространство, моделируемое векторным пространством паяных форм.
   $\sigma =\sigma _{\mu }^{i}dx^{\mu }\otimes \partial _{i}$ ( 5 )
   на Y → X , т. е. сечениях векторного расслоения 4 .
2. Коэффициенты связи обладают законом преобразования координат

   ${\Gamma '}_{\lambda }^{i}={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial {x'}^{\lambda }}}\left(\partial _{\mu }{y'}^{i}+\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}{y'}^{i}\right)\,.$

3. Любая связность Γ на расслоенном многообразии Y → X первого порядка дает дифференциальный оператор

   $D_{\Gamma }:\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\mathrm {T} ^{*}X\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\,,\qquad D_{\Gamma }=\left(y_{\lambda }^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$

   на Y называется ковариантным дифференциалом относительно связности Γ . Если s : X → Y — сечение, его ковариантный дифференциал

   $\nabla ^{\Gamma }s=\left(\partial _{\lambda }s^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\circ s\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$

   и ковариантная производная

   $\nabla _{\tau }^{\Gamma }s=\tau \rfloor \nabla ^{\Gamma }s$

   векторного поля τ на X. вдоль

Кривизна и кручение

Учитывая связность Γ 3 на расслоенном многообразии Y → X , ее кривизна определяется как дифференциал Нийенхейса

${\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}$

Это горизонтальная двойная форма с вертикальными значениями на Y .

Учитывая связь Γ 3 и форму пайки σ 5 , кручение Γ как относительно σ определяется

$T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.$

Пакет основных соединений

Пусть π : P → M — главное расслоение со структурной Ли G. группой Основная связь на P обычно описывается одноформой связности со значениями алгебры Ли на P . В то же время главной связностью на P является глобальное сечение струйного расслоения J ¹ P → P , что эквивариантно относительно канонического правого действия G в P . Поэтому оно представляется глобальным сечением факторрасслоения C = J ¹ P / G → M , называемый пучком главных связностей . Это аффинное расслоение , смоделированное на векторном расслоении V P / G → M , типичным слоем которого является алгебра Ли g структурной группы G , и где G действует присоединенным представлением . Имеется каноническое вложение C в факторрасслоение T P / G , которое также называется расслоением главных связностей .

Учитывая базис { _em } алгебры Ли группы G , расслоение C наделено координатами расслоения ( x ^м , а ^м
_µ ) , а его сечения представляются векторнозначными одноформами

$A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,$

где

$a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}$

это знакомые формы локального соединения на M. —

Заметим, что струйное расслоение J ¹ C of C — конфигурационное пространство калибровочной теории Янга–Миллса . Он допускает каноническое разложение

${\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}$

где

$F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}$

называется силовой формой главной связи.

См. также

• Связь (математика)
• Волокнистый коллектор
• Соединение Эресманн
• Подключение (основной пакет)

Ссылки

• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993). Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) . Спрингер-Верлаг. Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. Проверено 28 мая 2013 г.
• Крупка, Деметра; Янышка, Йозеф (1990). Лекции по дифференциальным инвариантам . Университет Й. Э. Пуркине в Брно. ISBN  80-210-0165-8 .
• Сондерс, диджей (1989). Геометрия струйных пучков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36948-7 .
• Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (2000). Связи в классической и квантовой теории поля . Всемирная научная. ISBN  981-02-2013-8 .
• Сарданашвили, Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа . Академическое издательство Ламберта. arXiv : 0908.1886 . Бибкод : 2009arXiv0908.1886S . ISBN  978-3-659-37815-7 .