Выражение (математика)

В математике выражение в соответствии с правилами , или математическое выражение — это конечная комбинация символов , которая правильно сформирована зависящими от контекста. Математические символы могут обозначать числа ( константы ), переменные , операции , функции , скобки , знаки препинания и группировки, помогающие определить порядок операций и другие аспекты логического синтаксиса .

Многие авторы отличают выражение от формулы : первое обозначает математический объект , а второе — утверждение о математических объектах. Например, $8x-5$ является выражением, тогда как $8x-5\geq 5x-8$это формула. Однако в современной математике, и в частности в компьютерной алгебре , формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как истинные или ложные , в зависимости от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражениях. Например $8x-5\geq 5x-8$ принимает значение false , если x присвоено значение меньше –1, и значение true в противном случае.

Примеры

Использование выражений варьируется от простого:

$3+8$

$8x-5$ ( линейный полином )

$7{{x}^{2}}+4x-10$ ( квадратичный полином )

${\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}$ ( рациональная дробь )

в комплекс:

$f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

Переменные и оценка

Многие математические выражения включают переменные . Любую переменную можно классифицировать как свободную или связанную переменную .

Для заданной комбинации значений свободных переменных выражение может быть вычислено, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным. Таким образом, выражение представляет собой функцию , входные данные которой являются значениями, присвоенными свободным переменным, а выходные данные — результирующее значение выражения.

Например, если выражение $x/y$оценивается с помощью x = 10, y = 5 и оценивается как 2; это обозначается

$\left.{\frac {x}{y}}\right|_{x=10,\,y=5}=2.$

Оценка не определена для y = 0.

Два выражения называются эквивалентными, если для каждой комбинации значений свободных переменных они имеют одинаковый результат, т. е. представляют одну и ту же функцию.

Например, в выражении

$\sum _{n=1}^{3}(2nx),$

переменная n равна связана, а переменная x свободна. Это выражение эквивалентно более простому выражению 12 x . Значение для x = 3 равно 36, что можно обозначить

$\sum _{n=1}^{3}(2nx){\Biggr |}_{x=3}=36.$

Синтаксис против семантики

Синтаксис

Основная статья: Синтаксис (логика)

Выражение – это синтаксическая конструкция. Он должен быть правильно сформирован : разрешенные операторы должны иметь правильное количество входных данных в правильных местах, символы, составляющие эти входные данные, должны быть допустимыми, иметь четкий порядок операций и т. д. Строки символов, нарушающие правила синтаксис неправильно сформирован и не является допустимым математическим выражением.

Например, в обычных обозначениях арифметики : выражение 1 + 2×3 является корректным, а следующее выражение — нет

$\times 4)x+,/y$.

Семантика

Основные статьи: Семантика и Формальная семантика (логика)

Семантика – это изучение значения. Формальная семантика – это придание значения выражениям.

В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики, придаваемой символам выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9), в зависимости от порядка операций , подразумеваемого контекстом (См. также Операции § Калькуляторы ).

Семантические правила могут заявлять, что определенные выражения не обозначают никакого значения (например, когда они включают деление на 0); Говорят, что такие выражения имеют неопределенное значение, но, тем не менее, они являются правильно сформированными выражениями. В целом значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое необходимо решить, или его можно рассматривать как отдельный объект, которым можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Определенные выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое предположительно выполняется, например выражения, включающие оператор $\oplus$ для обозначения внутренней прямой суммы .

Формальные языки и лямбда-исчисление

Основные статьи: Формальный язык и лямбда-исчисление

Формальные языки позволяют формализовать концепцию правильно сформированных выражений.

новый тип выражений, названный лямбда-выражениями ввели В 1930-х годах Алонзо Чёрч и Стивен Клини , для формализации функций и их оценки. Они составляют основу лямбда-исчисления — формальной системы , используемой в математической логике и теории языков программирования .

Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима . Это также относится к выражениям, представляющим действительные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты ( теорема Ричардсона ).

См. также

• Алгебраическое замыкание
• Алгебраическое выражение
• Аналитическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Комбинатор
• Выражение компьютерной алгебры
• Определенный и неопределенный
• Уравнение
• Выражение (программирование)
• Формальная грамматика
• Формула
• Функциональное программирование
• Логическое выражение
• Термин (логика)
• Точно определенное выражение
• Числовое предложение

Ссылки

• Редден, Джон (2011). «Элементарная алгебра» . Знание плоского мира . Архивировано из оригинала 15 ноября 2014 г. Проверено 18 марта 2012 г.