ФОЛЬГОВЫЙ метод

ФОЛЬГОВЫЙ метод
Визуальное представление правила FOIL. Каждая цветная линия представляет собой два слагаемых, которые необходимо перемножить.
Тип Метод
Поле Элементарная алгебра , элементарная арифметика
Заявление Техника умножения двух биномов в алгебраическом выражении с использованием закона распределения .
Впервые заявил Уильям Бетц
Впервые заявлено в 1929 год ; 95 лет назад ( 1929 )

В элементарной алгебре FOIL это мнемоника стандартного метода умножения двух биномов. [1] - следовательно, этот метод можно назвать методом FOIL . Слово FOIL является аббревиатурой четырех терминов продукта:

  • Первый («первые» члены каждого бинома перемножаются)
  • Внешний («внешние» члены умножаются, то есть первый член первого бинома и второй член второго)
  • Внутренние («внутренние» члены перемножаются — второй член первого бинома и первый член второго)
  • L ast («последние» члены каждого бинома умножаются)

Общая форма

Обратите внимание, что a является одновременно «первым» и «внешним» термином; b является одновременно «последним» и «внутренним» термином и так далее. Порядок четырех членов суммы не важен и не обязательно должен совпадать с порядком букв в слове FOIL.

История [ править ]

Метод FOIL является частным случаем более общего метода умножения алгебраических выражений с использованием закона распределения . Слово FOIL изначально предназначалось исключительно как мнемоника для старшеклассников, изучающих алгебру. Этот термин появляется в тексте Уильяма Бетца 1929 года «Алгебра сегодня» , где он утверждает: [2]

... первые сроки, внешние условия, внутренние условия, последние условия. (Правило, изложенное выше, можно также запомнить по слову ФОЛЬГА, которое обозначается первыми буквами слов первый, внешний, внутренний, последний.)

Уильям Бетц в то время принимал активное участие в движении за реформу математики в Соединенных Штатах, написал много текстов по темам элементарной математики и «посвятил свою жизнь улучшению математического образования». [3]

Многие студенты и преподаватели в США теперь используют слово «FOIL» как глагол, означающий «расширять произведение двух биномов». [4]

Примеры [ править ]

Этот метод чаще всего используется для умножения линейных биномов. Например,

Если какой-либо бином включает вычитание , соответствующие члены должны быть инвертированы . Например,

Распределительный закон [ править ]

Метод FOIL эквивалентен двухэтапному процессу, включающему распределительный закон: [5]

На первом этапе ( c + d ) распределяется по сложению в первом биноме. На втором этапе распределительный закон используется для упрощения каждого из двух терминов. Обратите внимание, что этот процесс включает в себя в общей сложности три применения распределительного свойства. В отличие от метода FOIL, метод, использующий дистрибутивность, можно легко применить к продуктам с большим количеством членов, таких как трехчлены и выше.

Обратная ФОЛЬГА [ править ]

Правило FOIL преобразует произведение двух биномов в сумму четырех (или меньше, если одинаковые члены затем объединить ) мономов . [6] Обратный процесс называется факторингом или факторизацией . В частности, если приведенное выше доказательство прочитать в обратном порядке, оно иллюстрирует метод, называемый факторингом по группировке .

Стол как альтернатива ФОЛЬГЕ [ править ]

Инструмент визуальной памяти может заменить мнемонику FOIL для пары полиномов с любым количеством членов. Составьте таблицу с членами первого многочлена на левом краю и членами второго на верхнем краю, затем заполните таблицу произведениями умножения. Таблица, эквивалентная правилу FOIL, выглядит следующим образом:

В случае, если это многочлены ( ax + b )( cx + d ) , члены заданной степени находятся сложением по антидиагоналям :

так

Чтобы умножить ( a + b + c )( w + x + y + z ) , таблица будет выглядеть следующим образом:

Сумма записей таблицы представляет собой произведение полиномов. Таким образом:

Аналогично, чтобы умножить ( ax 2 + bx + c )( dx 3 + бывший 2 + fx + g ) записывают ту же таблицу:

и суммирует по антидиагоналям:

Обобщения [ править ]

Правило FOIL не может быть напрямую применено к разложению произведений с более чем двумя множимыми или множимыми с более чем двумя слагаемыми. Однако применение ассоциативного закона и рекурсивного фольгирования позволяет расширять такие произведения. Например:

Альтернативные методы, основанные на распределении, не используют правило FOIL, но их легче запомнить и применять. Например:

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ «Упрощение с помощью уроков метода FOIL» . Проверено 10 мая 2018 г.
  2. ^ Бетц, Уильям (1929), Алгебра сегодня (том 1) , Джинн и компания, стр. 291 .
  3. ^ WDR (ноябрь 1937 г.), «Обзор алгебры на сегодняшний день: первый год», Учитель математики , 30 (7), Национальный совет по преподаванию математики: 348 .
  4. ^ МакКри, Эмма (01 мая 2019 г.). «Каждый урок математики важен: шесть принципов, которые помогут обеспечить эффективное преподавание математики» (серия «Каждый урок имеет значение») . издательства Crown House Publishing Ltd. ISBN  978-1-78583-421-9 .
  5. ^ Кхаре, Апурва; Лаховская, Анна (2015). Красиво, просто, точно, безумно: математика в реальном мире . Издательство Йельского университета. п. 3. ISBN  978-0-300-19089-2 . Иногда его называют методом «FOIL» — по сути, это просто дважды применяемый закон распределения .
  6. ^ Киркланд, Карла С.; Кливленд, Чан (29 января 2020 г.). Praxis Core для чайников с практическими онлайн-тестами . Джон Уайли и сыновья. п. 78. ИСБН  978-1-119-62047-1 . ...обратный FOIL может привести вас в противоположном направлении от одного выражения к двухчленным выражениям, умноженным друг на друга. Это форма факторинга.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Стидж, Рэй; Бейли, Керри (1997). Очерк теории и проблем промежуточной алгебры Шаума . Серия набросков Шаума. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-060839-9 .