Парадокс Кантора

В множеств теории парадокс Кантора утверждает, что не существует множества всех мощностей . Это вытекает из теоремы о том, что не существует наибольшего кардинального числа . Говоря неформально, парадокс заключается в том, что совокупность всех возможных «бесконечных размеров» не только бесконечна, но и настолько бесконечно велика, что ее собственный бесконечный размер не может быть ни одним из бесконечных размеров в коллекции. Эта трудность решается в аксиоматической теории множеств, объявляя, что эта совокупность является не множеством, а собственным классом ; в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя следует из этого и аксиомы ограничения размера , что этот собственный класс должен находиться в взаимно однозначном соответствии с классом всех множеств. Таким образом, не только существует бесконечно много бесконечностей, но эта бесконечность больше любой из бесконечностей, которые она перечисляет.

Этот парадокс назван в честь Георга Кантора , которому часто приписывают первое определение его в 1899 году (или между 1895 и 1897 годами). Как и ряд «парадоксов», он на самом деле не противоречив, а лишь указывает на ошибочную интуицию, в данном случае относительно природы бесконечности и понятия множества. Иными словами, это парадоксально в рамках наивной теории множеств и, следовательно, демонстрирует, что небрежная аксиоматизация этой теории непоследовательна.

Заявления и доказательства

Чтобы сформулировать парадокс, необходимо понимать, что кардинальные числа полностью упорядочены , так что можно говорить о том, что одно из них больше или меньше другого. Тогда парадокс Кантора таков:

Теорема: Наибольшего кардинального числа не существует.

Этот факт является прямым следствием теоремы Кантора о мощности степенного множества множества.

Доказательство. Предположим противное и пусть C — наибольшее кардинальное число. Тогда (в фон Неймана формулировке мощности ) C является множеством и, следовательно, имеет набор степеней 2 ^С который по теореме Кантора имеет мощность строго большую, чем C . Демонстрируя мощность (а именно мощность 2 ^С ) больше, чем C , которое считалось наибольшим кардинальным числом, фальсифицирует определение C. Это противоречие устанавливает, что такое кардинальное число не может существовать.

Другое следствие теоремы Кантора состоит в том, что кардинальные числа составляют собственный класс . То есть их нельзя собрать все вместе как элементы единого множества. Вот несколько более общий результат.

Теорема: Если S — любое множество, то S не может содержать элементы всех мощностей. Фактически, существует строгая верхняя граница мощностей элементов S .

Доказательство: Пусть S — множество, и пусть T — объединение S. элементов Тогда каждый элемент S является подмножеством T и, следовательно, имеет мощность, меньшую или равную мощности T . Тогда из теоремы Кантора следует, что мощность каждого элемента S строго меньше мощности 2 ^Т .

Обсуждение и последствия

Поскольку кардинальные числа хорошо упорядочены путем индексации с порядковыми числами (см. Кардинальное число, формальное определение ), это также устанавливает, что не существует наибольшего порядкового числа; и наоборот, последнее утверждение подразумевает парадокс Кантора. Применяя эту индексацию к парадоксу Бурали-Форти, мы получаем еще одно доказательство того, что кардинальные числа представляют собой собственный класс, а не множество, и (по крайней мере, в ZFC или в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя ) из этого следует, что существует является биекцией между классом кардиналов и классом всех множеств. Поскольку каждое множество является подмножеством этого последнего класса, а каждая мощность является мощностью множества (по определению!), это интуитивно означает, что «мощность» набора кардиналов больше, чем мощность любого множества: она больше бесконечен, чем любая истинная бесконечность. В этом парадоксальность «парадокса» Кантора.

Исторические заметки

Хотя Кантору обычно приписывают первое определение этого свойства кардинальных множеств, некоторые математики присуждают это отличие Бертрану Расселу , который сформулировал аналогичную теорему в 1899 или 1901 году.

Ссылки

• Анеллис, И.Х. (1991). Друкер, Томас (ред.). «Первый парадокс Рассела», Перспективы истории математической логики . Кембридж, Массачусетс: Birkäuser Boston. стр. 33–46.
• Мур, GH; Гарсиадиего, А. (1981). «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его истоков» . История математики . 8 (3): 319–350. дои : 10.1016/0315-0860(81)90070-7 .

Внешние ссылки

• Исторический отчет о теоретико-множественных антиномиях, вызванных аксиомой абстракции : отчет Джастина Т. Миллера, факультет математики, Университет Аризоны.
• PlanetMath.org : статья.