мечта первокурсника

Иллюстрация мечты первокурсника в двух измерениях. Каждая сторона квадрата имеет длину X+Y. Площадь квадрата равна сумме площадей желтой области (=X ² ), площадь зеленой области (=Y ² ) и площадь двух белых областей (=2×X×Y).

— Мечта первокурсника название, данное ошибочному уравнению $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$, где $n$ - действительное число (обычно положительное целое число больше 1) и $x,y$ являются ненулевыми действительными числами. Начинающие студенты обычно допускают эту ошибку при вычислении степени суммы действительных чисел, ошибочно полагая, что степени распределяются по суммам. Когда n = 2, легко понять, почему это неверно: ( x + y ) ² может быть правильно вычислено как x ² + 2 ху + у ² с использованием дистрибутивности (широко известной среди студентов в США как метод FOIL ). Для больших положительных целых значений n правильный результат дается биномиальной теоремой .

Название «мечта первокурсника» также иногда относится к теореме, которая гласит, что для числа p , если x и y являются членами коммутативного кольца характеристики простого p , то ( х + у ) ^п = х ^п + и ^п . В этом более экзотическом типе арифметики «ошибка» на самом деле дает правильный результат, поскольку p делит все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делая все промежуточные члены равными нулю.

Это тождество также справедливо и в контексте тропической геометрии , где умножение заменяется сложением, а сложение заменяется минимумом .

Примеры

• $(1+4)^{2}=5^{2}=25$, но $1^{2}+4^{2}=17$.
• ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ не равно ${\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|$. Например, ${\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$, что не равно 3 + 4 = 7 . В этом примере ошибка фиксируется с показателем n = ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Основная характеристика

Когда $p$ является простым числом и $x$ и $y$ являются членами кольца характеристики коммутативного $p$, затем $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$. В этом можно убедиться, исследуя простые множители биномиальных коэффициентов: n- й биномиальный коэффициент равен

${\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}.$

Числитель — это p факториал (!), который делится на p . Однако когда 0 < n < p , оба n ! и ( п - п )! взаимно просты с p, поскольку все множители меньше p и p простое число. Поскольку биномиальный коэффициент всегда является целым числом, n- й биномиальный коэффициент делится на p и, следовательно, равен 0 в кольце. У нас остались нулевой и p -й коэффициенты, которые оба равны 1, что дает искомое уравнение.

Таким образом, в характеристике p сон первокурсника является действительным тождеством. Этот результат показывает, что возведение в степень по p приводит к эндоморфизму , известному как эндоморфизм Фробениуса кольца.

Требование, чтобы характеристика p была простым числом, играет центральную роль в истинности мечты первокурсника. Соответствующая теорема утверждает, что если p простое, то ( x + 1) ^п ≡ х ^п + 1 в кольце полиномов $\mathbb {Z} _{p}[x]$. Эта теорема является ключевым фактом в современном тестировании на простоту.

История и альтернативные названия

История термина «мечта первокурсника» несколько неясна. В статье 1940 года о модульных полях Сондерс Мак Лейн цитирует замечание Стивена Клини о том, что знание ( a + b ) ² = а ² + б ² в поле характеристики 2 развратит студентов-первокурсников алгебры . Возможно, это первая связь между «первокурсником» и биномиальным расширением в полях с положительной характеристикой. С тех пор авторы учебников по алгебре для студентов обратили внимание на распространенную ошибку. Первое фактическое подтверждение фразы «мечта первокурсника», по-видимому, содержится в учебнике алгебры для выпускников Хангерфорда (1974), где он цитирует МакБрайена. Альтернативные термины включают « возведение в степень первокурсника », использованное Фрели (1998). Сам термин «мечта первокурсника» в нематематическом контексте встречается с 19 века.

Поскольку разложение ( x + y ) ^н правильно дается биномиальной теоремой , мечта первокурсника также известна как « биномиальная теорема ребенка ». или « биномиальная теорема школьника ».

См. также

• Мост ослов
• Тест на примитивность
• мечта второкурсника
• Эндоморфизм Фробениуса