Полуторалинейная форма

В математике полуторалинейная форма — это обобщение билинейной формы , которая, в свою очередь, является обобщением понятия скалярного произведения евклидова пространства . Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет «искажать» один из аргументов полулинейным образом , отсюда и название; который происходит от латинского числового префикса sesqui, что означает «полтора». Базовую концепцию скалярного произведения – получение скаляра из пары векторов – можно обобщить, разрешив более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно расширив определение вектора.

Мотивирующим частным случаем является полуторалинейная форма в векторном пространстве V. комплексном Это отображение V × V → C , которое линейно по одному аргументу и «искажает» линейность другого аргумента посредством комплексного сопряжения (называемого антилинейным по другому аргументу). Этот случай естественным образом возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля , а поворот обеспечивается полевым автоморфизмом .

Приложение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры происходили из тела (тела) K , а это означает, что «векторы» должны быть заменены элементами K -модуля . В очень общем случае полуторалинейные формы могут быть определены над R -модулями для произвольных колец R .

Неофициальное знакомство

Полуторалинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие эрмитовой формы в комплексном векторном пространстве . Эрмитовы формы обычно рассматриваются в физике как внутренний продукт сложного гильбертова пространства . В таких случаях стандартная эрмитова форма на C ^н дан кем-то

$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$

где ${\overline {w}}_{i}$ обозначает комплексно-сопряженное число $w_{i}~.$ Этот продукт можно обобщить на ситуации, когда никто не работает с ортонормированным базисом для C. ^н , или даже какой-либо базис вообще. Вставив дополнительный коэффициент $i$в произведение получим косоэрмитову форму , более точно определенную ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец, несущих антиавтоморфизм , который неформально понимается как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» кольца.

Конвенция

Существуют разные соглашения относительно того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае первую будем считать линейной, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т.е. антилинейным), а второй — линейным. Это соглашение, используемое в основном физиками. и берет свое начало в Дирака системе обозначений в квантовой механике . Это также согласуется с определением обычного (евклидова) произведения $w,z\in \mathbb {C} ^{n}$ как $w^{*}z$.

В более общей некоммутативной ситуации с правыми модулями мы считаем второй аргумент линейным, а с левыми модулями мы считаем линейным первый аргумент.

Комплексные векторные пространства

См. Также: Антидуальное пространство и Двойная система.

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы антилинейны по первому аргументу и линейны по второму.

В комплексном векторном пространстве $V$ карта $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ является полуторалинейным, если

${\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}$

для всех $x,y,z,w\in V$ и все $a,b\in \mathbb {C} .$ Здесь, ${\overline {a}}$ является комплексно-сопряженным скаляром $a.$

Сложную полуторалинейную форму также можно рассматривать как сложное билинейное отображение.

$${\overline {V}}\times V\to \mathbb {C}$$

где ${\overline {V}}$ - -сопряженное векторное пространство комплексно $V.$ По универсальному свойству тензорных произведений они находятся во взаимно однозначном соответствии с комплексными линейными отображениями.

$${\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .$$

Для фиксированной $z\in V$ карта $w\mapsto \varphi (z,w)$ является линейным функционалом от $V$ (т.е. элемент дуального пространства $V^{*}$). Аналогично, карта $w\mapsto \varphi (w,z)$ является сопряженно-линейным функционалом на $V.$

Учитывая любую сложную полуторалинейную форму $\varphi$ на $V$ мы можем определить вторую комплексную полуторалинейную форму $\psi$ через сопряженное транспонирование :

$$\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.$$

В общем, $\psi$ и $\varphi$будет другим. Если они одинаковые, то $\varphi$Говорят, что это эрмитово . Если они являются отрицательными друг для друга, то $\varphi$называется косоэрмитовым . Любую полуторалинейную форму можно записать как сумму эрмитовой и косоэрмитовой форм.

Матричное представление

Если $V$ является конечномерным комплексным векторным пространством, то относительно любого базиса $\left\{e_{i}\right\}_{i}$ из $V,$ полуторалинейная форма представляется матрицей $A,$ и предоставлено

$$\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }Az.$$

где $w^{\dagger }$это сопряженное транспонирование . Компоненты матрицы $A$ даны $A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).$

Эрмитова форма

Термин «эрмитова форма» может также относиться к другой концепции, отличной от той, которая объясняется ниже: он может относиться к определенной дифференциальной форме на эрмитовом многообразии .

Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) — это полуторалинейная форма. $h:V\times V\to \mathbb {C}$ такой, что

$$h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.$$

Стандартная эрмитова форма на $\mathbb {C} ^{n}$ задается (опять же, используя «физическое» соглашение о линейности по второй переменной и сопряженной линейности по первой переменной) выражением

$$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$$

В более общем смысле, скалярный продукт любого комплексного гильбертова пространства является эрмитовой формой.

В эрмитовой форме вводится знак минус. $ww^{*}-zz^{*}$ определить группу SU(1,1) .

Векторное пространство эрмитовой формы $(V,h)$ называется эрмитовым пространством .

Матричное представление комплексной эрмитовой формы — это эрмитова матрица .

Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору

$$|z|_{h}=h(z,z)$$

всегда действительное число . Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма действительна для всех $z\in V.$

Косо-эрмитова форма

Сложная косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) — это сложная полуторалинейная форма. $s:V\times V\to \mathbb {C}$ такой, что

$$s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.$$

Любую сложную косоэрмитову форму можно записать как мнимую единицу $i:={\sqrt {-1}}$ раз эрмитова форма.

Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы представляет собой косоэрмитову матрицу .

Сложная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору.

$$|z|_{s}=s(z,z)$$

всегда является чисто мнимым числом .

Над разделительным кольцом

когда тело K коммутативно Этот раздел применяется без изменений , . Тогда применяется и более конкретная терминология: тело — это поле, антиавтоморфизм — тоже автоморфизм, а правый модуль — векторное пространство. Следующее применимо к левому модулю с подходящим переупорядочением выражений.

Определение

над σ -полуторалинейная форма правым K -модулем M — это биаддитивное отображение φ : M × M → K с ассоциированным антиавтоморфизмом σ тела K x такое, что для всех , y в M и всех α , β в K ,

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .$

Соответствующий антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется φ .

Ортогональность

Для полуторалинейной формы φ над модулем M и подпространства подмодуля ) W модуля M ортогональное дополнение W ( относительно φ равно

$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.$

Аналогично, x ∈ M ортогонален , y ) = ∈ M относительно φ , записанный x ⊥ _φ y (или просто x ⊥ y если φ можно вывести из контекста), когда φ ( x , y 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным , т.е. x ⊥ y не влечет y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность

Полуторалинейная форма φ рефлексивна , если для всех x , y в M ,

$\varphi (x,y)=0$ подразумевает $\varphi (y,x)=0.$

То есть полуторалинейная форма является рефлексивной именно тогда, когда полученное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитовы вариации

φ σ -полуторалинейная форма называется ( σ , ε ) -эрмитовой , если существует ε в K такое, что для всех x , y в M ,

$\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .$

Если ε = 1 , форма называется σ - эрмитовой , а если ε = −1 , то она называется σ - антиэрмитовой . (Когда σ подразумевается , соответственно просто эрмитово или антиэрмитово .)

Для ненулевой ( σ , ε ) -эрмитовой формы отсюда следует, что для всех α в K ,

$\sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}$

$\sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.$

Отсюда также следует, что φ ( x , x ) является неподвижной точкой отображения α ↦ σ ( α ) ε . Неподвижные точки этого отображения подгруппу аддитивной группы K образуют .

-эрмитова ( σ , ε ) форма рефлексивна, и каждая рефлексивная σ -полуторалинейная форма является ( σ , ε ) -эрмитовой для некоторого ε .

В частном случае, когда σ является тождественным отображением (т. е. σ = id ), K коммутативен, φ является билинейной формой и ε ² = 1 . Тогда при ε = 1 билинейная форма называется симметричной , а при ε = −1 — кососимметричной .

Пример

Пусть V — трехмерное векторное пространство над конечным полем F = GF( q ² ) , где q — степень простого числа . Что касается стандартного базиса, мы можем написать x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) и определить отображение φ следующим образом:

$\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.$

Отображение σ : t ↦ t ^д является инволютивным автоморфизмом F . отображение φ Тогда является σ -полуторалинейной формой. Матрица Mφ _, связанная с этой формой, является единичной матрицей . Это эрмитова форма.

В проективной геометрии

Предположение : В этом разделе полуторалинейные формы антилинейны (соответственно линейны ) по своему второму (соответственно первому) аргументу.

В проективной геометрии G перестановка т.е. δ подпространств, обращающая включение,

С ⊆ Т ⇒ Т ^д ⊆ С ^д для всех подпространств S , T группы G ,

называется корреляцией . Результат Биркгофа и фон Неймана (1936 г.) показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам в базовом векторном пространстве. Полуторалинейная форма φ невырождена , если φ ( x , y ) = 0 для всех y в V (если и ) только тогда, когда x = 0 .

Чтобы добиться полной общности этого утверждения, а также поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть координирована телом , Рейнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы до тела, что требует замены векторных пространств R -модулями . (В геометрической литературе их до сих пор называют левыми или правыми векторными пространствами над телами.)

Над произвольными кольцами

Специализация приведенного выше раздела на телах была следствием применения к проективной геометрии, а не свойственна природе полуторалинейных форм. Для обобщения версии определения с произвольным полем на произвольные кольца требуются лишь незначительные изменения, необходимые для учета некоммутативности умножения.

Пусть R — кольцо , V — R - модуль и σ антиавтоморфизм ​ R. — ​

Отображение φ : V × V → R называется σ -полуторалинейным , если

$\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)$

$\varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)$

для всех , y , z , w в V и всех c , d в R. x

Элемент x ортогонален ) , другому элементу y относительно полуторалинейной формы φ (записывается x ⊥ y если φ ( x , y ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т.е. x ⊥ y не означает y ⊥ x .

Полуторалинейная форма φ : V × V → R является рефлексивной (или ортосимметричной если из φ ( x , y ) = 0 следует φ ( y , x ) = 0 для всех x , y в V. ) ,

Полуторалинейная форма φ : V × V → R называется эрмитовой , если существует σ такое, что

$\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))$

для x , y в V. всех Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она не равна нулю, соответствующий антиавтоморфизм σ является инволюцией (т. е. порядка 2).

Поскольку для антиавтоморфизма σ мы имеем σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) для всех s , t в R , если σ = id , то R должен быть коммутативным, а φ — билинейная форма. В частности, если в данном случае R — тело, то R — поле, а V — векторное пространство билинейной формы.

Антиавтоморфизм σ : R → R также можно рассматривать как изоморфизм R → R. ^на , где Р ^на — противоположное кольцо R где , которое имеет тот же базовый набор и то же сложение, но чья операция умножения ( ∗ ) определяется формулой ∗ b = ba , произведение справа — это произведение в R. a Отсюда следует, что правый (левый) R -модуль V можно превратить в левый (правый) R ^на -module, V ^О . Таким образом, полуторалинейную форму φ : V × V → R можно рассматривать как билинейную форму φ ′ : V × V. ^О → Р .

См. также

• *-кольцо

Ссылки

• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Грюнберг, КВ; Вейр, AJ (1977), Линейная геометрия (2-е изд.), Springer, ISBN  0-387-90227-9
• Джейкобсон, Натан Дж. (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

• «Полуторалинейная форма» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]