Модуль Дринфельда

В математике модуль Дринфельда (или эллиптический модуль ) — это, грубо говоря, особый вид модуля над кольцом функций на кривой над конечным полем , обобщающий модуль Карлица . Грубо говоря, они представляют собой функциональный аналог теории комплексного умножения . Штука ) — это (также называемая F-пучком или chtouca своего рода обобщение модуля Дринфельда, состоящее примерно из векторного расслоения над кривой вместе с некоторой дополнительной структурой, идентифицирующей «поворот Фробениуса» расслоения с «модификацией». этого.

Модули Дринфельда были введены Дринфельдом ( 1974 ), который использовал их для доказательства гипотез Ленглендса для GL ₂ поля алгебраических функций в некоторых частных случаях. Позже он изобрел штуки и использовал штуки 2-го ранга, чтобы доказатьостальные случаи гипотез Ленглендса для GL ₂ . Лоран Лафорг доказал гипотезы Ленглендса для GL _n функционального поля, изучая стек модулей штук ранга n .

«Штука» — русское слово штука, означающее «единичный экземпляр», которое происходит от немецкого существительного «Stück», означающего «кусок, предмет или единица». В русском языке слово «штука» также используется в сленге для обозначения вещь с известными свойствами, но не имеющая имени в сознании говорящего.

Модули Дринфельда

Кольцо аддитивных полиномов

Мы позволяем $L$ быть полем характеристики $p>0$. Кольцо $L\{\tau \}$ определяется как кольцо некоммутативных (или скрученных) многочленов $a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ над $L$, с умножением, заданным

$\tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L.$

Элемент $\tau$ можно рассматривать как элемент Фробениуса : на самом деле, $L$ это левый модуль над $L\{\tau \}$, с элементами $L$ действует как умножение и $\tau$ действующий как эндоморфизм Фробениуса $L$. Кольцо $L\{\tau \}$ также можно рассматривать как кольцо всех (абсолютно) аддитивных многочленов.

$a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,$

в $L[x]$, где многочлен $f$ называется аддитивным, если $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (как элементы $L[x,y]$). Кольцо аддитивных полиномов порождается как алгебра над $L$ полиномом $\tau =x^{p}$. Умножение в кольце аддитивных многочленов задается композицией многочленов, а не умножением коммутативных многочленов, и не является коммутативным.

Определение

Пусть F — поле алгебраических функций с конечным полем констант и зафиксируем место $\infty$ выключенный ​ . Определим A как кольцо элементов из F , которые регулярны во всех местах, за исключением, возможно, $\infty$. В частности, A является дедекиндовой областью и дискретна в F ( с топологией, индуцированной $\infty$). Например, мы можем взять A в качестве кольца многочленов. $F_{q}[t]$. Пусть L — поле, наделенное кольцевым гомоморфизмом $\iota :A\to L$.

A Дринфельда -модуль гомоморфизмом над L является кольцевым $\phi :A\to L\{\tau \}$ образ которого не содержится в L , такой, что композиция $\phi$ с $d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}$ совпадает с $\iota :A\to L$.

Условие того, что образ А не находится в L, является условием невырожденности, поставленным для исключения тривиальных случаев, а условие того, что $d\circ \phi =\iota$ создается впечатление, что модуль Дринфельда — это просто деформация карты $\iota$.

Поскольку L {τ} можно рассматривать как эндоморфизмы аддитивной группы L -модуль Дринфельда , A можно рассматривать как действие A на аддитивной группе L или, другими словами, как A -модуль, лежащая в основе аддитивной группы которого группа является аддитивной группой L .

Примеры модулей Дринфельда

• Определим A как F _p [ T ], обычное (коммутативное!) Кольцо полиномов над конечным полем порядка p . Другими словами, A — координатное кольцо аффинной кривой рода 0. Тогда модуль Дринфельда ψ определяется образом ψ( T ) модуля T , который может быть любым непостоянным элементом из L {τ}. Таким образом, модули Дринфельда можно отождествить с непостоянными элементами из L {τ}. (В случае высшего рода описание модулей Дринфельда более сложное.)
• Модуль Карлитца — это модуль Дринфельда ψ, заданный формулой ψ( T ) = T +τ, где A — это F _p [ T ], а L — подходящее полное алгебраически замкнутое поле, содержащее A . Он был описан Л. Карлитцем в 1935 г., за много лет до общего определения модуля Дринфельда. См. главу 3 Goss ( 1996 ) для получения дополнительной информации о модуле Carlitz. См. также экспоненту Карлица .

Shtukas

Предположим, что — кривая над конечным полем Fp _. X (Правая) штука ранга r над схемой (или стеком) U задается следующими данными:

• Локально свободные пучки E , E′ ранга r над U × X вместе с инъективными морфизмами

E → E′ ← (Fr×1) ^* И ,

коядра которых поддерживаются на некоторых графах морфизмов от U до X (называемых нулем и полюсом штуки и обычно обозначаемых 0 и ∞) и локально свободны от ранга 1 на своих носителях. Здесь (Пр×1) ^* E — это обратный образ E посредством эндоморфизма Фробениуса U .

Левая штука определяется таким же образом, за исключением того, что направление морфизмов меняется на противоположное. Если полюс и ноль штуки не пересекаются, то левая и правая штуки по сути одинаковы.

Варьируя U , мы получаем алгебраический стек Штука ^р of shtukas of rank r , a "universal" shtuka over Shtuka ^р × X and a morphism (∞,0) from Shtuka ^р в X × X , который является гладким и имеет относительную размерность 2 r − 2. Стек Штука ^р не имеет конечного типа при r > 1.

Модули Дринфельда — это в каком-то смысле особый вид штучек. (Это совсем не очевидно из определений.) Точнее, Дринфельд показал, как сконструировать штуку из модуля Дринфельда.См. Дринфельд В. Г. Коммутативные подкольца некоторых некоммутативных колец. Функционал. Анальный. я Приловзен. 11 (1977), вып. 1, 11–14, 96. Подробности.

Приложения

Основная статья: теорема Лафорга

Гипотезы Ленглендса для функциональных полей утверждают (очень грубо), что существует биекция между каспидальными автоморфными представлениями GL _n и некоторыми представлениями группы Галуа. Дринфельд использовал модули Дринфельда для доказательства некоторых частных случаев гипотез Ленглендса, а позже доказал полные гипотезы Ленглендса для GL ₂ , обобщив модули Дринфельда на штуки.«Сложная» часть доказательства этих гипотез состоит в построении представлений Галуа с определенными свойствами, и Дринфельд построил необходимые представления Галуа, найдя их внутри l -адических когомологий некоторых пространств модулей штук ранга 2.

Дринфельд предположил, что пространства модулей штук ранга r можно использовать аналогичным образом для доказательства гипотез Ленглендса для GL _r ; огромные технические проблемы, связанные с выполнением этой программы, были решены Лаффоргом после многих лет усилий.

См. также

• Структура уровней (алгебраическая геометрия)
• Стек модулей эллиптических кривых

Ссылки

Модули Дринфельда

• Drinfeld, Vladimir (1974), "Elliptic modules", Matematicheskii Sbornik (in Russian), 94 , MR  0384707 . English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561–592.
• Госс, Дэвид (1996), Основные структуры арифметики функциональных полей , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 35, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-61480-4 , ISBN.  978-3-540-61087-8 , МР   1423131
• Гекелер, Е.-У. (2001) [1994], «Модуль Дринфельда» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Лаумон, Жерар (1996), Когомологии модульных многообразий Дринфельда, Часть 1, Геометрия, подсчет точек и локальный гармонический анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 41, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-47060-5
• Ломон, Жерар; Вальдспургер, Жан-Лу (1996), Когомологии модульных многообразий Дринфельда, Часть 2, Автоморфные формы, формулы следов и соответствие Ленглендса , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 56, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-47061-2
• Розен, Майкл (2002), «13. Модули Дринфельда: введение», Теория чисел в функциональных полях , Тексты для аспирантов по математике , том. 210, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  0-387-95335-3 , Збл   1043.11079 .

Shtukas

• Drinfeld, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. ( LOMI ) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107–158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789–1821
• Дринфельд В. Г. (1987), "Многообразия модулей F-пучков", Функц. Анальный. Я приложен. (на русском языке), 21 (2): 23–41 . Английский перевод: Функциональный анал. Прил. 21 (1987), вып. 2, 107–122.
• Госс, Д. (2003), «Что такое штука?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (1)
• Каждан, Дэвид А. (1979), «Введение в Штуку Дринфельда» , в Бореле, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 347–356, ISBN.  978-0-8218-1437-6 , МР   0546623