Аддитивная карта

В алгебре отображение аддитивное , $Z$ -линейная карта или аддитивная функция — это функция $f$ который сохраняет операцию сложения: ^[1] $f(x+y)=f(x)+f(y)$ для каждой пары элементов $x$ и $y$ в области $f.$ Например, любая линейная карта аддитивна. Когда областью определения являются действительные числа , это функциональное уравнение Коши . Для конкретного случая этого определения см. аддитивный полином .

Более формально аддитивное отображение — это $\mathbb {Z}$ - гомоморфизм модулей . Поскольку абелева группа является $\mathbb {Z}$ - модуль , его можно определить как групповой гомоморфизм абелевых групп.

Карта $V\times W\to X$ аддитивное по каждому из двух аргументов в отдельности, называется биаддитивным отображением или $\mathbb {Z}$ -билинейная карта . ^[2]

Примеры

Типичные примеры включают отображения между кольцами , векторными пространствами или модулями, сохраняющими аддитивную группу . Аддитивная карта не обязательно сохраняет какую-либо другую структуру объекта; например, произведение операции кольца.

Если $f$ и $g$ являются аддитивными отображениями, то отображение $f+g$ (определяется поточечно ) является аддитивным.

Характеристики

Определение скалярного умножения на целое число

Предположим, что $X$ представляет собой аддитивную группу с единичным элементом $0$ и что обратное $x\in X$ обозначается $-x.$ Для любого $x\in X$ и целое число $n\in \mathbb {Z} ,$ позволять: $nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ when }}n=0,\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n>0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n<0,\\\end{alignedat}}\right.$ Таким образом $(-1)x=-x$ и можно показать, что для всех целых чисел $m,n\in \mathbb {Z}$ и все $x\in X,$ $(m+n)x=mx+nx$ и $-(nx)=(-n)x=n(-x).$ Это определение скалярного умножения делает циклическую подгруппу $\mathbb {Z} x$ из $X$ влево $\mathbb {Z}$ -модуль ; если $X$ коммутативен, то это также делает $X$ влево $\mathbb {Z}$ -модуль.

Однородность по целым числам

Если $f:X\to Y$ является аддитивным отображением между аддитивными группами, тогда $f(0)=0$ и для всех $x\in X,$ $f(-x)=-f(x)$ (где отрицание означает аддитивное обратное) и ^{[доказательство 1]} $f(nx)=nf(x)\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} .$ Следовательно, $f(x-y)=f(x)-f(y)$ для всех $x,y\in X$ (где по определению $x-y:=x+(-y)$ ).

Другими словами, каждое аддитивное отображение однородно по целым числам . Следовательно, всякое аддитивное отображение между абелевыми группами является гомоморфизмом $\mathbb {Z}$ -модули .

Гомоморфизм $\mathbb {Q}$ -модули

Если аддитивные абелевы группы $X$ и $Y$ также являются единичными модулями над рациональными числами $\mathbb {Q}$ (например, действительные или комплексные векторные пространства ), то аддитивное отображение $f:X\to Y$ удовлетворяет: ^{[доказательство 2]} $f(qx)=qf(x)\quad {\text{ for all }}q\in \mathbb {Q} {\text{ and }}x\in X.$ Другими словами, каждое аддитивное отображение однородно по рациональным числам . Следовательно, каждая добавка отображает между единицами $\mathbb {Q}$ -модулей является гомоморфизмом $\mathbb {Q}$ -модули .

Несмотря на то, что они однородны по $\mathbb {Q} ,$ как описано в статье о функциональном уравнении Коши , даже если $X=Y=\mathbb {R} ,$ тем не менее, для аддитивной функции все еще возможно $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ не ; быть по действительным числам однородным иначе говоря, существуют аддитивные отображения $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ которые не имеют формы $f(x)=s_{0}x$ для некоторой константы $s_{0}\in \mathbb {R} .$ В частности, существуют аддитивные карты, которые не являются линейными .

См. также

Антилинейная карта - Сопряженная однородная аддитивная карта.

Примечания

^ Лесли Хогбен (2013), Справочник по линейной алгебре (3-е изд.), CRC Press, стр. 30–8, ISBN 9781498785600
^ Н. Бурбаки (1989), Главы 1–3 алгебры , Springer, с. 243

Доказательства

^ $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ поэтому добавляю $-f(0)$ для обеих сторон доказывает, что $f(0)=0.$ Если $x\in X$ затем $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ так что $f(-x)=-f(x)$ где по определению, $(-1)f(x):=-f(x).$ Индукция показывает, что если $n\in \mathbb {N}$ тогда положительно $f(nx)=nf(x)$ и что аддитивная обратная $nf(x)$ является $n(-f(x)),$ что подразумевает, что $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ (это показывает, что $f(nx)=nf(x)$ держится за $n<0$ ). $\blacksquare$
^ Пусть $x\in X$ и $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ где $m,n\in \mathbb {Z}$ и $n>0.$ Позволять $y:={\frac {1}{n}}x.$ Затем $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ что подразумевает $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ так что умножив обе части на ${\frac {1}{n}}$ доказывает, что $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ Следовательно, $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $\blacksquare$

Ссылки

Роджер К. Линдон ; Пол Э. Шупп (2001), Комбинаторная теория групп , Springer

[1] Лесли Хогбен (2013), Справочник по линейной алгебре (3-е изд.), CRC Press, стр. 30–8, ISBN 9781498785600

[2] Н. Бурбаки (1989), Главы 1–3 алгебры , Springer, с. 243

[3] $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ поэтому добавляю $-f(0)$ для обеих сторон доказывает, что $f(0)=0.$ Если $x\in X$ затем $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ так что $f(-x)=-f(x)$ где по определению, $(-1)f(x):=-f(x).$ Индукция показывает, что если $n\in \mathbb {N}$ тогда положительно $f(nx)=nf(x)$ и что аддитивная обратная $nf(x)$ является $n(-f(x)),$ что подразумевает, что $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ (это показывает, что $f(nx)=nf(x)$ держится за $n<0$ ). $\blacksquare$

[4] Пусть $x\in X$ и $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ где $m,n\in \mathbb {Z}$ и $n>0.$ Позволять $y:={\frac {1}{n}}x.$ Затем $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ что подразумевает $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ так что умножив обе части на ${\frac {1}{n}}$ доказывает, что $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ Следовательно, $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $\blacksquare$

[1]

[2]

[доказательство 1]

[доказательство 2]