Аддитивный полином

В математике являются аддитивные полиномы важной темой классической алгебраической теории чисел .

Определение [ править ]

Пусть k поле простой характеристики — p . Многочлен или P ( x ) с коэффициентами из k называется аддитивным многочленом многочленом , Фробениуса если

P(a+b)=P(a)+P(b)\,

как полиномы от a и b . Эквивалентно предположить, что это равенство выполняется для всех a и b в некотором бесконечном поле, содержащем k , таком как его алгебраическое замыкание .

Иногда абсолютно аддитивное условие для приведенного выше условия используется P , а для более слабого условия используется ( a + b ) = P ( a ) + P ( b ) для всех a и b в поле. Для бесконечных полей условия эквивалентны, но для конечных полей — нет, и более слабое условие является «неправильным», поскольку оно ведет себя не очень хорошо. Например, над полем порядка q любое P , кратное x ^д − x будет удовлетворять P ( a + b ) = P ( a ) + P ( b ) для всех a и b в поле, но обычно не будет (абсолютно) аддитивным.

Примеры [ править ]

Полином x ^п является аддитивным. Действительно, для любых a и b в алгебраическом замыкании k имеем по биномиальной теореме

(a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{p-n}.

Поскольку p простое число, для всех n = 1, ..., p −1 биномиальный коэффициент $\scriptstyle {p \choose n}$ делится на что p , из чего следует,

(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p

как полиномы от a и b .

Аналогично все многочлены вида

\tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}

являются аддитивными, где n — неотрицательное целое число .

Определение имеет смысл, даже если k — поле нулевой характеристики, но в этом случае единственными аддитивными полиномами являются полиномы вида ax для некоторого a из k . ^{[ нужна ссылка ]}

Кольцо аддитивных полиномов [ править ]

Довольно легко доказать, что любая линейная комбинация многочленов $\tau _{p}^{n}(x)$ с коэффициентами из k также является аддитивным полиномом. Интересный вопрос: существуют ли другие аддитивные полиномы, кроме этих линейных комбинаций. Ответ в том, что это единственные.

Можно проверить, что если P ( x ) и M ( x ) являются аддитивными полиномами, то такими же являются и P ( x ) + M ( x ) и P ( M ( x )). Это означает, что аддитивные полиномы образуют кольцо при полиномиальном сложении и композиции . Это кольцо обозначается

k\{\tau _{p}\}.\,

Это кольцо не коммутативно, если k не является полем $\mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ (см. модульную арифметику ). Действительно, рассмотрим аддитивные полиномы ax и x ^п для коэффициента a в k . Чтобы они могли коммутировать по композиции, мы должны иметь

(ax)^{p}=ax^{p},\,

и, следовательно , ^п − a 0. Это неверно, если a не является корнем , т.е. этого уравнения = $\mathbb {F} _{p}.$

Фундаментальная теорема об аддитивных полиномах [ править ]

Пусть P ( x ) — многочлен с коэффициентами от k , и $\{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k$ быть множеством его корней. Предполагая, что корни P ( x ) различны (т.е. P ( x ) отделимо ), тогда P ( x ) является аддитивным тогда и только тогда, когда множество $\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ образует группу с добавлением полей.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дэвид Госс , Основные структуры арифметики функциональных полей , 1996, Springer, Берлин. ISBN 3-540-61087-1 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивный полином» . Математический мир .