Аморфный набор
В теории множеств — аморфное множество это бесконечное множество , которое не является непересекающимся объединением двух бесконечных подмножеств . [1]
Существование [ править ]
Аморфные множества не могут существовать, если аксиома выбора принята . Френкель построил модель перестановок Цермело-Френкеля с атомами , в которой набор атомов представляет собой аморфный набор. [2] доказательства согласованности аморфных множеств с Цермело – Френкелем . После первоначальной работы Коэна по форсингу в 1963 году были получены [3]
Дополнительные свойства [ править ]
Каждое аморфное множество является дедекиндовым , что означает, что оно не имеет биекции к собственному подмножеству. Чтобы увидеть это, предположим, что это набор, который имеет биекцию в нужное подмножество. Для каждого натурального числа определять быть набором элементов, принадлежащих изображению -сложенная композиция f сама с собой , но не с образом -складная композиция.Затем каждый непусто, поэтому объединение множеств с четными индексами было бы бесконечным множеством, дополнение которого в также бесконечно, показывая, что не может быть аморфным. Однако обратное не обязательно верно: существование бесконечных дедекиндово-конечных множеств, которые не являются аморфными, является непротиворечивым. [4]
Никакое аморфное множество не может быть линейно упорядочено . [5] [6] Поскольку образ аморфного множества сам по себе либо аморфен, либо конечен, отсюда следует, что каждая функция из аморфного множества в линейно упорядоченное множество имеет только конечный образ.
Коконитный фильтр на аморфном множестве является ультрафильтром . Это связано с тем, что дополнение каждого бесконечного подмножества не должно быть бесконечным, поэтому каждое подмножество либо конечно, либо коконечно.
Вариации [ править ]
Если является разбиением аморфного множества на конечные подмножества, то должно существовать ровно одно целое число такой, что имеет бесконечно много подмножеств размера ; ибо, если каждый размер использовался конечное число раз или если более одного размера использовалось бесконечно много раз, эту информацию можно было бы использовать для укрупнения раздела и разделения на два бесконечных подмножества. Если аморфное множество обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что для каждого раздела , , то он называется строго аморфным или сильно аморфным , и если существует конечная верхняя граница тогда множество называется ограниченным аморфным . С ZF согласуется то, что аморфные множества существуют и все ограничены, или что они существуют и все неограничены. [1]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Трасс, Дж. К. (1995), «Структура аморфных множеств», Annals of Pure and Applied Logic , 73 (2): 191–233, doi : 10.1016/0168-0072(94)00024-W , MR 1332569 .
- ^ Джек, Томас Дж. (2008), Аксиома выбора , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0486318257 , OCLC 761390829
- ^ Плоткин, Джейкоб Мануэль (ноябрь 1969 г.), «Общие вложения» , Журнал символической логики , 34 (3): 388–394, doi : 10.2307/2270904 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2270904 , MR 0252211 , S2CID 25034 7797
- ^ Леви, А. (1958), «Независимость различных определений конечности» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 46 : 1–13, doi : 10.4064/fm-46-1-1-13 , MR 0098671 .
- ^ Трасс, Джон (1974), «Классы конечных кардиналов Дедекинда» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 84 (3): 187–208, doi : 10.4064/fm-84-3-187-208 , MR 0469760 .
- ^ де ла Крус, Омар; Джафаров Дамир Д.; Холл, Эрик Дж. (2006), «Определения конечности на основе свойств порядка» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 189 (2): 155–172, doi : 10.4064/fm189-2-5 , MR 2214576 . В частности, это сочетание последствий которые де ла Круз и др. следует отдать должное Леви (1958) и Трассу (1974) соответственно .
