G -структура на многообразии

В дифференциальной геометрии — G -структура на n - многообразии M для данной структурной группы. G , является главным G - подрасслоением касательного реперного расслоения F M (или GL( M )) к M .

В понятие G -структур входят различные классические структуры, которые можно определить на многообразиях, которые в некоторых случаях являются тензорными полями . Например, для ортогональной группы O( n )-структура определяет риманову метрику , а для специальной линейной группы SL( n , R )-структура совпадает с формой объёма . Для тривиальной группы { e }-структура представляет собой абсолютный параллелизм многообразия.

Обобщая эту идею на произвольные главные расслоения в топологических пространствах, можно задаться вопросом, является ли главное расслоение $G$-объединиться в группу $G$ «происходит» из подгруппы $H$ из $G$. Это называется редукцией структурной группы (до $H$).

Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура , симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами с дополнительным условием интегрируемости .

Сокращение структурной группы

Можно спросить, является ли директор $G$-объединиться в группу $G$ «происходит» из подгруппы $H$ из $G$. Это называется редукцией структурной группы (до $H$), и имеет смысл для любой карты $H\to G$, которое не обязательно должно быть отображением включения (несмотря на терминологию).

Определение

В дальнейшем пусть $X$ быть топологическим пространством , $G,H$ топологические группы и групповой гомоморфизм $\phi \colon H\to G$.

Что касается связок бетона

Учитывая принципал $G$-пучок $P$ над $X$, сокращение структурной группы (с $G$ к $H$) представляет собой $H$-пучок $Q$ и изоморфизм $\phi _{Q}\colon Q\times _{H}G\to P$ соответствующего пакета к исходному пакету.

С точки зрения классификации пространств

Учитывая карту $\pi \colon X\to BG$, где $BG$ это классифицирующее пространство для $G$-расслоения, сокращение структурной группы представляет собой отображение $\pi _{Q}\colon X\to BH$ и гомотопия $\phi _{Q}\colon B\phi \circ \pi _{Q}\to \pi$.

Свойства и примеры

Редукции структурной группы существуют не всегда. Если они существуют, то обычно не являются существенно единственными, поскольку изоморфизм $\phi$ является важной частью данных.

В качестве конкретного примера: каждое четномерное действительное векторное пространство изоморфно базовому реальному пространству комплексного векторного пространства: оно допускает линейную комплексную структуру . Вещественное векторное расслоение допускает почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно изоморфно вещественному расслоению, лежащему в основе комплексного векторного расслоения. Тогда это сокращение по включению GL ( n , C ) → GL (2 n , R )

С точки зрения карт переходов , G когда карты переходов могут иметь значения в H. -расслоение может быть сокращено тогда и только тогда , Обратите внимание, что термин «редукция» вводит в заблуждение: он предполагает, что H является подгруппой G , что часто имеет место, но не обязательно (например, для спиновых структур ): это правильно называется подъемом .

Более абстрактно, « G -расслоения над X » — это функтор. в G : учитывая гомоморфизм групп Ли H → G , можно получить отображение H -расслоений в G -расслоения путем индуцирования (как указано выше). Редукция структурной группы G -расслоения B заключается в выборе H -расслоения, образом которого является B .

Индуцирующее отображение H -расслоений в G -расслоения, вообще говоря, не является ни однозначным, ни однозначным, поэтому структурную группу не всегда можно свести, а когда это возможно, это сведение не обязательно должно быть уникальным. Например, не каждое многообразие ориентируемо , а ориентируемые допускают ровно две ориентации.

Если H — замкнутая подгруппа группы G , то существует естественное взаимно-однозначное соответствие между редукциями G -расслоения B к H и глобальными сечениями расслоения B / H , полученными факторизацией B по правому действию H . В частности, расслоение B → B / H является главным H -расслоением над B / H . Если σ : X → B / H — сечение, то расслоение обратного образа B _H = σ ⁻¹ B является сокращением B .

G -структуры

Каждое векторное расслоение размерности $n$ имеет канонический $GL(n)$-bundle, комплект рамок . В частности, каждое гладкое многообразие имеет каноническое векторное расслоение — касательное расслоение . Для группы Лжи $G$ и групповой гомоморфизм $\phi \colon G\to GL(n)$, а $G$-структура – ​​это приведение структурной группы пакета кадров к $G$.

Примеры

Следующие примеры определены для вещественных векторных расслоений , особенно касательного расслоения многообразия гладкого .

Групповой гомоморфизм	Группа $G$	$G$-структура	Препятствие
$GL^{+}(n)<GL(n)$	Общая линейная группа положительного определителя	Ориентация	Расслоение должно быть ориентируемым
$SL(n)<GL(n)$	Специальная линейная группа	Форма объёма	Расслоение должно быть ориентируемым ( $SL\to GL^{+}$ это деформационный ретракт )
$SL^{\pm }(n)<GL(n)$	Определитель $\pm 1$	Псевдообъемная форма	Всегда возможно
$O(n)<GL(n)$	Ортогональная группа	Риманова метрика	Всегда возможно( $O(n)$ — максимальная компактная подгруппа , поэтому включение является деформационным ретрактом)
$O(1,n-1)<GL(n)$	Неопределенная ортогональная группа	Псевдориманова метрика	Топологическое препятствие
$GL(n,\mathbf {C} )<GL(2n,\mathbf {R} )$	Комплексная общая линейная группа	Почти сложная структура	Топологическое препятствие
$GL(n,\mathbf {H} )\cdot Sp(1)<GL(4n,\mathbf {R} )$	$GL(n,\mathbf {H} )$: кватернионная общая линейная группа, действующая на $\mathbf {H} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{4n}$ слева $Sp(1)=Spin(3)$: группа единичных кватернионов, действующих на $\mathbf {H} ^{n}$ справа	почти кватернионная структура	Топологическое препятствие
$GL(k)\times GL(n-k)<GL(n)$	Общая линейная группа	Разложение в сумму Уитни (прямую сумму) подрасслоений ранга $k$ и $n-k$.	Топологическое препятствие

Некоторый $G$-структуры определяются через другие: для заданной римановой метрики на ориентированном многообразии $G$-конструкция для двустворчатой ​​крышки ${\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)$ представляет собой спиновую структуру . (Обратите внимание, что групповой гомоморфизм здесь не является включением.)

Основные пакеты

Хотя теория главных расслоений играет важную роль в изучении G -структур, эти два понятия различны. G рассматривается -структура является главным подрасслоением касательного фрейма , но тот факт, что G -структура состоит из касательных фреймов, как часть данных. Например, рассмотрим две римановы метрики на R ^н . Соответствующие O( n )-структуры изоморфны тогда и только тогда, когда метрики изометричны. Но, поскольку Р ^н сжимаемо, лежащие в его основе O( n )-расслоения всегда будут изоморфны как главные расслоения, поскольку единственные расслоения над стягиваемыми пространствами являются тривиальными расслоениями.

Это фундаментальное различие между двумя теориями можно уловить, предоставив дополнительные данные о базовом G -расслоении G -структуры: форме припоя . Форма пайки — это то, что связывает основное главное расслоение G -структуры с локальной геометрией самого многообразия, определяя канонический изоморфизм касательного расслоения M к ассоциированному векторному расслоению . Хотя форма припоя не является формой соединения , иногда ее можно рассматривать как предшественник таковой.

Подробно предположим, что Q — главный расслоение G -структуры. Если Q реализуется как редукция расслоения реперов M , то форма спая задается откатом тавтологической формы расслоения реперов вдоль включения. Абстрактно, если рассматривать Q как главное расслоение независимо от его реализации как редукции расслоения фреймов, то форма пайки состоит из представления ρ группы G на R. ^н и изоморфизм расслоений θ : TM → Q × _ρ R ^н .

и плоские G -

Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами (и, следовательно, могут быть затруднены), но должны удовлетворять дополнительному условию интегрируемости . Без соответствующего условия интегрируемости структура вместо этого называется «почти» структурой, как почти комплексная структура , почти симплектическая структура или почти кэлерова структура .

В частности, структура симплектического многообразия является более сильным понятием, чем G -структура для симплектической группы . Симплектическая структура на многообразии — это 2-форма ω на M (которая является невырожденная $Sp$-структура, или почти симплектическая структура) вместе с дополнительным условием d ω = 0; последнее называется условием интегрируемости .

Точно так же слоения соответствуют G -структурам, происходящим из блочных матриц вместе с условиями интегрируемости, так что применима теорема Фробениуса .

Плоская — G -структура это G -структура P, имеющая глобальное сечение ( V ₁ ,..., V _n ), состоящее из коммутирующих векторных полей . G - структура называется интегрируемой (или локально плоской ), если она локально изоморфна плоской G -структуре.

Изоморфизм G -структур

Множество диффеоморфизмов M , сохраняющих G -структуру, называется группой автоморфизмов этой структуры. Для O( n )-структуры это группа изометрий римановой метрики, а для SL( n , R )-структуры — отображения, сохраняющие объем.

Пусть P — структура - на многообразии M , а Q — G -структура на многообразии N. G Тогда изоморфизм G продвижение -структур — это диффеоморфизм f : M → N такой, что линейных фреймов f _* : FM → FN ограничивается, давая отображение P в Q . (Заметим, что достаточно, чтобы Q содержалось внутри образа f _* .) G -структуры P и Q , локально изоморфны если M допускает накрытие открытыми множествами U и семейством диффеоморфизмов f _U : U → f ( U ) ⊂ N такой, что f _U индуцирует изоморфизм P | _У → К | _{ж ( U )} .

Автоморфизм P - структуры G — это изоморфизм G -структуры самой с собой. Автоморфизмы возникают часто при изучении групп преобразований геометрических структур, поскольку многие важные геометрические структуры на многообразии могут быть реализованы как G -структуры.

Широкий класс проблем эквивалентности можно сформулировать на языке G -структур. Например, пара римановых многообразий (локально) эквивалентна тогда и только тогда, когда их расслоения ортонормированных реперов являются (локально) изоморфными G -структурами. С этой точки зрения общая процедура решения проблемы эквивалентности состоит в построении системы инвариантов G -структуры, которых затем достаточно, чтобы определить, является ли пара G -структур локально изоморфной или нет.

Связи на G -структурах

Пусть Q — структура - на M. G Основная связность на главном расслоении Q индуцирует связность на любом ассоциированном векторном расслоении: в частности, на касательном расслоении. Возникающая таким образом линейная связность ∇ на TM называется совместной с Q . Соединения, совместимые с Q, также называются адаптированными соединениями .

Конкретно говоря, адаптированные связи можно понимать в терминах движущейся системы отсчета . Предположим, что V _i — базис локальных сечений TM (т. е. фрейм на M ), определяющий сечение Q . Любая связность ∇ определяет систему базисно-зависимых 1-форм ω через

∇ _X V _я = ω _я ^дж (X)V _j

где как матрица 1-форм ω ∈ Ω ¹ (М)⊗ гл ( п ). принимает свои значения в алгебре Ли g группы G. Адаптированная связь — это связь, для которой ω

Перекрут G -

С любой G -структурой связано понятие кручения, связанное с кручением соединения. Заметим, что данная G -структура может допускать множество различных совместимых связей, которые, в свою очередь, могут иметь разные кручения, но, несмотря на это, можно дать независимое понятие кручения G-структуры следующим образом.

Разность двух адаптированных связностей представляет собой 1-форму на M со значениями в присоединенном расслоении Ad _Q . То есть пространство А ^вопрос адаптированных связей – это аффинное пространство для Ом ¹ (К _Кью ).

Кручение адаптированного соединения определяет отображение

$A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,$

к 2-формам с коэффициентами в TM . Эта карта линейна; его линеаризация

$\tau :\Omega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,$

называется алгебраическим отображением кручения . Для двух адаптированных связностей ∇ и ∇′ их тензоры кручения T _∇ , T _∇′ отличаются на τ(∇−∇′). Следовательно, образ T _∇ в coker(τ) не зависит от выбора ∇.

Образ T _∇ (τ) для любой адаптированной связности ∇ называется кручением G в coker -структуры. G если -структура называется без кручения, ее кручение равно нулю. Это происходит именно тогда, когда Q допускает адаптированную связность без кручения.

Пример: кручение для почти сложных структур

Примером G -структуры является почти сложная структура , то есть редукцияструктурной группы четномерного многообразия в GL( n , C ). Такое сокращение однозначно определяется C ^∞ -линейный эндоморфизм J ∈ End( TM ) такой, что J ² = −1. В этой ситуации кручение можно вычислить явно следующим образом.

Простой подсчет измерений показывает, что

$\Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )$,

где Ом ^2,0 ( TM ) — пространство форм B ∈ Ω ² ( TM ), которые удовлетворяют

$B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,$

Поэтому кручение почти сложной структуры можно рассматривать как элемент Ом ^2,0 ( ТМ ). Легко проверить, что кручение почти сложной структуры равно ее тензору Нийенхейса .

порядка G структуры

Наложение условий интегрируемости на конкретную G -структуру (например, в случае симплектической формы) можно решить с помощью процесса продолжения . В таких случаях протяженную G -структуру нельзя отождествлять с G -подрасслоением связки линейных фреймов. Однако во многих случаях продолжение является самостоятельным главным расслоением, и его структурную группу можно отождествить с подгруппой струйной группы более высокого порядка . В этом случае ее называют G -структурой более высокого порядка [Кобаяши]. В целом метод эквивалентности Картана к ​​таким случаям применим .

См. также

• Г ₂ -структура

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN  3-540-15279-2 . МР   0867684 . Збл   0613.53001 .
• Черн, Шиинг-Шен (1966). «Геометрия G -структур» . Бюллетень Американского математического общества . 72 (2): 167–219. дои : 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8 .
• Годюшон, Поль (1997). «Канонические связи для почти-гиперкомплексных структур» . Комплексный анализ и геометрия . Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика». Том. 366. Лонгман. стр. 123–13. ISBN  978-0-582-29276-5 .
• Кобаяши, Шошичи (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика по математике. Спрингер. ISBN  978-3-540-58659-3 . OCLC   31374337 .
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: ISBN издательства Chelsea Publishing Co.  978-0-8218-1385-0 . OCLC   43032711 .
• Година, Марко; Маттеуччи, Паоло (2003). «Редуктивные G-структуры и производные Ли». Журнал геометрии и физики . 47 (1): 66–86. arXiv : математика/0201235 . Бибкод : 2003JGP....47...66G . дои : 10.1016/S0393-0440(02)00174-2 . МР   2006228 . S2CID   119558088 .