Линейная сложная структура

В математике — сложная структура в реальном векторном пространстве. $V$ является автоморфизмом ​ $V$ это квадраты с минусовым тождеством , $-Id_{V}$. Такая структура на $V$ позволяет определить умножение на комплексные скаляры каноническим образом, чтобы учитывать $V$ как комплексное векторное пространство .

Каждое комплексное векторное пространство может быть каноническим образом снабжено совместимой комплексной структурой; однако канонической комплексной структуры вообще не существует. Комплексные структуры имеют приложения в теории представлений, а также в комплексной геометрии , где они играют существенную роль в определении почти комплексных многообразий , в отличие от комплексных многообразий . Термин «сложная структура» часто относится к этой структуре на многообразиях; когда вместо этого оно относится к структуре в векторных пространствах, его можно назвать линейной комплексной структурой .

Определение и свойства

в Сложная структура реальном векторном пространстве $V$ это настоящее линейное преобразование

$$J:V\to V$$

такой, что

$$J^{2}=-Id_{V}.$$

Здесь $J^{2}$ означает $J$ состоит из самого себя и $Id_{V}$ это карта идентичности на $V$. То есть эффект от применения $J$ дважды - это то же самое, что умножить на $-1$. Это напоминает умножение на мнимую единицу , $i$. Сложная структура позволяет наделить $V$ со структурой комплексного векторного пространства . Комплексное скалярное умножение можно определить как

$$(x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})$$

для всех действительных чисел $x,y$ и все векторы ${\vec {v}}$ в В. ​Можно проверить, что это действительно дает $V$ структуру комплексного векторного пространства, которую мы обозначаем $V_{J}$.

Идем в другом направлении, если начать с комплексного векторного пространства. $W$ тогда можно определить сложную структуру в базовом реальном пространстве, определив $Jw=iw~~\forall w\in W$.

Более формально, линейная комплексная структура в действительном векторном пространстве представляет собой алгебраическое представление комплексных чисел. $\mathbb {C}$, рассматриваемая как ассоциативная алгебра над действительными числами . Эта алгебра реализуется конкретно как

$$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$$

что соответствует $i^{2}=-1$. Тогда представление $\mathbb {C}$ это реальное векторное пространство $V$, вместе с действием $\mathbb {C}$ на $V$ (карта $\mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)$). Конкретно это просто действие $i$, поскольку это порождает алгебру и оператор, представляющий $i$ (изображение $i$ в ${\text{End}}(V)$) это точно $J$.

Если $V_{J}$ имеет комплексную размерность $n$ затем $V$ должно иметь реальное измерение $2n$. То есть конечномерное пространство $V$ допускает сложную структуру только в том случае, если оно четномерно. Нетрудно видеть, что каждое четномерное векторное пространство допускает сложную структуру. Можно определить $J$ на парах $e,f$ базисных по векторов $Je=f$ и $Jf=-e$ а затем распространить по линейности на все $V$. Если $(v_{1},\dots ,v_{n})$ является основой комплексного векторного пространства $V_{J}$ затем $(v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})$ является основой лежащего в основе реального пространства $V$.

Настоящее линейное преобразование $A:V\rightarrow V$ является комплексным линейным преобразованием соответствующего комплексного пространства $V_{J}$ тогда и только тогда, когда $A$ ездит с $J$, т.е. тогда и только тогда, когда

$$AJ=JA.$$

Аналогично, настоящее подпространство $U$ из $V$ представляет собой комплексное подпространство $V_{J}$ тогда и только тогда, когда $J$ сохраняет $U$, т.е. тогда и только тогда, когда

$$JU=U.$$

Примеры

Элементарный пример

Коллекция $2\times 2$ реальные матрицы $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$ над реальным полем является 4-мерным. Любая матрица

$J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1$

имеет квадрат, равный отрицательному значению единичной матрицы. Сложная структура может образовываться в $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$: с единичной матрицей $I$, элементы $xI+yJ$, с помощью матричного умножения образуют комплексные числа.

$\mathbb {C} ^{n}$

Фундаментальным примером линейной комплексной структуры является структура на R ^{2 н} исходящий из сложной структуры на C ^н . То есть комплексное n -мерное пространство C ^н также является реальным 2 n -мерным пространством – с использованием того же сложения векторов и вещественного скалярного умножения – в то время как умножение на комплексное число i – это не только комплексное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как комплексное векторное пространство, но и действительное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как реальное векторное пространство. Конкретно, это потому, что скалярное умножение на i коммутирует со скалярным умножением на действительные числа. $i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ – и распределяется по векторному сложению. Как комплексная матрица размера n × n , это просто скалярная матрица с i на диагонали. Соответствующая вещественная матрица размером 2 n × 2 n обозначается J .

Учитывая основу $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ для комплексного пространства это множество вместе с этими векторами, умноженными на i, а именно $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},$ составляют основу реального пространства. Есть два естественных способа упорядочить этот базис, абстрактно соответствующие тому, записывают ли тензорное произведение как $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ или вместо этого как $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$

Если заказать базис как $\left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},$ тогда матрица для J принимает блочно-диагональную форму (добавлены индексы для обозначения размерности):

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$$

Такое упорядочение имеет то преимущество, что оно учитывает прямые суммы комплексных векторных пространств, а это означает, что основа для $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ то же самое, что и для $\mathbb {C} ^{m+n}.$

С другой стороны, если заказать базис как $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}$, то матрица для J блочно-антидиагональная:

$$J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$$

Такое упорядочение будет более естественным, если рассматривать комплексное пространство как прямую сумму реальных пространств, как обсуждается ниже.

Данные реального векторного пространства и матрицы J точно такие же, как данные комплексного векторного пространства, поскольку матрица J позволяет определять комплексное умножение. На уровне алгебр Ли и групп Ли это соответствует включению gl( n , C ) в gl(2 n , R ) (алгебры Ли – матрицы, не обязательно обратимые) и GL( n , C ) в GL( 2 н , Р ):

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) и GL( n , C ) <GL( 2n , R ).

Включение соответствует забвению комплексной структуры (и сохранению только вещественной структуры), тогда как подгруппу GL( n , C ) можно охарактеризовать (задать в уравнениях) как матрицы, коммутирующие с J:

$$\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$$

Соответствующее утверждение об алгебрах Ли состоит в том, что подалгебрами gl( n , C комплексных матриц ) являются те, у которых скобка Ли с J обращается в нуль, что означает $[J,A]=0;$ другими словами, как ядро ​​отображения брекетинга с J, $[J,-].$

Обратите внимание, что определяющие уравнения для этих утверждений одни и те же: $AJ=JA$ то же самое, что $AJ-JA=0,$ что то же самое, что $[A,J]=0,$ хотя смысл исчезновения скобки Ли менее очевиден с геометрической точки зрения, чем смысл коммутации.

Прямая сумма

Если V — любое вещественное векторное пространство, существует каноническая комплексная структура прямой суммы V ⊕ V , заданная формулой

$$J(v,w)=(-w,v).$$

Форма матрицы J : блочной

$$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$$

где $I_{V}$ является тождественным отображением на V . Это соответствует комплексной структуре тензорного произведения $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$

Совместимость с другими структурами

Если B — билинейная форма на V , то мы говорим, что J сохраняет B, если

$$B(Ju,Jv)=B(u,v)$$

для ты , v ∈ V. всех Эквивалентная характеристика состоит в том, J кососопряжен что относительно B :

$$B(Ju,v)=-B(u,Jv).$$

Если g — скалярное произведение на V , то J сохраняет g тогда и только тогда, когда J — ортогональное преобразование . Аналогично, J сохраняет невырожденную кососимметрическую J форму ω тогда и только тогда, когда является симплектическим преобразованием (т. е. если ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$). Для симплектических форм ω интересное условие совместимости между J и ω состоит в том, что

$$\omega (u,Ju)>0$$

выполняется для всех ненулевых u в V . Если это условие выполнено, то мы говорим, что укрощает ω ( синонимно: что ω ручная относительно J J ; что J ручная относительно ω ; или что пара ${\textstyle (\omega ,J)}$ является ручным).

Учитывая симплектическую форму ω и линейную комплексную структуру J на ​​V , можно определить ассоциированную билинейную форму g _J на ​​V следующим образом:

$$g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$$

Поскольку симплектическая форма невырождена, то и связанная с ней билинейная форма невырождена. Соответствующая форма сохраняется J тогда и только тогда, когда сохраняется симплектическая форма. Более того, если симплектическая форма сохраняется J , то ассоциированная форма симметрична. Если, кроме того, ω укрощается J , то ассоциированная форма положительно определена . Таким образом, в этом случае V является пространством внутреннего произведения относительно g _J .

Если симплектическая форма ω сохраняется (но не обязательно укрощается) J , то g _J является вещественной частью ( эрмитовой формы по соглашению антилинейной по первому аргументу) ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ определяется

$$h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$$

Отношение к комплексификациям

Учитывая любое действительное векторное пространство V, мы можем определить его комплексификацию путем расширения скаляров :

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

комплексная размерность которого равна действительной размерности V. Это комплексное векторное пространство , Он имеет каноническое комплексное сопряжение, определяемое формулой

${\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}$

Если J — комплексная структура на V , мы можем расширить J по линейности до V ^С :

$J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.$

Поскольку C , алгебраически замкнут J гарантированно имеет собственные значения , удовлетворяющие λ ² = −1, а именно λ = ± i . Таким образом, мы можем написать

$V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}$

где В ⁺ и В. ⁻ являются собственными пространствами + i и − i соответственно. Комплексное сопряжение V ⁺ и В. ⁻ . Проекция отображается на V ^± собственные пространства задаются формулой

${\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).$

Так что

$V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.$

существует естественный комплексный линейный изоморфизм Между V _J и V ⁺ , поэтому эти векторные пространства можно считать одинаковыми, а V ⁻ можно рассматривать как комплексно-сопряженное число V _J .

Обратите внимание: если V _J имеет комплексную размерность n, то оба V ⁺ и В. ⁻ имеют комплексную размерность n, а V ^С имеет комплексную размерность 2 n .

Абстрактно, если начать с комплексного векторного пространства W и взять комплексификацию лежащего в основе реального пространства, получится пространство, изоморфное прямой сумме W и сопряженного ему пространства:

$W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.$

Расширение на связанные векторные пространства

Пусть V вещественное векторное пространство со сложной структурой J. — Двойственное пространство V * имеет естественную комплексную структуру J заданную двойственным (или транспонированным ) пространством J. * , Комплексификация дуального пространства ( V *) ^С поэтому имеет естественное разложение

$(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}$

в ± i собственные пространства J *. При естественной идентификации ( V *) ^С с ( В ^С )* можно охарактеризовать ( V *) ⁺ как те комплексные линейные функционалы, которые обращаются в нуль на V ⁻ . Аналогично ( В *) ⁻ состоит из тех комплексных линейных функционалов, которые обращаются в нуль на V ⁺ .

(Комплексные) тензорные , симметричные и внешние алгебры над V ^С также допускают разложение. Внешняя алгебра, пожалуй, самое важное применение этого разложения. В общем, если векторное пространство U допускает разложение U = S ⊕ T , то внешние степени U можно разложить следующим образом:

$\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).$

Поэтому комплексная структура J на ​​V индуцирует разложение

$\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}$

где

$\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).$

Все внешние степени берутся за комплексные числа. Итак, если V _J имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2 n ), то

$\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.$

Размеры складываются правильно, что обусловлено личностью Вандермонда .

Пространство ( p , q )-форм Λ ^{п , д} V _J * — пространство (комплексных) полилинейных форм на V ^С которые исчезают на однородных элементах, если p не принадлежат V ⁺ и q взяты из V ⁻ . Также можно рассматривать Λ ^{п , д} V _J * как пространство вещественных полилинейных отображений из V _J в C , которые являются комплексными линейными в терминах p и сопряженно-линейными в терминах q .

См. сложную дифференциальную форму и почти комплексное многообразие для применения этих идей.

См. также

• Почти сложное многообразие
• Комплексное многообразие
• Сложная дифференциальная форма
• Комплексно-сопряженное векторное пространство
• Эрмитова структура
• Реальная структура

Ссылки

• Кобаяши С. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии , John Wiley & Sons, 1969. ISBN   0-470-49648-7 . (сложные структуры обсуждаются в томе II, главе IX, разделе 1).
• Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска , Springer-Verlag, 1988. ISBN   0-387-19078-3 . (сложные структуры обсуждаются в разделе 3.1).
• Гольдберг С.И., Кривизна и гомология , Dover Publications, 1982. ISBN   0-486-64314-X . (комплексные структуры и почти комплексные многообразия обсуждаются в разделе 5.2).