Элементарная математика

Коллекция геометрических фигур . Все фигуры данного цвета похожи друг на друга. Формы и основы геометрии — важные темы элементарной математики.

Элементарная математика , также известная как начальной или средней школы математика , представляет собой изучение математических тем, которые обычно преподаются на уровне начальной или средней школы по всему миру. Он включает в себя широкий спектр математических понятий и навыков, включая чувство чисел, алгебру, геометрию, измерения и анализ данных. Эти концепции и навыки составляют основу для более углубленного математического изучения и необходимы для успеха во многих областях и повседневной жизни. Изучение элементарной математики является важной частью образования учащегося и закладывает основу для будущих успехов в учебе и карьере.

Направления элементарной математики [ править ]

Смысл числа и нумерация [ править ]

Number Sense – это понимание чисел и операций. В рамках направления «Чувство числа и нумерация» учащиеся развивают понимание чисел, изучая различные способы представления чисел, а также взаимосвязи между числами. ^[2]

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в основной теории чисел , еще одной части элементарной математики.

Элементарный фокус:

Пространственное чувство [ править ]

«Навыки и концепции измерения» или «Пространственное чувство» напрямую связаны с миром, в котором живут учащиеся. Многие концепции, которым обучают студентов в этом направлении, также используются в других предметах, таких как естествознание, обществознание и физическое воспитание. ^[3] В рамках измерения учащиеся узнают об измеримых атрибутах объектов в дополнение к базовой метрической системе.

Элементарный фокус:

Стандартные и нестандартные единицы измерения
определение времени в 12-часовом и 24-часовом формате
сравнение объектов с использованием измеримых атрибутов
измерение высоты , длины, ширины
сантиметры и метры
масса и мощность
изменение температуры
дни , месяцы , недели , годы
расстояния в километрах
измерение килограммов и литров
определение площади и периметра
определение граммов и миллилитров
определение измерений с использованием таких форм , как треугольная призма

Направление измерения состоит из нескольких форм измерения, как утверждает Мэриан Смолл: «Измерение - это процесс присвоения качественного или количественного описания размера объекту на основе определенного атрибута». ^[4]

Уравнения и формулы [ править ]

Формула — это сущность, построенная с использованием символов и правил образования данного логического языка . ^[5] Например, определение объема сферы ; требует значительного объема интегрального исчисления или его геометрического аналога — исчерпывания метода ^[6] но, проделав это однажды через какой-то параметр ( например, радиус ), математики вывели формулу, описывающую объем.

Уравнение — это формула вида A = B , где A и B — выражения , которые могут содержать одну или несколько переменных, называемых неизвестными , а «=" обозначает равенства бинарное отношение . записано в форме предложения Хотя уравнение , оно не является утверждением , которое является либо истинным, либо ложным, а представляет собой задачу, состоящую из нахождения значений, называемых решениями , которые при замене неизвестных дают равные значения выражений A и B. . Например, 2 — единственное + 2 = решение уравнения x 4, в котором неизвестным является x . ^[7]

Данные [ править ]

Данные набор значений ; качественных — или количественных переменных это Повторюсь, фрагменты данных представляют собой отдельные фрагменты информации . Данные в ( или обработке данных ) представлены в виде структуры , которая часто имеет табличную форму (представленную строками и столбцами ), дерево ( набор узлов вычислениях с родитель - потомок отношениями ) или граф (набор связанных узлов). Данные обычно являются результатом измерений и могут быть визуализированы с помощью графиков или изображений .

Данные как абстрактное понятие можно рассматривать как самый низкий уровень абстракции , из которого информация , а затем и знания извлекается .

Базовая двумерная геометрия [ править ]

Двумерная геометрия — это раздел математики, изучающий вопросы формы, размера и относительного положения двумерных фигур. Основные темы элементарной математики включают многоугольники, круги, периметр и площади.

Многоугольник — это фигура, ограниченная конечной цепочкой отрезков прямых , замыкающихся в петлю и образующих замкнутую цепь или контур . Эти сегменты называются его ребрами или сторонами многоугольника , а точки, где встречаются два ребра, являются вершинами (единственное число: вершина) или углами . Внутреннюю часть многоугольника иногда называют его телом . n – -угольник это многоугольник с n сторонами. Многоугольник — это двумерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений.

Круг — это простая форма двумерной геометрии , представляющая собой набор всех точек плоскости , находящихся на заданном расстоянии от заданной точки, центра . Расстояние между любой из точек и центром называется радиусом . Его также можно определить как геометрическое место точки, равноудаленной от фиксированной точки.

Периметр — это путь, окружающий двумерную фигуру . Этот термин можно использовать как для пути, так и для его длины — его можно рассматривать как длину контура фигуры. Периметр круга или эллипса называется его окружностью .

Площадь — это величина , выражающая протяженность двумерной фигуры или формы . Существует несколько известных формул площадей простых фигур, таких как треугольники , прямоугольники и круги .

Пропорции [ править ]

Две величины пропорциональны, если изменение одной всегда сопровождается изменением другой и если изменения всегда связаны постоянным множителем. Константу называют коэффициентом пропорциональности или константой пропорциональности .

Если одна величина всегда является произведением другой и является константой, то говорят, что они прямо пропорциональны . x и y прямо пропорциональны, если соотношение ${\tfrac {y}{x}}$ является постоянным.
Если произведение двух величин всегда равно константе, то говорят, что они обратно пропорциональны . x и y обратно пропорциональны, если произведение $xy$ является постоянным.

Аналитическая геометрия [ править ]

Аналитическая геометрия — это изучение геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .

Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями плоскостей , часто в двух , , прямых линий и квадратов а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость (2 измерения) и евклидово пространство (3 измерения). Как учат в школьных учебниках, аналитическую геометрию можно объяснить проще: она связана с определением и представлением геометрических фигур в числовом виде, а также с извлечением числовой информации из числовых определений и представлений фигур.

Преобразования — это способы сдвига и масштабирования функций с использованием различных алгебраических формул.

Отрицательные числа [ править ]

Отрицательное число – это действительное число , меньшее нуля . Такие числа часто используются для обозначения суммы потери или отсутствия. Например, задолженность можно рассматривать как отрицательный актив, а уменьшение некоторого количества можно рассматривать как отрицательное увеличение. Отрицательные числа используются для описания значений по шкале ниже нуля, например, шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры.

и Экспоненты радикалы

Возведение в степень — это математическая операция , записываемая как b ^н, включающий два числа: основание b и показатель степени (или степень ) n . Когда n — натуральное число (т. е. положительное целое число ), возведение в степень соответствует повторному умножению основания: то есть b ^н является продуктом умножения n оснований:

b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}

Корни противоположны показателям. Корень n-й степени из числа x (записывается ${\sqrt[{n}]{x}}$ ) — это число r , которое при возведении в степень n дает x . То есть,

{\sqrt[{n}]{x}}=r\iff r^{n}=x,

где n — степень корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров, например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д.

Например:

2 является квадратным корнем из 4, так как 2 ² = 4.
−2 также является квадратным корнем из 4, поскольку (−2) ² = 4.

Циркуль и линейка [ править ]

Циркуль и линейка, также известный как конструкция линейки и циркуля, представляет собой построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и циркуля .

Предполагается, что идеализированная линейка, известная как линейка , имеет бесконечную длину, не имеет никаких отметок и имеет только один край. Предполагается, что компас сворачивается при поднятии со страницы, поэтому его нельзя использовать напрямую для определения расстояний. (Это неважное ограничение, поскольку при использовании многошаговой процедуры расстояние можно перенести даже при разваливающемся циркуле, см. теорему об эквивалентности циркуля ) Более формально, единственно допустимыми конструкциями являются те, которые допускаются первыми тремя постулатами Евклида . .

Сходство и сходство [ править ]

Две фигуры или объекты считаются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер или если одна из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отображение другой. ^[8] Более формально, два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один может быть преобразован в другой посредством изометрии , то есть комбинации жестких движений , а именно перемещения , вращения и отражения . Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять его размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги будут конгруэнтны, если мы сможем их вырезать, а затем полностью совместить. Переворачивание бумаги разрешено.

Два геометрических объекта называются подобными, если они оба имеют одинаковую форму или один имеет ту же форму, что и зеркальное отображение другого. Точнее, одно можно получить из другого путем равномерного масштабирования (увеличения или сжатия), возможно, с дополнительным перемещением , вращением и отражением . Это означает, что любой объект можно масштабировать, перемещать и отражать так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Если два объекта похожи, каждый из них соответствует результату равномерного масштабирования другого.

Трехмерная геометрия [ править ]

Твердотельная геометрия была традиционным названием геометрии трехмерного евклидова пространства . Стереометрия занимается измерением объемов пирамиды различных твердых фигур ( трехмерных фигур), включая , цилиндры , конусы , усеченные конусы , сферы и призмы .

Рациональные числа [ править ]

Рациональное число — это любое число , которое можно выразить как частное или дробь p / q двух целых чисел со знаменателем q , не равным нулю. ^[9] Поскольку q может быть равно 1, каждое целое число является рациональным. Множество . всех рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q (или жирным шрифтом на доске) $\mathbb {Q}$ ).

Паттерны, отношения и функции [ править ]

Паттерн – это различимая закономерность в мире или в рукотворном замысле. Таким образом, элементы узора повторяются предсказуемым образом. Геометрический узор — это своего рода узор, состоящий из геометрических фигур и обычно повторяющийся, как бумага .

Отношение множестве на A A. совокупность упорядоченных пар элементов это — Другими словами, это подмножество декартова произведения A ² знак равно А × А . Общие отношения включают делимость двух чисел и неравенства.

Функция ^[10] Это отношение между набором входов и набором допустимых выходов, при котором каждый вход связан ровно с одним выходом. Примером может служить функция, которая связывает каждое действительное число x с его квадратом x. ². Выход функции f, соответствующий входу x, обозначается f ( x ) (читай « f of x »). В этом примере, если входное значение равно -3, то выходное значение равно 9, и мы можем написать f (-3) = 9. Входные переменные иногда называют аргументами функции.

Наклоны и тригонометрия [ править ]

Наклон линии — это число, которое описывает как направление , так и крутизну линии. ^[11] Уклон часто обозначается буквой м . ^[12]

Тригонометрия — раздел математики изучающий взаимосвязи между длинами и углами треугольников , . Эта область возникла в III веке до нашей эры в результате применения геометрии в астрономических исследованиях. ^[13]

США [ править ]

В Соединенных Штатах существует серьезная обеспокоенность по поводу низкого уровня навыков элементарной математики у многих студентов по сравнению со студентами в других развитых странах. ^[14] Программа «Ни один ребенок не останется без внимания» была одной из попыток устранить этот недостаток, требуя, чтобы все американские учащиеся прошли тестирование по элементарной математике. ^[15]

Ссылки [ править ]

^ Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Академическая пресса . п. 138. ИСБН 0-12-238440-7 . : «...выберите два набора K и L с карточкой K = 2 и карточкой L = 3. Наборы пальцев удобны; в учебниках предпочтительны наборы яблок».
^ Учебная программа Онтарио для 1–8 классов, математика . Торонто, Онтарио: Министерство образования Онтарио. 2005. с. 8. ISBN 0-7794-8121-6 .
^ Учебная программа Онтарио по математике для 1-8 классов . Торонто, Онтарио: Министерство образования Онтарио. 2005. с. 8. ISBN 0779481216 .
^ Смолл, Мэриан (2017). Делаем математику значимой для канадских студентов, K-8, 3-е издание . Торонто: Нельсон Эдьюкейшн. п. 465. ИСБН 978-0-17-658255-5 .
^ Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6
^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8 .
^ «Уравнение» . Словарь.com . Словарь.com, ООО . Проверено 24 ноября 2009 г.
^ Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные фигуры» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г.
^ Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3 .
^ Слова карта или отображение , преобразование , соответствие и оператор часто используются как синонимы. Халмош 1970 , с. 30.
^ Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, градиент» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 348. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Склон» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ Р. Нагель (редактор), Научная энциклопедия , 2-е изд., The Gale Group (2002)
^ Липин Ма, Знание и преподавание элементарной математики: понимание учителями фундаментальной математики в Китае и США (Исследования в области математического мышления и обучения) , Лоуренс Эрлбаум, 1999, ISBN 978-0-8058-2909-9 .
^ Фредерик М. Хесс и Майкл Дж. Петрилли, Ни один ребенок не оставлен позади , издательство Peter Lang Publishing, 2006, ISBN 978-0-8204-7844-9 .

Цитируемые работы [ править ]

Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-90092-6 .

[1] Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Академическая пресса . п. 138. ИСБН 0-12-238440-7 . : «...выберите два набора K и L с карточкой K = 2 и карточкой L = 3. Наборы пальцев удобны; в учебниках предпочтительны наборы яблок».

[2] Учебная программа Онтарио для 1–8 классов, математика . Торонто, Онтарио: Министерство образования Онтарио. 2005. с. 8. ISBN 0-7794-8121-6 .

[3] Учебная программа Онтарио по математике для 1-8 классов . Торонто, Онтарио: Министерство образования Онтарио. 2005. с. 8. ISBN 0779481216 .

[4] Смолл, Мэриан (2017). Делаем математику значимой для канадских студентов, K-8, 3-е издание . Торонто: Нельсон Эдьюкейшн. п. 465. ИСБН 978-0-17-658255-5 .

[5] Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6

[6] Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8 .

[7] «Уравнение» . Словарь.com . Словарь.com, ООО . Проверено 24 ноября 2009 г.

[8] Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные фигуры» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г.

[Rosen-9] Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3 .

[10] Слова карта или отображение , преобразование , соответствие и оператор часто используются как синонимы. Халмош 1970 , с. 30.

[11] Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, градиент» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 348. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г.

[12] Вайсштейн, Эрик В. «Склон» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[13] Р. Нагель (редактор), Научная энциклопедия , 2-е изд., The Gale Group (2002)

[14] Липин Ма, Знание и преподавание элементарной математики: понимание учителями фундаментальной математики в Китае и США (Исследования в области математического мышления и обучения) , Лоуренс Эрлбаум, 1999, ISBN 978-0-8058-2909-9 .

[15] Фредерик М. Хесс и Майкл Дж. Петрилли, Ни один ребенок не оставлен позади , издательство Peter Lang Publishing, 2006, ISBN 978-0-8204-7844-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]