Витое полиномиальное кольцо

В математике многочлен скрученный это многочлен над полем характеристики — $p$ в переменной $\tau$ представляющее карту Фробениуса $x\mapsto x^{p}$ . В отличие от обычных многочленов, умножение этих многочленов не коммутативно , а удовлетворяет правилу коммутации

\tau x=x^{p}\tau

для всех $x$ в базовом поле.

Над бесконечным полем кольцо скрученных многочленов изоморфно кольцу аддитивных многочленов , но умножение последнего задается композицией, а не обычным умножением. Однако зачастую проще производить вычисления в кольце скрученных полиномов — это особенно применимо в теории модулей Дринфельда .

Определение

Позволять $k$ быть полем характеристики $p$ . Скрученное полиномиальное кольцо $k\{\tau \}$ определяется как набор многочленов от переменной $\tau$ и коэффициенты в $k$ . Он наделен кольцевой структурой с обычным сложением, но некоммутативным умножением, которое можно суммировать соотношением $\tau x=x^{p}\tau$ для $x\in k$ . Повторное применение этого соотношения дает формулу умножения любых двух скрученных многочленов.

В качестве примера выполним такое умножение

(a+b\tau )(c+d\tau )=a(c+d\tau )+b\tau (c+d\tau )=ac+ad\tau +bc^{p}\tau +bd^{p}\tau ^{2}

Характеристики

Морфизм

k\{\tau \}\to k[x],\quad a_{0}+a_{1}\tau +\cdots +a_{n}\tau ^{n}\mapsto a_{0}x+a_{1}x^{p}+\cdots +a_{n}x^{p^{n}}

определяет кольцевой гомоморфизм, переводящий скрученный многочлен в аддитивный многочлен. Здесь умножение в правой части задается композицией многочленов. Например

(ax+bx^{p})\circ (cx+dx^{p})=a(cx+dx^{p})+b(cx+dx^{p})^{p}=acx+adx^{p}+bc^{p}x^{p}+bd^{p}x^{p^{2}},

используя тот факт, что в характеристике $p$ у нас есть мечта первокурсника $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ .

Гомоморфизм, очевидно, инъективен, но сюръективен тогда и только тогда, когда $k$ бесконечен. Нарушение сюръективности, когда $k$ конечно, связано с существованием ненулевых многочленов, которые индуцируют нулевую функцию на $k$ (например $x^{q}-x$ над конечным полем с $q$ элементы). ^{[ нужна ссылка ]}

Несмотря на то, что это кольцо не является коммутативным, оно все равно обладает алгоритмами деления (левого и правого) .

Ссылки

Госс, Д. (1996), Основные структуры арифметики функциональных полей , Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], том. 35, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61087-8 , МР 1423131 , Збл 0874.11004
Розен, Майкл (2002), Теория чисел в функциональных полях , Тексты для аспирантов по математике , том. 210, Шпрингер-Верлаг , ISBN 0-387-95335-3 , ISSN 0072-5285 , Збл 1043.11079