Список установленных личностей и отношений

В этой статье перечислены математические свойства и законы множеств , включая теоретико-множественные пересечения и дополнения операции объединения, , а также отношения равенства и множеств включения множеств . Он также предоставляет систематические процедуры для оценки выражений и выполнения вычислений, включающих эти операции и отношения.

Бинарные операции объединения множеств ( $\cup$) и пересечение ( $\cap$) удовлетворяют многим тождествам. Некоторые из этих личностей или «законов» имеют хорошо известные названия.

Обозначения

В этой статье заглавные буквы (например, $A,B,C,L,M,R,S,$ и $X$) будет обозначать множества. Обычно в левой части личности

• $L$ будет самый левый   набор,
• $M$ будет средний набор, а
• $R$ будет самый правый набор.

Это сделано для того, чтобы облегчить применение идентичности к выражениям, которые являются сложными или используют те же символы, что и идентичность. Например, личность

$$(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~=~(L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)$$

можно прочитать как:

$$({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Middle set}})\,\setminus \,{\text{Right set}}~=~({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Right set}})\,\setminus \,({\text{Middle set}}\,\setminus \,{\text{Right set}}).$$

Элементарные операции над множествами

Для наборов $L$ и $R,$ определять:

$${\begin{alignedat}{4}L\cup R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ or }}\;\,&&\;x\in R~\}\\L\cap R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\in R~\}\\L\setminus R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\notin R~\}\\\end{alignedat}}$$

и

$$L\triangle R~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x{\text{ belongs to exactly one of }}L{\text{ and }}R~\}$$

где симметричная разность $L\triangle R$ иногда обозначается $L\ominus R$ и равно:

$${\begin{alignedat}{4}L\;\triangle \;R~&=~(L~\setminus ~&&R)~\cup ~&&(R~\setminus ~&&L)\\~&=~(L~\cup ~&&R)~\setminus ~&&(L~\cap ~&&R).\end{alignedat}}$$

Один комплект $L$ говорят, что оно пересекает другое множество $R$ если $L\cap R\neq \varnothing .$ Множества, которые не пересекаются, называются непересекающимися .

Силовой набор ​ $X$ представляет собой совокупность всех подмножеств $X$ и будет обозначаться

$$\wp (X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~L~:~L\subseteq X~\}.$$

Обозначение набора и дополнения вселенной

Обозначения

$$L^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus L.$$

можно использовать, если $L$ является подмножеством некоторого множества $X$ это понятно (скажем, из контекста или потому, что ясно указано, что такое надмножество $X$ является). Подчеркивается, что определение $L^{\complement }$ зависит от контекста. Например, имел $L$ был объявлен подмножеством $Y,$ с наборами $Y$ и $X$ не обязательно связаны друг с другом каким-либо образом, тогда $L^{\complement }$ вероятно, будет означать $Y\setminus L$ вместо $X\setminus L.$

Если это необходимо, то, если не указано иное, следует исходить из того, что $X$ обозначает набор юниверсов , что означает, что все множества, используемые в формуле, являются подмножествами $X.$ В частности, дополнение множества $L$ будет обозначаться $L^{\complement }$ где, если не указано иное, следует предположить, что $L^{\complement }$ обозначает дополнение $L$ во (вселенной) $X.$

Задействовано одно подмножество

Предполагать $L\subseteq X.$

Личность :

Определение : $e$ называется левым единичным элементом бинарного оператора $\,\ast \,$ если $e\,\ast \,R=R$ для всех $R$ и он называется правым единичным элементом $\,\ast \,$ если $L\,\ast \,e=L$ для всех $L.$ Левый идентификационный элемент, который также является правым идентификационным элементом, если его называют идентификационным элементом .

Пустой набор $\varnothing$ является единичным элементом бинарного объединения $\cup$ и симметричная разность $\triangle ,$ и это также правый элемент вычитания множества $\,\setminus :$

$${\begin{alignedat}{10}L\cap X&\;=\;&&L&\;=\;&X\cap L~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\cup \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \cup L\\[1.4ex]L\,\triangle \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \,\triangle L\\[1.4ex]L\setminus \varnothing &\;=\;&&L\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

но $\varnothing$ не является левым элементом идентичности $\,\setminus \,$ с

$$\varnothing \setminus L=\varnothing$$

так ${\textstyle \varnothing \setminus L=L}$ тогда и только тогда, когда $L=\varnothing .$

Идемпотентность $L\ast L=L$ и нильпотенция $L\ast L=\varnothing$:

$${\begin{alignedat}{10}L\cup L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\cap L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\,\triangle \,L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]L\setminus L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Доминирование / Поглощающий элемент :

Определение : $z$ называется левым поглощающим элементом бинарного оператора $\,\ast \,$ если $z\,\ast \,R=z$ для всех $R$ и называется правопоглощающим элементом $\,\ast \,$ если $L\,\ast \,z=z$ для всех $L.$ Левый поглощающий элемент, который также является правым поглощающим элементом, если его называют поглощающим элементом . Поглощающие элементы также иногда называют аннигиляционными элементами или нулевыми элементами .

Множество юниверсов — это поглощающий элемент бинарного объединения. $\cup .$ Пустой набор $\varnothing$ является поглощающим элементом бинарного пересечения $\cup$ и бинарное декартово произведение $\times ,$ и это также левый поглощающий элемент вычитания множеств $\,\setminus :$

$${\begin{alignedat}{10}X\cup L&\;=\;&&X&\;=\;&L\cup X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]\varnothing \cap L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\cap \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \times L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\times \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \setminus L&\;=\;&&\varnothing &\;\;&\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

но $\varnothing$ не является правопоглощающим элементом вычитания множеств, поскольку

$$L\setminus \varnothing =L$$

где ${\textstyle L\setminus \varnothing =\varnothing }$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle L=\varnothing .}$

двойного дополнения или инволюции Закон :

$${\begin{alignedat}{10}X\setminus (X\setminus L)&=L&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\left(L^{\complement }\right)^{\complement }=L&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\quad {\text{ (Double complement/Involution law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$$L\setminus \varnothing =L$$

$${\begin{alignedat}{4}\varnothing &=L&&\setminus L\\&=\varnothing &&\setminus L\\&=L&&\setminus X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\\end{alignedat}}$$

$$L^{\complement }=X\setminus L\quad {\text{ (definition of notation)}}$$

$${\begin{alignedat}{10}L\,\cup (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cup L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\triangle (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\,\triangle L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\cap (X\setminus L)&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cap L^{\complement }=\varnothing &&\quad &&\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{10}X\setminus \varnothing &=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\varnothing ^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ (Complement laws for the empty set))}}\\[1.4ex]X\setminus X&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&X^{\complement }=\varnothing &&\quad &&{\text{ (Complement laws for the universe set)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Участвуют два сета

В левых частях следующих тождеств: $L$ является самым левым набором и $R$ это самый правый набор. Предположим, что оба $L{\text{ and }}R$ являются подмножествами некоторого набора юниверсов $X.$

Формулы для операций с двоичными множествами ⋂, ⋃, \ и ∆

В левых частях следующих тождеств: $L$ является самым левым набором и $R$ это самый правый набор. При необходимости оба $L{\text{ and }}R$ следует считать подмножествами некоторого множества юниверсов $X,$ так что $L^{\complement }:=X\setminus L{\text{ and }}R^{\complement }:=X\setminus R.$

$${\begin{alignedat}{9}L\cap R&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\&=R&&\,\,\setminus \,&&(R&&\,\,\setminus &&L)\\&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{9}L\cup R&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\,\cup &&&&L&&&&\\&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\triangle \,&&(&&L&&\cap \,&&R)\\&=(&&R\,\setminus \,L)&&\,\,\cup &&&&L&&&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{9}L\,\triangle \,R&=&&R\,\triangle \,L&&&&&&&&\\&=(&&L\,\cup \,R)&&\,\setminus \,&&(&&L\,\,\cap \,R)&&\\&=(&&L\,\setminus \,R)&&\cup \,&&(&&R\,\,\setminus \,L)&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\&=(&&L\,\triangle \,M)&&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&~~~~~{\text{ where }}M{\text{ is an arbitrary set. }}\\&=(&&L^{\complement })&&\,\triangle \,&&(&&R^{\complement })&&\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{9}L\setminus R&=&&L&&\,\,\setminus &&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&L&&\,\,\cap &&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=&&L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&R&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cup &&R)\\\end{alignedat}}$$

Законы де Моргана

Законы де Моргана гласят, что для $L,R\subseteq X:$

$${\begin{alignedat}{10}X\setminus (L\cap R)&=(X\setminus L)\cup (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\cap R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]X\setminus (L\cup R)&=(X\setminus L)\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\cup R)^{\complement }=L^{\complement }\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Коммутативность

Объединения, пересечение и симметричная разность являются коммутативными операциями :

$${\begin{alignedat}{10}L\cup R&\;=\;&&R\cup L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\cap R&\;=\;&&R\cap L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\,\triangle R&\;=\;&&R\,\triangle L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Вычитание множеств не является коммутативным. Однако коммутативность вычитания множеств можно охарактеризовать: из $(L\,\setminus \,R)\cap (R\,\setminus \,L)=\varnothing$ отсюда следует, что:

$$L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L\quad {\text{ if and only if }}\quad L=R.$$

Другими словами, если бы отдельные символы всегда представляли разные множества, то единственные истинные формулы вида $\,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,=\,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,$ можно было бы записать те, которые содержат один символ; то есть те, которые имеют форму: $S\,\setminus \,S=S\,\setminus \,S.$ Но такие формулы обязательно верны для каждой бинарной операции. $\,\ast \,$ (потому что $x\,\ast \,x=x\,\ast \,x$ должно выполняться по определению равенства ), и поэтому в этом смысле вычитание множеств диаметрально противоположно коммутативности, насколько это возможно для бинарной операции. Вычитание множеств также не является ни левой альтернативой , ни правой альтернативой ; вместо, $(L\setminus L)\setminus R=L\setminus (L\setminus R)$ тогда и только тогда, когда $L\cap R=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $(R\setminus L)\setminus L=R\setminus (L\setminus L).$ Вычитание множеств квазикоммутативно и удовлетворяет тождеству Жордана .

Другие личности,

Законы поглощения :

$${\begin{alignedat}{4}L\cup (L\cap R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]L\cap (L\cup R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Другие объекты недвижимости

$${\begin{alignedat}{10}L\setminus R&=L\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=L\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]X\setminus (L\setminus R)&=(X\setminus L)\cup R&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\setminus R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R&&\quad &&{\text{ where }}R\subseteq X\\[1.4ex]L\setminus R&=(X\setminus R)\setminus (X\setminus L)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=R^{\complement }\setminus L^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Интервалы :

$$(a,b)\cap (c,d)=(\max\{a,c\},\min\{b,d\})$$

$$[a,b)\cap [c,d)=[\max\{a,c\},\min\{b,d\})$$

Подмножества ⊆ и надмножества ⊇

Следующие утверждения эквивалентны для любого $L,R\subseteq X:$

1. $L\subseteq R$
   • Определение подмножества : если $l\in L$ затем $l\in R$
3. $L\cap R=L$
4. $L\cup R=R$
5. $L\,\triangle \,R=R\setminus L$
6. $L\,\triangle \,R\subseteq R\setminus L$
7. $L\setminus R=\varnothing$
8. $L$ и $X\setminus R$ не пересекаются (т. $L\cap (X\setminus R)=\varnothing$)
9. $X\setminus R\subseteq X\setminus L\qquad$ (то есть, $R^{\complement }\subseteq L^{\complement }$)

Следующие утверждения эквивалентны для любого $L,R\subseteq X:$

1. $L\not \subseteq R$
2. Существует некоторый $l\in L\setminus R.$

Установить равенство

См. также: Экстенсиональность

Следующие утверждения эквивалентны:

1. $L=R$
2. $L\,\triangle \,R=\varnothing$
3. $L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L$

• Если $L\cap R=\varnothing$ затем $L=R$ тогда и только тогда, когда $L=\varnothing =R.$
• Уникальность дополнений : если ${\textstyle L\cup R=X{\text{ and }}L\cap R=\varnothing }$ затем $R=X\setminus L$

Пустой набор

Набор $L$ пусто , если предложение $\forall x(x\not \in L)$ верно, где обозначение $x\not \in L$ это сокращение от $\lnot (x\in L).$

Если $L$ любое множество, то следующие условия эквивалентны:

1. $L$ не пусто, а это означает, что предложение $\lnot [\forall x(x\not \in L)]$ истинно (буквально — логическое отрицание « $L$ пусто» верно).
2. (В классической математике ) $L$ обитаем , что означает: $\exists x(x\in L)$
   • В конструктивной математике слова «непустой» и «обитаемый» не эквивалентны: каждое обитаемое множество не пусто, но обратное не всегда гарантируется; то есть в конструктивной математике множество $L$ это не пусто (где по определению " $L$ пусто» означает, что оператор $\forall x(x\not \in L)$ верно) может не иметь жителя (что является $x$ такой, что $x\in L$).
3. $L\not \subseteq R$ для какого-то набора $R$

Если $L$ любое множество, то следующие условия эквивалентны:

1. $L$ пусто( $L=\varnothing$), значение: $\forall x(x\not \in L)$
2. $L\cup R\subseteq R$ для каждого набора $R$
3. $L\subseteq R$ для каждого набора $R$
4. $L\subseteq R\setminus L$ для некоторых/каждого набора $R$
5. $\varnothing /L=L$

Учитывая любой $x,$ следующие эквивалентны:

1. ${\textstyle x\not \in L\setminus R}$
2. ${\textstyle x\in L\cap R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}$
3. ${\textstyle x\in R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}$

Более того,

$$(L\setminus R)\cap R=\varnothing \qquad {\text{ always holds}}.$$

Свойства встреч, соединений и решетки

Включение представляет собой частичный порядок : В явном виде это означает, что включение $\,\subseteq ,\,$ которая является бинарной операцией , имеет следующие три свойства:

• Рефлексивность : ${\textstyle L\subseteq L}$
• Антисимметрия : ${\textstyle (L\subseteq R{\text{ and }}R\subseteq L){\text{ if and only if }}L=R}$
• Транзитивность : ${\textstyle {\text{If }}L\subseteq M{\text{ and }}M\subseteq R{\text{ then }}L\subseteq R}$

Следующее предложение говорит, что для любого множества $S,$ силовой набор ​ $S,$ упорядоченная по включению, является ограниченной решеткой и, следовательно, вместе с приведенными выше законами дистрибутивности и дополнения показывает, что это булева алгебра .

Существование наименьшего и наибольшего элементов :

$$\varnothing \subseteq L\subseteq X$$

Соединения /супремумы существуют :

$$L\subseteq L\cup R$$

Союз $L\cup R$ является объединением/супремумом $L$ и $R$ относительно $\,\subseteq \,$ потому что:

1. $L\subseteq L\cup R$ и $R\subseteq L\cup R,$ и
2. если $Z$ такое множество, что $L\subseteq Z$ и $R\subseteq Z$ затем $L\cup R\subseteq Z.$

Пересечение $L\cap R$ является объединением/супремумом $L$ и $R$ относительно $\,\supseteq .\,$

Встречается /инфимумы существуют :

$$L\cap R\subseteq L$$

Пересечение $L\cap R$ это встреча/нижняя грань $L$ и $R$ относительно $\,\subseteq \,$ потому что:

1. если $L\cap R\subseteq L$ и $L\cap R\subseteq R,$ и
2. если $Z$ такое множество, что $Z\subseteq L$ и $Z\subseteq R$ затем $Z\subseteq L\cap R.$

Союз $L\cup R$ это встреча/нижняя грань $L$ и $R$ относительно $\,\supseteq .\,$

Другие свойства включения :

$$L\setminus R\subseteq L$$

$$(L\setminus R)\cap L=L\setminus R$$

• Если $L\subseteq R$ затем $L\,\triangle \,R=R\setminus L.$
• Если $L\subseteq X$ и $R\subseteq Y$ затем $L\times R\subseteq X\times Y$

Участвуют три сета

В левых частях следующих тождеств: $L$ это самый левый набор, $M$ – среднее множество, а $R$ это самый правый набор.

Правила приоритета

Не существует универсального соглашения о порядке старшинства операторов базового набора.Тем не менее, многие авторы используют правила приоритета для операторов множества, хотя эти правила варьируются в зависимости от автора.

Одним из распространенных соглашений является объединение пересечения $L\cap R=\{x:(x\in L)\land (x\in R)\}$ с логическим союзом (и) $L\land R$ и ассоциированный союз $L\cup R=\{x:(x\in L)\lor (x\in R)\}$ с логической дизъюнкцией (или) $L\lor R,$ а затем передать приоритет этих логических операторов (где $\,\land \,$ имеет приоритет над $\,\lor \,$) этим операторам множества, тем самым давая $\,\cap \,$ приоритет над $\,\cup .\,$ Так, например, $L\cup M\cap R$ будет означать $L\cup (M\cap R)$ поскольку оно будет связано с логическим утверждением $L\lor M\land R~=~L\lor (M\land R)$ и аналогично, $L\cup M\cap R\cup Z$ будет означать $L\cup (M\cap R)\cup Z$ поскольку это будет связано с $L\lor M\land R\lor Z~=~L\lor (M\land R)\lor Z.$

Иногда устанавливают дополнение (вычитание) $\,\setminus \,$ также связано с логическим дополнением (нет) $\,\lnot ,\,$ в этом случае он будет иметь наивысший приоритет. Более конкретно, $L\setminus R=\{x:(x\in L)\land \lnot (x\in R)\}$ переписан $L\land \lnot R$ так что, например, $L\cup M\setminus R$ будет означать $L\cup (M\setminus R)$ поскольку оно будет переписано как логическое утверждение $L\lor M\land \lnot R$ что равно $L\lor (M\land \lnot R).$Другой пример, поскольку $L\land \lnot M\land R$ означает $L\land (\lnot M)\land R,$ который равен обоим $(L\land (\lnot M))\land R$ и $L\land ((\lnot M)\land R)~=~L\land (R\land (\lnot M))$ (где $(\lnot M)\land R$ был переписан как $R\land (\lnot M)$), формула $L\setminus M\cap R$ будет относиться к набору $(L\setminus M)\cap R=L\cap (R\setminus M);$ более того, поскольку $L\land (\lnot M)\land R=(L\land R)\land \lnot M,$ это множество также равно $(L\cap R)\setminus M$ (другие тождества множеств могут быть аналогичным образом выведены из исчисления высказываний тождеств таким же способом).Однако поскольку вычитание множеств не является ассоциативным $(L\setminus M)\setminus R\neq L\setminus (M\setminus R),$ формула, такая как $L\setminus M\setminus R$ было бы двусмысленно; по этой причине, среди прочего, вычитанию множеств часто вообще не присваивается какой-либо приоритет.

Симметричная разница $L\triangle R=\{x:(x\in L)\oplus (x\in R)\}$ иногда ассоциируется с эксклюзивным или (xor) $L\oplus R$ (также иногда обозначается $\,\veebar$), и в этом случае, если порядок приоритета от высшего к низшему равен $\,\lnot ,\,\oplus ,\,\land ,\,\lor \,$ тогда порядок приоритета (от высшего к низшему) для операторов множества будет таким: $\,\setminus ,\,\triangle ,\,\cap ,\,\cup .$ Не существует универсального соглашения о приоритете исключительной дизъюнкции. $\,\oplus \,$ по отношению к остальным логическим связкам, поэтому симметричная разность $\,\triangle \,$ не часто назначается приоритет.

Ассоциативность

Определение : бинарный оператор. $\,\ast \,$ называется ассоциативным, если $(L\,\ast \,M)\,\ast \,R=L\,\ast \,(M\,\ast \,R)$ всегда держит.

Следующие операторы множества ассоциативны:

$${\begin{alignedat}{5}(L\cup M)\cup R&\;=\;\;&&L\cup (M\cup R)\\[1.4ex](L\cap M)\cap R&\;=\;\;&&L\cap (M\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle M)\,\triangle R&\;=\;\;&&L\,\triangle (M\,\triangle R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Для вычитания множеств вместо ассоциативности всегда гарантируется только следующее:

$$(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)$$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L\cap R=\varnothing$ (это условие не зависит от $M$). Таким образом ${\textstyle \;(L\setminus M)\setminus R=L\setminus (M\setminus R)\;}$ тогда и только тогда, когда $\;(R\setminus M)\setminus L=R\setminus (M\setminus L),\;$ где единственная разница между левыми и правыми равенствами множеств состоит в том, что местоположения $L{\text{ and }}R$ были заменены.

Дистрибутивность

Определение : Если $\ast {\text{ and }}\bullet$ являются бинарными операторами, тогда $\,\ast \,$ левый распределяет по $\,\bullet \,$ если

$$L\,\ast \,(M\,\bullet \,R)~=~(L\,\ast \,M)\,\bullet \,(L\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R$$

пока $\,\ast \,$ право распределяется по $\,\bullet \,$ если

$$(L\,\bullet \,M)\,\ast \,R~=~(L\,\ast \,R)\,\bullet \,(M\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R.$$

Оператор $\,\ast \,$ распределяет по $\,\bullet \,$ если он распределяет как слева, так и справа по $\,\bullet \,.\,$ В приведенных выше определениях для преобразования одной стороны в другую самый внутренний оператор (оператор в круглых скобках) становится самым внешним оператором, а самый внешний оператор становится самым внутренним оператором.

Правая дистрибутивность :

$${\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\triangle \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\setminus \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~L&&\,\setminus \,&&(M\cup R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Левая дистрибутивность :

$${\begin{alignedat}{5}L\cup (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cap (L\cup R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cup (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cup (L\cup R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cap (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\,\triangle \,R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Дистрибутивность и симметричная разность ∆

Пересечение распределяет по симметричной разности:

$${\begin{alignedat}{5}L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)~&~~=~~&&(L\,\cap \,M)\,\triangle \,(L\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{5}(L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,\triangle \,(M\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Объединение не распределяет по симметричной разнице, поскольку в целом гарантируется только следующее:

$${\begin{alignedat}{5}L\cup (M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\supseteq }}~~\color {black}{\,}(L\cup M)\,\triangle \,(L\cup R)~&~=~&&(M\,\triangle \,R)\,\setminus \,L&~=~&&(M\,\setminus \,L)\,\triangle \,(R\,\setminus \,L)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Симметричная разность не распространяется на себя:

$$L\,\triangle \,(M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\neq }}~~\color {black}{\,}(L\,\triangle \,M)\,\triangle \,(L\,\triangle \,R)~=~M\,\triangle \,R$$

и вообще для любых наборов $L{\text{ and }}A$ (где $A$ представляет $M\,\triangle \,R$), $L\,\triangle \,A$ не может быть ни подмножеством, ни надмножеством $L$ (и то же самое верно для $A$).

Дистрибутивность и вычитание множеств \

Ошибка вычитания набора для левого распределения :

Вычитание множеств является правораспределительным по самому себе. Однако вычитание множеств не является распределительным по самому себе, поскольку в целом гарантируется только следующее:

$${\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\cap R\,\setminus \,M\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L\,\setminus \,M=L\,\cap \,R,$ что произойдет тогда и только тогда, когда $L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\setminus M\subseteq R.$

Для симметричной разности множества $L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)$ и $(L\,\setminus \,M)\,\triangle \,(L\,\setminus \,R)=L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)$ всегда непересекающиеся. Таким образом, эти два множества равны тогда и только тогда, когда они оба равны $\varnothing .$ Более того, $L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\subseteq M\cup R.$

Чтобы исследовать левую дистрибутивность вычитания множеств над объединениями или пересечениями, рассмотрим, как все множества, участвующие в (обаих) законах Де Моргана, связаны между собой:

$${\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

всегда выполняется (равенства слева и справа — это законы Де Моргана), но равенство в общем случае не гарантируется (т. е. включение ${\color {red}{\subseteq }}$ может быть строгим). Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\;\subseteq \;L\,\setminus \,(M\,\cup \,R),$ что произойдет тогда и только тогда, когда $L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.$

Это наблюдение относительно законов Де Моргана показывает, что $\,\setminus \,$ не остается распределительным над $\,\cup \,$ или $\,\cap \,$ потому что в целом гарантируется только следующее:

$${\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

где равенство имеет место для одной (или, что то же самое, для обеих) из двух приведенных выше формул включения тогда и только тогда, когда $L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.$

Следующие утверждения эквивалентны:

1. $L\cap M\,=\,L\cap R$
2. $L\,\setminus \,M\,=\,L\,\setminus \,R$
3. $L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R);$ то есть, $\,\setminus \,$ левый распределяет по $\,\cap \,$ для этих трех конкретных наборов
4. $L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R);$ то есть, $\,\setminus \,$ левый распределяет по $\,\cup \,$ для этих трех конкретных наборов
5. $L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\,=\,L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)$
6. $L\cap (M\cup R)\,=\,L\cap M\cap R$
7. $L\cap (M\cup R)~\subseteq ~M\cap R$
8. $L\cap R~\subseteq ~M\;$ и $\;L\cap M~\subseteq ~R$
9. $L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)$
10. $L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)\,=\,L$

Квазикоммутативность :

$$(L\setminus M)\setminus R~=~(L\setminus R)\setminus M\qquad {\text{ (Quasi-commutative)}}$$

всегда имеет место, но в целом

$$L\setminus (M\setminus R)~~{\color {red}{\neq }}~~L\setminus (R\setminus M).$$

Однако, $L\setminus (M\setminus R)~\subseteq ~L\setminus (R\setminus M)$ тогда и только тогда, когда $L\cap R~\subseteq ~M$ тогда и только тогда, когда $L\setminus (R\setminus M)~=~L.$

Сложность вычитания множества . Чтобы управлять множеством идентификаторов, включающих вычитание множества, этот раздел разделен в зависимости от того, где находится операция вычитания множества и круглые скобки в левой части идентификатора. Большое разнообразие и (относительная) сложность формул, включающих вычитание множеств (по сравнению с формулами без него), отчасти объясняется тем, что в отличие от $\,\cup ,\,\cap ,$ и $\triangle ,\,$ вычитание множеств не является ни ассоциативным, ни коммутативным, а также не является левым дистрибутивным по отношению к $\,\cup ,\,\cap ,\,\triangle ,$ или даже над собой.

Два набора вычитаний

Вычитание множеств не в целом ассоциативно:

$$(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\neq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)$$

поскольку всегда гарантируется только следующее:

$$(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R).$$

(Л\М)\П

$${\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\setminus R&=&&L\setminus (M\cup R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Л\(М\П)

$${\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\setminus R)&=(L\setminus M)\cup (L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

• Если $L\subseteq M{\text{ then }}L\setminus (M\setminus R)=L\cap R$
• ${\textstyle L\setminus (M\setminus R)\subseteq (L\setminus M)\cup R}$ с равенством тогда и только тогда, когда $R\subseteq L.$

Вычитание одного набора

(Л\М) ⁎ П

Установите вычитание слева и круглые скобки слева

$${\begin{alignedat}{4}\left(L\setminus M\right)\cup R&=(L\cup R)\setminus (M\setminus R)\\&=(L\setminus (M\cup R))\cup R~~~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}$$

${\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\cap R&=(&&L\cap R)\setminus (M\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat}}$

$${\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)~\triangle ~R&=(L\setminus (M\cup R))\cup (R\setminus L)\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}$$

$$(L\,\setminus M)\times R=(L\times R)\,\setminus (M\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}$$

Л\(М ⁎ Р)

Установите вычитание слева и круглые скобки справа

$${\begin{alignedat}{3}L\setminus (M\cup R)&=(L\setminus M)&&\,\cap \,(&&L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\&=(L\setminus M)&&\,\,\setminus &&R\\&=(L\setminus R)&&\,\,\setminus &&M\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\cap R)&=(L\setminus M)\cup (L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\\end{alignedat}}$$

где два вышеуказанных набора, являющиеся предметом законов Де Моргана, всегда удовлетворяют $L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~~{\color {red}{\subseteq }}~~\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R).$

$${\begin{alignedat}{4}L\setminus (M~\triangle ~R)&=(L\setminus (M\cup R))\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}$$

(Л ⁎ М)\R

Установите вычитание справа и круглые скобки слева

$${\begin{alignedat}{4}(L\cup M)\setminus R&=(L\setminus R)\cup (M\setminus R)\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}(L\cap M)\setminus R&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\&=&&L&&\cap (M\setminus R)\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}(L\,\triangle \,M)\setminus R&=(L\setminus R)~&&\triangle ~(M\setminus R)\\&=(L\cup R)~&&\triangle ~(M\cup R)\\\end{alignedat}}$$

Л ⁎ (М\П)

Установите вычитание справа и круглые скобки справа

$${\begin{alignedat}{3}L\cup (M\setminus R)&=&&&&L&&\cup \;&&(M\setminus (R\cup L))&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\cup R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}$$

${\begin{alignedat}{4}L\cap (M\setminus R)&=(&&L\cap M)&&\setminus (L\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{alignedat}}$

$$L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}$$

Три операции на трёх наборах

(Л • М) ⁎ (М • П)

Операции формы $(L\bullet M)\ast (M\bullet R)$:

$${\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\cup R))\,\cup \,(R\,\setminus \,(L\cup M))\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\cap R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\setminus \,R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&[(L\,\cap M)\cup (M\,\cap R)]\,\setminus \,(L\,\cap M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\,\setminus (M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus M)\cup (M\,\setminus R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\setminus (M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup \,M\,\cup \,R)\,\setminus \,(L\,\cap \,M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&((L\,\cap \,R)\,\setminus \,M)\,\cup \,(M\,\setminus \,(L\,\cup \,R))\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\,\cup \,R))\,\cup \,((M\,\cap \,R)\,\setminus \,L)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,R\\[1.7ex]\end{alignedat}}$$

(Л • М) ⁎ (П\М)

Операции формы $(L\bullet M)\ast (R\,\setminus \,M)$:

$${\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\setminus \,R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\triangle \,R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\cap (M\cup R)]\cup [R\,\setminus \,(L\cup M)]\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(R\,\setminus \,M)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (R\,\setminus \,M)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup R\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cup M\cup R)\,\setminus \,(L\cap M)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\,\setminus \,(M\cup R)]\cup (M\,\setminus \,L)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,M)\setminus (L\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,(M\cup R)\\[1.7ex]\end{alignedat}}$$

(Л\С) ⁎ (Л\П)

Операции формы $(L\,\setminus \,M)\ast (L\,\setminus \,R)$:

$${\begin{alignedat}{9}(L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&(L\,\cap \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&\;=\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Другие упрощения

Другие свойства :

$$L\cap M=R\;{\text{ and }}\;L\cap R=M\qquad {\text{ if and only if }}\qquad M=R\subseteq L.$$

• Если $L\subseteq M$ затем $L\setminus R=L\cap (M\setminus R).$
• $L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)$
• Если $L\subseteq R$ затем $M\setminus R\subseteq M\setminus L.$
• $L\cap M\cap R=\varnothing$ тогда и только тогда, когда для любого $x\in L\cup M\cup R,$ $x$ принадлежит не более чем двум множествам $L,M,{\text{ and }}R.$

Симметричная разность ∆ конечного числа множеств

Учитывая конечное число множеств $L_{1},\ldots ,L_{n},$ что-то принадлежит их симметричной разности тогда и только тогда, когда оно принадлежит нечетному числу этих множеств. Явно для любого $x,$ $x\in L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}$ тогда и только тогда, когда мощность $\left|\left\{i:x\in L_{i}\right\}\right|$ странно. (Напомним, что симметричная разность ассоциативна, поэтому для множества не нужны круглые скобки $L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}$).

Следовательно, симметричная разность трех множеств удовлетворяет:

$${\begin{alignedat}{4}L\,\triangle \,M\,\triangle \,R&=(L\cap M\cap R)\cup \{x:x{\text{ belongs to exactly one of the sets }}L,M,R\}~~~~~~{\text{ (the union is disjoint) }}\\&=[L\cap M\cap R]\cup [L\setminus (M\cup R)]\cup [M\setminus (L\cup R)]\cup [R\setminus (L\cup M)]~~~~~~~~~{\text{ (all 4 sets enclosed by [ ] are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}$$

Декартовы произведения ⨯ конечного числа множеств

Двоичный ⨯ распределяется по ⋃ и ⋂ и \ и ∆

Бинарное декартово произведение ⨯ распределяется по объединениям, пересечениям, вычитанию множеств и симметричным разностям:

$${\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{5}L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Но в целом ⨯ не распределяет на себя:

$$L\times (M\times R)~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times M)\times (L\times R)$$

$$(L\times M)\times R~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times R)\times (M\times R).$$

Двоичный ⋂ конечного ⨯

$$(L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)$$

$$(L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)$$

Двоичный ⋃ конечного ⨯

$${\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

Разница \ конечных ⨯

$${\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

и

$$(L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]$$

Конечное ⨯ разностей \

$$\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times R\right)\cup \left(L\times R_{2}\right)\right]$$

$$\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times M\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times M\times R\right)\cup \left(L\times M_{2}\times R\right)\cup \left(L\times M\times R_{2}\right)\right]$$

Симметричная разность ∆ и конечная ⨯

$$L\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~=~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[L\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]$$

$$\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times R~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times R\right]$$

$${\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~&&&&\,\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\[0.7ex]&=~&&&&\,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\cup \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(M\,\triangle \,M_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(M\cup M_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times M\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(M\cap M_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times M\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

В общем, $\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)$ не обязательно должно быть подмножеством или надмножеством $\left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right).$

$${\begin{alignedat}{4}\left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times R\right)\cup \left(L_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

$${\begin{alignedat}{4}\left(L\times M\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times M\times R\right)\cup \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Произвольные семейства множеств

Позволять $\left(L_{i}\right)_{i\in I},$ $\left(R_{j}\right)_{j\in J},$ и $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ быть проиндексированы семействами множеств . Всякий раз, когда это предположение необходимо, тогда все наборы индексации , такие как $I$ и $J,$ предполагаются непустыми.

Определения

Семейство множеств или (более кратко) семейство — это множество, элементами которого являются множества.

Индексированное семейство множеств — это функция перехода из некоторого набора, называемого его набором индексирования , в некоторое семейство множеств. Индексированное семейство множеств будем обозначать через $\left(L_{i}\right)_{i\in I},$ где это обозначение присваивает символ $I$ для набора индексов и для каждого индекса $i\in I,$ присваивает символ $L_{i}$ к значению функции в $i.$ Тогда саму функцию можно обозначить символом $L_{\bullet },$ которое получается из обозначения $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ путем замены индекса $i$ с символом пули $\bullet \,;$ явно, $L_{\bullet }$ это функция:

$${\begin{alignedat}{4}L_{\bullet }:\;&&I&&\;\to \;&\left\{L_{i}:i\in I\right\}\\[0.3ex]&&i&&\;\mapsto \;&L_{i}\\\end{alignedat}}$$

что можно резюмировать, написав $L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}.$

Любое индексированное семейство множеств. $L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ (который является функцией ) может быть канонически связан с ее изображением/диапазоном $\operatorname {Im} L_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{L_{i}:i\in I\right\}$ (который представляет собой семейство множеств). И наоборот, любое данное семейство множеств ${\mathcal {B}}$ может быть связано с ${\mathcal {B}}$-индексированное семейство множеств $(B)_{B\in {\mathcal {B}}},$ что технически является идентификационной картой ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}.$ Однако это не биективное соответствие, поскольку индексированное семейство множеств $L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ не обязательно должен быть инъективным (т. е. могут существовать различные индексы $i\neq j$ такой как $L_{i}=L_{j}$), что, в частности, означает, что различные индексированные семейства множеств (которые являются функциями) могут быть связаны с одним и тем же семейством множеств (имея одно и то же изображение/диапазон).

Определены произвольные союзы

$$\bigcup _{i\in I}L_{i}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~{\text{ there exists }}i\in I{\text{ such that }}x\in L_{i}\}$$

( Защита 1 )

Если $I=\varnothing$ затем $\bigcup _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ there exists }}i\in \varnothing {\text{ such that }}x\in L_{i}\}=\varnothing ,$ это так называемое соглашение о нулевом объединении (несмотря на то, что оно называется соглашением, это равенство следует из определения).

Если ${\mathcal {B}}$ тогда это семейство множеств $\cup {\mathcal {B}}$ обозначает набор:

$$\bigcup {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~{\text{ there exists }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ such that }}x\in B\}.$$

Определены произвольные пересечения

Если $I\neq \varnothing$ затем

$$\bigcap _{i\in I}L_{i}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in I\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in I{\text{ then }}x\in L_{i}\}.$$

( Защита 2 )

Если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ является непустым семейством множеств, тогда $\cap {\mathcal {B}}$ обозначает набор:

$$\bigcap {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{B\in B}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~x\in B{\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}B,{\text{ if }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}x\in B\}.$$

Нулевые пересечения

Если $I=\varnothing$ затем

$$\bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in L_{i}\}$$

где все возможное $x$ во Вселенной бессмысленно удовлетворяло условие: «если $i\in \varnothing$ затем $x\in L_{i}$". Следовательно, ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x:{\text{ true }}\}$ состоит из всего во Вселенной.

Итак, если $I=\varnothing$ и:

1. если вы работаете с моделью , в которой существует некоторый юниверсов набор $X$ затем ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in \varnothing \}~=~X.$
2. в противном случае, если вы работаете в модели , в которой «класс всех вещей $x$" не является набором (самая распространенная ситуация), тогда ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}$ не определено, потому что ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}$ состоит из всего , что делает ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}$ , правильный класс а не набор.

Предположение : впредь всякий раз, когда формула требует, чтобы некоторый набор индексов был непустым, чтобы произвольное пересечение было четко определено, это будет автоматически предполагаться без упоминания.

Следствием этого является следующее предположение/определение:

Конечное пересечение множеств или пересечение конечного числа множеств относится к пересечению конечного набора одного или нескольких множеств.

Некоторые авторы принимают так называемое о нулевом пересечении соглашение , согласно которому пустое пересечение множеств равно некоторому каноническому множеству. В частности, если все множества являются подмножествами некоторого множества $X$ то какой-нибудь автор может заявить, что пустое пересечение этих множеств равно $X.$ Однако соглашение о нулевом пересечении не так широко принято, как соглашение о нулевом объединении, и в этой статье оно не будет принято (это связано с тем, что в отличие от пустого объединения значение пустого пересечения зависит от $X$ поэтому, если рассматривается несколько множеств, что обычно бывает, то значение пустого пересечения рискует стать неоднозначным).

Несколько наборов индексов

$$\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}$$

$$\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}$$

Распределяющие объединения и пересечения

Двоичный ⋂ произвольных ⋃

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap R~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)$$

( уравнение 3а )

и

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right)$$

( уравнение 3б )

• Если все $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ попарно непересекающиеся и все $\left(R_{j}\right)_{j\in J}$ также попарно непересекающиеся, то и все $\left(L_{i}\cap R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ (то есть, если $(i,j)\neq \left(i_{2},j_{2}\right)$ затем $\left(L_{i}\cap R_{j}\right)\cap \left(L_{i_{2}}\cap R_{j_{2}}\right)=\varnothing$).

• Важно , если $I=J$ тогда вообще
  $$~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)~$$
  ( пример этого приведен ниже). Единственный союз в правой части должен быть над всеми парами. $(i,j)\in I\times I:$
  $$~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right).~$$
  То же самое обычно справедливо и для других подобных нетривиальных множественных равенств и отношений, которые зависят от двух (потенциально несвязанных) наборов индексации. $I$ и $J$ (например, уравнение 4b или уравнение 7g ). Двумя исключениями являются уравнение. 2c (союзы объединений) и уравнение. 2d (пересечения пересечений), но оба они относятся к числу наиболее тривиальных из множественных равенств (хотя даже для этих равенств еще есть кое-что, что нужно доказать ).
• Пример, когда равенство не выполнено : пусть $X\neq \varnothing$ и пусть $I=\{1,2\}.$ Позволять $L_{1}\colon =R_{2}\colon =X$ и пусть $L_{2}\colon =R_{1}\colon =\varnothing .$ Затем
  $$X=X\cap X=\left(L_{1}\cup L_{2}\right)\cap \left(R_{2}\cup R_{2}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)=\left(L_{1}\cap R_{1}\right)\cup \left(L_{2}\cap R_{2}\right)=\varnothing \cup \varnothing =\varnothing .$$
  Более того,
  $$\varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(L_{1}\cap L_{2}\right)\cup \left(R_{2}\cap R_{2}\right)=\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)=\left(L_{1}\cup R_{1}\right)\cap \left(L_{2}\cup R_{2}\right)=X\cap X=X.$$

Двоичный ⋃ произвольных ⋂

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup R~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)$$

( уравнение 4а )

и

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right)$$

( уравнение 4б )

• Важно , если $I=J$ тогда вообще
  $$~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)~$$
  ( пример этого приведен выше). Единственное пересечение с правой стороны должно находиться над всеми парами. $(i,j)\in I\times I:$
  $$~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right).~$$

Произвольные ⋂ и произвольные ⋃

Неправильное распределение путем замены ⋂ и ⋃

Наивная замена $\;{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;$ и $\;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}\;$ может быть другой набор

Всегда имеет место следующее включение:

$$\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)$$

( Включение 1 ∪∩ является подмножеством ∩∪ )

В общем случае равенство не обязательно должно выполняться, и более того, правая часть зависит от того, как для каждого фиксированного $i\in I,$ наборы $\left(S_{i,j}\right)_{j\in J}$ имеют маркировку; и аналогично, левая часть зависит от того, как для каждого фиксированного $j\in J,$ наборы $\left(S_{i,j}\right)_{i\in I}$ маркированы. Сейчас будет приведен пример, демонстрирующий это.

• Пример зависимости от навешивания ярлыков и отсутствия равенства : чтобы понять, почему равенство не обязательно должно соблюдаться, когда $\cup$ и $\cap$ поменялись местами, пусть $I\colon =J\colon =\{1,2\},$ и пусть $S_{11}=\{1,2\},~S_{12}=\{1,3\},~S_{21}=\{3,4\},$ и $S_{22}=\{2,4\}.$ Затем
  $$\{1,4\}=\{1\}\cup \{4\}=\left(S_{11}\cap S_{12}\right)\cup \left(S_{21}\cap S_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)=\left(S_{11}\cup S_{21}\right)\cap \left(S_{12}\cup S_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.$$
  Если $S_{11}$ и $S_{21}$ меняются местами, пока $S_{12}$ и $S_{22}$ не изменяются, что приводит к появлению множеств ${\hat {S}}_{11}\colon =\{3,4\},~{\hat {S}}_{12}\colon =\{1,3\},~{\hat {S}}_{21}\colon =\{1,2\},$ и ${\hat {S}}_{22}\colon =\{2,4\},$ затем
  $$\{2,3\}=\{3\}\cup \{2\}=\left({\hat {S}}_{11}\cap {\hat {S}}_{12}\right)\cup \left({\hat {S}}_{21}\cap {\hat {S}}_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}{\hat {S}}_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}{\hat {S}}_{i,j}\right)=\left({\hat {S}}_{11}\cup {\hat {S}}_{21}\right)\cap \left({\hat {S}}_{12}\cup {\hat {S}}_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.$$
  В частности, левая сторона больше не $\{1,4\},$ который показывает, что левая часть ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}S_{i,j}$ зависит от того, как помечены наборы. Если вместо этого $S_{11}$ и $S_{12}$ меняются местами, пока $S_{21}$ и $S_{22}$ не изменяются, что приводит к появлению множеств ${\overline {S}}_{11}\colon =\{1,3\},~{\overline {S}}_{12}\colon =\{1,2\},~{\overline {S}}_{21}\colon =\{3,4\},$ и ${\overline {S}}_{22}\colon =\{2,4\},$ тогда и левая и правая часть равны $\{1,4\},$ откуда видно, что правая часть также зависит от того, как помечены множества.

Равенство во включении 1 ∪∩ — это подмножество ∩∪, которое может выполняться при определенных обстоятельствах, например, в 7e , что является особым случаем, когда $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ является $\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ (то есть, $S_{i,j}\colon =L_{i}\setminus R_{j}$ с теми же наборами индексации $I$ и $J$), или например, в 7f , что является особым случаем, когда $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ является $\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(j,i)\in J\times I}$ (то есть, ${\hat {S}}_{j,i}\colon =L_{i}\setminus R_{j}$ с наборами индексации $I$ и $J$ поменял местами).Для правильной формулы, расширяющей законы распределения, необходим подход, отличный от простого переключения. $\cup$ и $\cap$ необходим.

Правильные законы распределения

Предположим, что для каждого $i\in I,$ $J_{i}$ является непустым набором индексов и для каждого $j\in J_{i},$ позволять $T_{i,j}$ быть любым множеством (например, применить этот закон к $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},$ использовать $J_{i}\colon =J$ для всех $i\in I$ и использовать $T_{i,j}\colon =S_{i,j}$ для всех $i\in I$ и все $j\in J_{i}=J$). Позволять

$${\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}$$

обозначают декартово произведение , которое можно интерпретировать как совокупность всех функций $f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}$ такой, что $f(i)\in J_{i}$ для каждого $i\in I.$ Такую функцию также можно обозначить с помощью кортежной записи $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ где $f_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(i)$ для каждого $i\in I$ и наоборот, кортеж $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ это просто обозначение функции с доменом $I$ чья стоимость в $i\in I$ является $f_{i};$ оба обозначения можно использовать для обозначения элементов ${\textstyle \prod }J_{\bullet }.$ Затем

$$\bigcap _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left[\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}\right]$$

( Уравнение 5 от ∩∪ до ∪∩ )

$$\bigcup _{i\in I}\left[\;\bigcap _{j\in J_{i}}T_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in \prod J_{\bullet }}\left[\;\bigcup _{i\in I}T_{i,f(i)}\right]$$

( Уравнения 6 от ∪∩ до ∩∪ )

где ${\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.$

Применение распределительных законов

Пример применения : В частном случае, когда все $J_{i}$ равны (т. $J_{i}=J_{i_{2}}$ для всех $i,i_{2}\in I,$ как обстоит дело с семьей $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},$ например), затем позволив $J$ обозначим этот общий набор, декартово произведение будет ${\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J=J^{I},$ который представляет собой набор всех функций вида $f~:~I~\to ~J.$ Вышеуказанные равенства 5 ∩∪ в ∪∩ и уравнение. 6 ∪∩ до ∩∪ соответственно становятся:

$$\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\bigcup _{f\in J^{I}}\;\bigcap _{i\in I}S_{i,f(i)}$$

$$\bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}=\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}$$

что в сочетании с включением 1 ∪∩ является подмножеством ∩∪, подразумевает:

$$\bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}~=~\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\bigcup _{g\in I^{J}}\;\bigcap _{j\in J}S_{g(j),j}~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}$$

где

• слева индексы $f{\text{ and }}i$ диапазон более $f\in J^{I}{\text{ and }}i\in I$ (поэтому индексы $S_{i,f(i)}$ диапазон более $i\in I{\text{ and }}f(i)\in f(I)\subseteq J$)
• с правой стороны индексы $g{\text{ and }}j$ диапазон более $g\in I^{J}{\text{ and }}j\in J$ (поэтому индексы $S_{g(j),j}$ диапазон более $j\in J{\text{ and }}g(j)\in g(J)\subseteq I$).

Пример применения : Чтобы применить общую формулу к случаю $\left(C_{k}\right)_{k\in K}$ и $\left(D_{l}\right)_{l\in L},$ использовать $I\colon =\{1,2\},$ $J_{1}\colon =K,$ $J_{2}\colon =L,$ и пусть $T_{1,k}\colon =C_{k}$ для всех $k\in J_{1}$ и пусть $T_{2,l}\colon =D_{l}$ для всех $l\in J_{2}.$ Каждая карта $f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}=J_{1}\times J_{2}=K\times L$ можно биективно отождествить с парой $\left(f(1),f(2)\right)\in K\times L$ (обратный вариант отправляет $(k,l)\in K\times L$ на карту $f_{(k,l)}\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }$ определяется $1\mapsto k$ и $2\mapsto l;$ технически это просто изменение обозначений). Напомним, что уравнение 5 ∩∪ до ∪∩ было

$$~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\bigcup _{f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}.~$$

Расширение и упрощение левой части дает

$$\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J_{1}}T_{1,j}\right)\cap \left(\;\bigcup _{j\in J_{2}}T_{2,j}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}T_{1,k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}T_{2,l}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)$$

и проделав то же самое с правой частью, получим:

$$\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(T_{1,f(1)}\cap T_{2,f(2)}\right)=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(C_{f(1)}\cap D_{f(2)}\right)=\bigcup _{(k,l)\in K\times L}\left(C_{k}\cap D_{l}\right)=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).$$

Таким образом, общее тождество (уравнение) 5 ∩∪ в ∪∩ сводится к ранее заданному равенству множества (уравнение). 3б :

$$\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \;\bigcup _{l\in L}D_{l}=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).$$

Распределение вычитания по ⋃ и ⋂

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;R~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R\right)$$

( уравнение 7a )

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;R~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R\right)$$

( уравнение 7б )

Следующие тождества известны как законы Де Моргана .

$$L\;\setminus \;\bigcup _{j\in J}R_{j}~=~\bigcap _{j\in J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)~~\;~~{\text{ De Morgan's law }}$$

( уравнение 7c )

$$L\;\setminus \;\bigcap _{j\in J}R_{j}~=~\bigcup _{j\in J}\left(L\;\setminus \;R_{j}\right)~~\;~~{\text{ De Morgan's law }}$$

( уравнение 7d )

Следующие четыре множества равенств можно вывести из равенств 7a – 7d, приведенных выше.

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\bigcup _{j\in J}R_{j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)$$

( уравнение 7e )

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\bigcap _{j\in J}R_{j}~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)\right)$$

( уравнение 7f )

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\bigcap _{j\in J}R_{j}~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)$$

( уравнение 7g )

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;\setminus \;\bigcup _{j\in J}R_{j}~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\;\setminus \;R_{j}\right)$$

( уравнение 7h )

В общем, наивная замена $\;\cup \;$ и $\;\cap \;$ может создать другой набор ( см. в этом примечании подробнее ). Равенства

$$\bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)\quad {\text{ and }}\quad \bigcup _{j\in J}\;\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)$$

найдено в уравнении 7e и уравнение. 7f необычны тем, что в них точно указано, что замена $\;\cup \;$ и $\;\cap \;$ изменит не результирующий набор.

Коммутативность и ассоциативность ⋃ и ⋂

Коммутативность :

$$\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)$$

$$\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}S_{i,j}\right)$$

Союзы союзов и пересечения пересечений :

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cup R~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)$$

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cap R~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)$$

и

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcup _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right)$$

( уравнение 2а )

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcap _{j\in J}R_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right)$$

( уравнение 2б )

и если $I=J$ тогда также:

$$\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)$$

( уравнение 2c )

$$\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)$$

( уравнение 2d )

множеств

Пересечения ⋂ Π

Если $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ тогда это семейство множеств

$$\bigcap _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~=~~\prod _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}$$

( уравнение 8 )

• Более того, кортеж $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ принадлежит множеству в уравнении 8 выше тогда и только тогда, когда $x_{i}\in S_{i,j}$ для всех $i\in I$ и все $j\in J.$

В частности, если $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ и $\left(R_{i}\right)_{i\in I}$ это два семейства, индексированные одним и тем же набором, тогда

$$\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)\cap \prod _{i\in I}R_{i}~=~\prod _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)$$

Так, например,

$$(L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)$$

$$(L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)\cap \left(L_{3}\times R_{3}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\cap L_{3}\right)\times \left(R\cap R_{2}\cap R_{3}\right)$$

и

$$(L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)$$

Пересечения товаров, индексированных разными наборами

Позволять $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ и $\left(R_{j}\right)_{j\in J}$ быть двумя семьями, индексированными разными наборами.

Технически, $I\neq J$ подразумевает $\left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\varnothing .$ Однако иногда эти продукты каким-то образом идентифицируются как один и тот же набор посредством некоторой биекции или один из этих продуктов идентифицируется как подмножество другого посредством некоторого инъективного отображения , и в этом случае (из-за злоупотребления обозначениями ) это пересечение может быть равно некоторому другому (возможно, непустое) множество.

• Например, если $I:=\{1,2\}$ и $J:=\{1,2,3\}$ со всеми множествами, равными $\mathbb {R}$ затем ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ и ${\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}={\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$ где $\mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{3}=\varnothing$ если , например, ${\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ идентифицируется как подмножество ${\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$ через какую-то инъекцию , например, может быть $(x,y)\mapsto (x,y,0)$ например; однако в данном конкретном случае продукт ${\textstyle \prod \limits _{i\in I=\{1,2\}}}L_{i}$ на самом деле представляет собой $J$-индексированный продукт ${\textstyle \prod \limits _{j\in J=\{1,2,3\}}}L_{i}$ где $L_{3}:=\{0\}.$
• В качестве другого примера возьмем $I:=\{1,2\}$ и $J:=\{1,2,3\}$ с $L_{1}:=\mathbb {R} ^{2}$ и $L_{2},R_{1},R_{2},{\text{ and }}R_{3}$ все равны $\mathbb {R} .$ Затем ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ и ${\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,$ которые оба могут быть идентифицированы как один и тот же набор через биекцию, которая отправляет $((x,y),z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ к $(x,y,z)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .$ Под этой идентификацией $\left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap \,{\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}~=~\mathbb {R} ^{3}.$

Двоичный ⨯ распределяется по произвольным ⋃ и ⋂

Бинарное декартово произведение ⨯ распределяется по произвольным пересечениям (когда набор индексов не пуст) и по произвольным объединениям:

$${\begin{alignedat}{5}L\times \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}$$

Распределение произвольного Π по произвольному ⋃

Предположим, что для каждого $i\in I,$ $J_{i}$ является непустым набором индексов и для каждого $j\in J_{i},$ позволять $T_{i,j}$ быть любым множеством (например, применить этот закон к $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},$ использовать $J_{i}\colon =J$ для всех $i\in I$ и использовать $T_{i,j}\colon =S_{i,j}$ для всех $i\in I$ и все $j\in J_{i}=J$). Позволять

$${\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}$$

обозначаем декартово произведение , которое (как говорилось выше ) можно интерпретировать как совокупность всех функций $f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}$ такой, что $f(i)\in J_{i}$ для каждого $i\in I$.Затем

$$\prod _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left[\;\prod _{i\in I}T_{i,f(i)}\right]$$

( Уравнения 11 от Π∪ до ∪Π )

где ${\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.$

Союзы ⋃ Π

Для союзов в целом гарантируется только следующее:

$$\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\qquad {\text{ and }}\qquad \bigcup _{i\in I}\;\prod _{j\in J}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}$$

где $\left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$ представляет собой семейство множеств.

• Пример, когда равенство не выполнено : пусть $I=J=\{1,2\},$ позволять $S_{1,1}=S_{2,2}=\varnothing ,$ позволять $X\neq \varnothing ,$ и пусть $S_{1,2}=S_{2,1}=X.$ Затем
  $$\varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(\prod _{i\in I}S_{i,1}\right)\cup \left(\prod _{i\in I}S_{i,2}\right)=\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J}S_{1,j}\right)\times \left(\bigcup _{j\in J}S_{2,j}\right)=X\times X.$$
  В более общем смысле, ${\textstyle \varnothing =\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}}$ тогда и только тогда, когда для каждого $j\in J,$ хотя бы один из наборов в $I$-индексированные коллекции наборов $S_{\bullet ,j}=\left(S_{i,j}\right)_{i\in I}$ пусто, в то время как ${\textstyle \prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\neq \varnothing }$ тогда и только тогда, когда для каждого $i\in I,$ хотя бы один из наборов в $J$-индексированные коллекции наборов $S_{i,\bullet }=\left(S_{i,j}\right)_{j\in J}$ не пуст.

Однако,

$${\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

Разница \ Π

Если $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ и $\left(R_{i}\right)_{i\in I}$ тогда это два семейства множеств:

$${\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\setminus ~\prod _{i\in I}R_{i}~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~\prod _{i\in I}{\begin{cases}L_{j}\,\setminus \,R_{j}&{\text{ if }}i=j\\L_{i}&{\text{ if }}i\neq j\\\end{cases}}\\[0.5ex]~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.5ex]~&=~\bigcup _{\stackrel {j\in I,}{L_{j}\not \subseteq R_{j}}}{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

так, например,

$${\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}$$

и

$$(L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]$$

Симметричная разность ∆ Π

$${\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\triangle ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)~&=~\;~\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\cup ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)\;\setminus \;\prod _{i\in I}L_{i}\cap R_{i}\\[0.5ex]\end{alignedat}}$$

Функции и наборы

См. Также: Изображение (математика) § Свойства

Позволять $f:X\to Y$ быть любой функцией.

Позволять $L{\text{ and }}R$ быть совершенно произвольными множествами. Предполагать $A\subseteq X{\text{ and }}C\subseteq Y.$

Определения

Позволять $f:X\to Y$ любая функция, где мы обозначаем ее область определения $X$ к $\operatorname {domain} f$ и обозначим его кодомен $Y$ к $\operatorname {codomain} f.$

Многие из приведенных ниже тождеств на самом деле не требуют, чтобы множества были каким-то образом связаны с $f$домен или кодомен (то есть, $X$ или $Y$), поэтому, когда необходима какая-то связь, это будет четко указано. Поэтому в этой статье, если $L$ объявлен как « любой набор », и не указано, что $L$ должно быть как-то связано с $X$ или $Y$ (скажем, например, что это подмножество $X$ или $Y$) то имеется в виду, что $L$ действительно произволен. Эта общность полезна в ситуациях, когда $f:X\to Y$ это карта между двумя подмножествами $X\subseteq U$ и $Y\subseteq V$ из некоторых больших наборов $U$ и $V,$ и где набор $L$ может не полностью содержаться в $X=\operatorname {domain} f$ и/или $Y=\operatorname {codomain} f$ (например, если все, что известно о $L$ это что $L\subseteq U$); в такой ситуации может быть полезно знать, что можно и чего нельзя сказать о $f(L)$ и/или $f^{-1}(L)$ без необходимости вводить (потенциально ненужное) пересечение, такое как: $f(L\cap X)$ и/или $f^{-1}(L\cap Y).$

Изображения и прообразы множеств

Если $L$ любое множество то образ , $L$ под $f$ определяется как набор:

$$f(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,f(l)~:~l\in L\cap \operatorname {domain} f\,\}$$

в то время прообраз как $L$ под $f$ является:

$$f^{-1}(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in L\,\}$$

где если $L=\{s\}$ является одноэлементным множеством, слой или прообраз то $s$ под $f$ является

$$f^{-1}(s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f^{-1}(\{s\})~=~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)=s\,\}.$$

Обозначим через $\operatorname {Im} f$ или $\operatorname {image} f$ изображение ​ или диапазон ​ $f:X\to Y,$ какой набор:

$$\operatorname {Im} f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(\operatorname {domain} f)~=~\{f(x)~:~x\in \operatorname {domain} f\}.$$

Насыщенные наборы

Основная статья: Насыщенный набор

Набор $A$ Говорят, что это $f$- насыщенный или насыщенный набор , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Существует набор $R$ такой, что $A=f^{-1}(R).$
   • Любой такой набор $R$ обязательно содержит $f(A)$ как подмножество.
   • Любое множество, не полностью входящее в область $f$ не может быть $f$-насыщенный.
2. $A=f^{-1}(f(A)).$
3. $A\supseteq f^{-1}(f(A))$ и $A\subseteq \operatorname {domain} f.$
   • Включение $L\cap \operatorname {domain} f\subseteq f^{-1}(f(L))$ всегда выполняется, где, если $A\subseteq \operatorname {domain} f$ тогда это становится $A\subseteq f^{-1}(f(A)).$
4. $A\subseteq \operatorname {domain} f$ и если $a\in A$ и $x\in \operatorname {domain} f$ удовлетворить $f(x)=f(a),$ затем $x\in A.$
5. Всякий раз, когда волокно $f$ пересекает $A,$ затем $A$ содержит все волокно. Другими словами, $A$ содержит каждый $f$-волокно, пересекающее его.
• Явно: всякий раз, когда $y\in \operatorname {Im} f$ таков, что $A\cap f^{-1}(y)\neq \varnothing ,$ затем $f^{-1}(y)s\subseteq A.$
• И в этом утверждении, и в следующем множество $\operatorname {Im} f$ может быть заменен любым расширенным набором $\operatorname {Im} f$ (такой как $\operatorname {codomain} f$), и полученный оператор все равно будет эквивалентен остальным.
6. Пересечение $A$ с волокном из $f$ равно пустому множеству или самому слою.
   • Явно: для каждого $y\in \operatorname {Im} f,$ пересечение $A\cap f^{-1}(y)$ равно пустому множеству $\varnothing$ или чтобы $f^{-1}(y)$ (то есть, $A\cap f^{-1}(y)=\varnothing$ или $A\cap f^{-1}(y)=f^{-1}(y)$).

Для набора $A$ быть $f$-насыщенный, необходимо, чтобы $A\subseteq \operatorname {domain} f.$

Композиции и ограничения функций

Если $f$ и $g$ тогда это карты $g\circ f$ обозначает композиции карту

$$g\circ f~:~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}~\to ~\operatorname {codomain} g$$

с доменом и кодоменом

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {domain} (g\circ f)&=\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}\\[0.4ex]\operatorname {codomain} (g\circ f)&=\operatorname {codomain} g\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

определяется

$$(g\circ f)(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~g(f(x)).$$

Ограничение ​ ​ $f:X\to Y$ к $L,$ обозначается $f{\big \vert }_{L},$ это карта

$$f{\big \vert }_{L}~:~L\cap \operatorname {domain} f~\to ~Y$$

с $\operatorname {domain} f{\big \vert }_{L}~=~L\cap \operatorname {domain} f$ определяется отправкой $x\in L\cap \operatorname {domain} f$ к $f(x);$ то есть,

$$f{\big \vert }_{L}(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x).$$

Альтернативно, $~f{\big \vert }_{L}~=~f\circ \operatorname {In} ~$ где $~\operatorname {In} ~:~L\cap X\to X~$ обозначает карту включения , которая определяется формулой $\operatorname {In} (s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s.$

(Предварительно)Изображения произвольных объединений ⋃ и пересечений ⋂

Если $\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой семейство произвольных множеств, индексированных $I\neq \varnothing$ затем:

$${\begin{alignedat}{4}f\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~\;\;\;\bigcap _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\\end{alignedat}}$$

Итак, из этих четырех идентичностей лишь образы пересечений не всегда сохраняются . Прообразы сохраняют все основные операции над множествами. Союзы сохраняются как образами, так и прообразами.

Если все $L_{i}$ являются $f$-насыщенный тогда $\bigcap _{i\in I}L_{i}$ будет будет $f$-насыщенность и равенство будут соблюдаться в первом соотношении выше; явно это означает:

$$f\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)~=~\bigcap _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\qquad {\textit {IF}}\qquad X\cap L_{i}=f^{-1}\left(f\left(L_{i}\right)\right)\quad {\text{ for all }}\quad i\in I.$$

( Условное равенство 10а )

Если $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой семейство произвольных подмножеств $X=\operatorname {domain} f,$ это означает, что $A_{i}\subseteq X$ для всех $i,$ тогда Условное равенство 10а станет:

$$f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)~=~\bigcap _{i\in I}f\left(A_{i}\right)\qquad {\textit {IF}}\qquad A_{i}=f^{-1}\left(f\left(A_{i}\right)\right)\quad {\text{ for all }}\quad i\in I.$$

( Условное равенство 10б )

(Предварительно) Изображения операций с двоичным набором

Всюду пусть $L$ и $R$ быть любыми множествами и пусть $f:X\to Y$ быть любой функцией.

Краткое содержание

Как показано в таблице ниже, равенство множеств не гарантируется только для изображений : пересечений, вычитаний множеств и симметричных разностей.

Изображение	Прообраз	Дополнительные предположения о множествах
$\,~~~~f(L\cup R)~=~f(L)\cup f(R)$	$f^{-1}(L\cup R)~=~f^{-1}(L)\cup f^{-1}(R)$	Никто
$$f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)$$	$f^{-1}(L\cap R)~=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)$	Никто
$$f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)$$	${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)\setminus f^{-1}(R)&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}$	Никто
$$f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)$$	${\begin{alignedat}{4}X\setminus f^{-1}(R)&=f^{-1}(&&Y&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(&&Y&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}$	Никто
$$f\left(L~\triangle ~R\right)~\supseteq ~f(L)~\triangle ~f(R)$$	$f^{-1}\left(L~\triangle ~R\right)~=~f^{-1}(L)~\triangle ~f^{-1}(R)$	Никто

Прообразы сохраняют операции над множествами

Прообразы множеств хорошо ведут себя по отношению ко всем основным операциям над множествами:

$${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L\cup R)~&=~f^{-1}(L)\cup f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\cap R)~&=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\setminus \,R)~&=~f^{-1}(L)\setminus \,f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\,\triangle \,R)~&=~f^{-1}(L)\,\triangle \,f^{-1}(R)\\\end{alignedat}}$$

Другими словами, прообразы распределяются по объединениям, пересечениям, вычитанию множеств и симметричным разностям.

Изображения сохраняют только союзы

Изображения профсоюзов ведут себя хорошо:

$${\begin{alignedat}{4}f(L\cup R)~&=~f(L)\cup f(R)\\\end{alignedat}}$$

но изображения других операций с базовым набором - нет , поскольку в целом гарантируются только следующие:

$${\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subseteq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)\\\end{alignedat}}$$

Другими словами, изображения распределяются по объединениям, но не обязательно по пересечениям, вычитанию множеств или симметричным различиям. Общим для этих трех последних операций является вычитание множеств: они либо являются вычитанием множеств, $L\setminus R$ или же их естественным образом можно определить как вычитание множества из двух множеств:

$$L\cap R=L\setminus (L\setminus R)\quad {\text{ and }}\quad L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R).$$

Если $L=X$ затем $f(X\setminus R)\supseteq f(X)\setminus f(R)$ где, как и в более общем случае, равенство не гарантируется. Если $f$ тогда сюръективно $f(X\setminus R)~\supseteq ~Y\setminus f(R),$ который можно переписать как: $f\left(R^{\complement }\right)~\supseteq ~f(R)^{\complement }$ если $R^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus R$ и $f(R)^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~Y\setminus f(R).$

Контрпримеры: изображения операций не распространяются

Показ изображения $f$ невозможность распределения по заданному пересечению :

$f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subsetneq f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right).$

Карта $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $x\mapsto x^{2},$ где $\mathbb {R}$ обозначает действительные числа . Наборы $A_{1}=[-4,2]$ и $A_{2}=[-2,4]$ показаны в синий сразу под $x$-ось при их пересечении $A_{3}=[-2,2]$ показано в зеленый .

Если $f:\{1,2\}\to Y$ является постоянным, $L=\{1\},$ и $R=\{2\}$ тогда все четыре набора содержаний

$${\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subsetneq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)\\f(X\setminus R)~&\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supsetneq ~f(L)\triangle f(R)\\\end{alignedat}}$$

являются строгими/правильными (то есть множества не равны), поскольку одна сторона является пустым множеством, а другая непустой. Таким образом, равенство не гарантируется даже для самых простых функций. Приведенный выше пример теперь обобщен, чтобы показать, что эти четыре равенства множеств могут не выполняться для любой постоянной функции , область определения которой содержит как минимум две (различные) точки.

Пример : Пусть $f:X\to Y$ быть любой постоянной функцией с изображением $f(X)=\{y\}$ и предположим, что $L,R\subseteq X$ являются непустыми непересекающимися подмножествами; то есть, $L\neq \varnothing ,R\neq \varnothing ,$ и $L\cap R=\varnothing ,$ откуда следует, что все множества $L~\triangle ~R=L\cup R,$ $\,L\setminus R=L,$ и $X\setminus R\supseteq L\setminus R$ не пусты и, следовательно, их изображения под $f$ все равны $\{y\}.$

1. Сдерживание $~f(L\setminus R)~\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)~$ строгий:
   $$\{y\}~=~f(L\setminus R)~\neq ~f(L)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing$$
   Другими словами: функции могут не распределяться при вычитании множества. $\,\setminus \,$
2. Сдерживание $~f(X\setminus R)~\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)~$ строгий:
   $$\{y\}~=~f(X\setminus R)~\neq ~f(X)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing .$$
3. Сдерживание $~f(L~\triangle ~R)~\supsetneq ~f(L)~\triangle ~f(R)~$ строгий:
   $$\{y\}~=~f\left(L~\triangle ~R\right)~\neq ~f(L)~\triangle ~f(R)~=~\{y\}\triangle \{y\}~=~\varnothing$$
   Другими словами: функции могут не распределяться по симметричной разнице. $\,\triangle \,$ (которое можно определить как вычитание множества из двух множеств: $L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)$).
4. Сдерживание $~f(L\cap R)~\subsetneq ~f(L)\cap f(R)~$ строгий:
   $$\varnothing ~=~f(\varnothing )~=~f(L\cap R)~\neq ~f(L)\cap f(R)~=~\{y\}\cap \{y\}~=~\{y\}$$
   Другими словами: функции могут не распределяться по пересечению множеств. $\,\cap \,$ (которое можно определить как вычитание множества из двух множеств: $L\cap R=L\setminus (L\setminus R)$).

Общим для операций над множествами в этих четырех примерах является то, что они либо представляют собой вычитание множества, либо вычитание множества. $\setminus$ (примеры (1) и (2)) или же их естественным образом можно определить как вычитание множеств из двух множеств (примеры (3) и (4)).

Мнемоника : Фактически, для каждой из четырех приведенных выше формул набора, для которых равенство не гарантируется, направление вложения (то есть, следует ли использовать $\,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,$) всегда можно вывести, представив себе функцию $f$ как постоянные , а два набора ( $L$ и $R$) как непустые непересекающиеся подмножества своей области определения. Это связано с тем, что для такой функции любое равенство не выполняется и устанавливается: одна сторона всегда будет $\varnothing$ а другой непустой – отсюда правильный выбор $\,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,$ можно вывести, ответив: «какая сторона пуста?» Например, чтобы решить, является ли $?$ в

$$f(L\triangle R)\setminus f(R)~\;~?~\;~f((L\triangle R)\setminus R)$$

должно быть $\,\subseteq {\text{ or }}\supseteq ,\,$ притворяться что $f$ является постоянным и что $L\triangle R$ и $R$ являются непустыми непересекающимися подмножествами $f$домен пользователя; тогда левая часть будет пуста (поскольку $f(L\triangle R)\setminus f(R)=\{f{\text{'s single value}}\}\setminus \{f{\text{'s single value}}\}=\varnothing$), что указывает на то, что $\,?\,$ должно быть $\,\subseteq \,$ (полученное утверждение всегда гарантированно будет истинным), потому что это выбор, который сделает

$$\varnothing ={\text{left hand side}}~\;~?~\;~{\text{right hand side}}$$

истинный. В качестве альтернативы правильное направление удержания также можно определить, рассматривая любую константу. $f:\{1,2\}\to Y$ с $L=\{1\}$ и $R=\{2\}.$

Более того, эту мнемонику можно также использовать для правильного вывода о том, всегда ли операция над множеством распространяется на изображения или прообразы; например, чтобы определить, есть ли $f(L\cap R)$ всегда равно $f(L)\cap f(R),$ или альтернативно, независимо от того, $f^{-1}(L\cap R)$ всегда равно $f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)$ (хотя $\,\cap \,$ здесь использовался, его можно заменить на $\,\cup ,\,\setminus ,{\text{ or }}\,\triangle$). Ответ на такой вопрос, как и прежде, можно получить, рассматривая эту постоянную функцию: ответ для общего случая (т. е. для произвольного $f,L,$ и $R$) всегда совпадает с ответом для этого выбора (постоянной) функции и непересекающихся непустых множеств.

Условия, гарантирующие, что изображения распределяются по заданным операциям

Характеристики того, когда равенство имеет место для всех множеств :

Для любой функции $f:X\to Y,$ следующие утверждения эквивалентны:

1. $f:X\to Y$ является инъективным .
   • Это означает: $f(x)\neq f(y)$ для всех отдельных $x,y\in X.$
2. $f(L\cap R)=f(L)\,\cap \,f(R)\,{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.$ (Знак равенства $\,=\,$ можно заменить на $\,\supseteq \,$).
3. $f(L\,\setminus R)=f(L)\,\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.$ (Знак равенства $\,=\,$ можно заменить на $\,\subseteq \,$).
4. $f(X\setminus R)=f(X)\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,~~~~~R\subseteq X.$ (Знак равенства $\,=\,$ можно заменить на $\,\subseteq \,$).
5. $f(L\,\triangle \,R)=f(L)\,\triangle \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.$ (Знак равенства $\,=\,$ можно заменить на $\,\subseteq \,$).
6. Любое из четырех утверждений (b)–(e), но с заменой слов «для всех» любым из следующих утверждений:
   1. "для всех одноэлементных подмножеств "
      • В частности, утверждение, вытекающее из (d), дает характеристику инъективности, которая явно включает только одну точку (а не две): $f$ инъективен тогда и только тогда, когда $f(x)\not \in f(X\setminus \{x\})\;{\text{ for every }}\,x\in X.$
   2. "для всех непересекающихся одноэлементных подмножеств"
      • Для утверждения (d) это то же самое, что: «для всех одноэлементных подмножеств» (поскольку определение « попарно непересекающихся » бессмысленно удовлетворяет любому семейству, состоящему ровно из одного множества).
   3. «для всех непересекающихся подмножеств»

В частности, если неизвестно, что отображение инъективно, то за исключением дополнительной информации нет гарантии, что какое-либо из равенств в утверждениях (b)–(e) выполнено.

Приведенный выше пример можно использовать, чтобы доказать эту характеристику. Действительно, сравнение этого примера с таким доказательством предполагает, что этот пример отражает фундаментальную причину, по которой одно из этих четырех равенств в утверждениях (b) – (e) может не выполняться (то есть представляет «что идет не так», когда множественное равенство не выполняется).

Условия для f(L⋂R) = f(L)⋂f(R)

$$f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}$$

Характеристики равенства : Следующие утверждения эквивалентны:

1. $f(L\cap R)~=~f(L)\cap f(R)$
2. $f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R)$
3. $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))$
   • Левая сторона $L\cap f^{-1}(f(R))$ всегда равен $L\cap f^{-1}(f(L)\cap f(R))$ (потому что $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))$ всегда держится).
4. $R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))$
5. $L\cap f^{-1}(f(R))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap L$
6. $R\cap f^{-1}(f(L))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap R$
7. Если $l\in L$ удовлетворяет $f(l)\in f(R)$ затем $f(l)\in f(L\cap R).$
8. Если $y\in f(L)$ но $y\notin f(L\cap R)$ затем $y\notin f(R).$
9. $f(L)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\setminus \,f(R)$
10. $f(R)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(R)\,\setminus \,f(L)$
11. $f(L\cup R)\setminus f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)$
12. Любое из трех вышеуказанных условий (i)–(k), но с символом подмножества $\,\subseteq \,$ заменен знаком равенства $\,=.\,$

Достаточные условия равенства : Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий:

1. $f$ является инъективным.
2. Ограничение $f{\big \vert }_{L\cup R}$ является инъективным.
3. $f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R$
4. $f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L$
5. $R$ является $f$-насыщенный; то есть, $f^{-1}(f(R))=R$
6. $L$ является $f$-насыщенный; то есть, $f^{-1}(f(L))=L$
7. $f(L)~\subseteq ~f(L\cap R)$
8. $f(R)~\subseteq ~f(L\cap R)$
9. $f(L\,\setminus \,R)~\subseteq ~f(L)\setminus \,f(R)$ или эквивалентно, $f(L\,\setminus \,R)~=~f(L)\setminus f(R)$
10. $f(R\,\setminus \,L)~\subseteq ~f(R)\setminus \,f(L)$ или эквивалентно, $f(R\,\setminus \,L)~=~f(R)\setminus f(L)$
11. $f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)$ или эквивалентно, $f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)$
12. $R\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq L$
13. $L\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq R$
14. $R\subseteq L$
15. $L\subseteq R$

Кроме того, всегда выполняются следующие условия:

$$f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)~=~L\cap f(R)$$

$$f\left(f^{-1}(L)\cup R\right)~=~(L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)$$

Условия для f(L\R) = f(L)\f(R)

$$f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}$$

Характеристики равенства : Следующие утверждения эквивалентны:

1. $f(L\setminus R)~=~f(L)\setminus f(R)$
2. $f(L\setminus R)~\subseteq ~f(L)\setminus f(R)$
3. $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R$
4. $L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap R\cap \operatorname {domain} f$
5. В любое время $y\in f(L)\cap f(R)$ затем $L\cap f^{-1}(y)\subseteq R.$
6. ${\textstyle f(L)\cap f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
   • Множество в правой части всегда равно $\left\{y\in f(L\cap R):L\cap f^{-1}(y)\,\subseteq R\right\}.$
7. ${\textstyle f(L)\cap f(R)~=~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
   • Это вышеуказанное условие (f), но с символом подмножества $\,\subseteq \,$ заменен знаком равенства $\,=.\,$

Необходимые условия равенства (исключая характеристики): Если равенство имеет место, то обязательно верно следующее:

1. $f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),$ или эквивалентно $f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).$
2. $L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap f^{-1}(f(L\cap R))$ или эквивалентно, $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))$
3. $R\cap f^{-1}(f(L))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))$

Достаточные условия равенства : Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий:

1. $f$ является инъективным.
2. Ограничение $f{\big \vert }_{L\cup R}$ является инъективным.
3. $f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R$ или эквивалентно, $R\cap \operatorname {domain} f~=~f^{-1}(f(R))$
4. $R$ является $f$-насыщенный; то есть, $R=f^{-1}(f(R)).$
5. $f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)$ или эквивалентно, $f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)$

Условия для f(X\R) = f(X)\f(R)

$$f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds, where }}f:X\to Y$$

Характеристики равенства : Следующие утверждения эквивалентны:

1. $f(X\setminus R)~=~f(X)\setminus f(R)$
2. $f(X\setminus R)~\subseteq ~f(X)\setminus f(R)$
3. $f^{-1}(f(R))\,\subseteq \,R$
4. $f^{-1}(f(R))\,=\,R\cap \operatorname {domain} f$
5. $R\cap \operatorname {domain} f$ является $f$-насыщенный.
6. В любое время $y\in f(R)$ затем $f^{-1}(y)\subseteq R.$
7. ${\textstyle f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$
8. ${\textstyle f(R)~=~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}$

где если $R\subseteq \operatorname {domain} f$ то этот список можно расширить, включив в него:

9. $R$ является $f$-насыщенный; то есть, $R=f^{-1}(f(R)).$

Достаточные условия равенства : Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий:

1. $f$ является инъективным.
2. $R$ является $f$-насыщенный; то есть, $R=f^{-1}(f(R)).$

Условия для f(L∆R) = f(L)∆f(R)

$$f\left(L~\triangle ~R\right)~\supseteq ~f(L)~\triangle ~f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}$$

Характеристики равенства : Следующие утверждения эквивалентны:

1. $f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)$
2. $f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)$
3. $f(L\,\setminus \,R)=f(L)\,\setminus \,f(R)$ и $f(R\,\setminus \,L)=f(R)\,\setminus \,f(L)$
4. $f(L\,\setminus \,R)\subseteq f(L)\,\setminus \,f(R)$ и $f(R\,\setminus \,L)\subseteq f(R)\,\setminus \,f(L)$
5. $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R$ и $R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L$
   • Включения $L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))$ и $R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(R))$ всегда держи.
6. $L\cap f^{-1}(f(R))~=~R\cap f^{-1}(f(L))$
   • Если это равенство набора, приведенного выше, выполнено, то этот набор также будет равен обоим $L\cap R\cap \operatorname {domain} f$ и $L\cap R\cap f^{-1}(f(L\cap R)).$
7. $L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))$ и $f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R).$

Необходимые условия равенства (исключая характеристики): Если равенство имеет место, то обязательно верно следующее:

1. $f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),$ или эквивалентно $f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).$
2. $L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))$

Достаточные условия равенства : Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий:

1. $f$ является инъективным.
2. Ограничение $f{\big \vert }_{L\cup R}$ является инъективным.

Точные формулы/равенства для изображений операций над множествами

Формулы для f(L\R) =

Для любой функции $f:X\to Y$ и любые наборы $L$ и $R,$

$${\begin{alignedat}{4}f(L\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~~~~~~~\;\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in V~~~~~~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)\setminus \left\{y\in f(S)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq L\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Формулы для f(X\R) =

принимая $L:=X=\operatorname {domain} f$ в приведенных выше формулах дает:

$${\begin{alignedat}{4}f(X\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(X)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in W~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(R)\\[0.4ex]\end{alignedat}}$$

где набор $\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}$ соответствует изображению под $f$ из крупнейших $f$-насыщенное подмножество $R.$

• В общем, только $f(X\setminus R)\,\supseteq \,f(X)\setminus f(R)$ всегда выполняется и равенство не гарантируется; но заменив " $f(R)$"со своим подмножеством" $\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}$" приводит к формуле, в которой всегда гарантируется равенство:
  $$f(X\setminus R)\,=\,f(X)\setminus \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.$$
  Из этого следует, что:
  $$f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)\quad {\text{ if and only if }}\quad f(R)=\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\quad {\text{ if and only if }}\quad f^{-1}(f(R))\subseteq R.$$
• Если $f_{R}:=\left\{y\in f(X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}$ затем $f(X\setminus R)=f(X)\setminus f_{R},$ что можно записать более симметрично как $f(X\setminus R)=f_{X}\setminus f_{R}$ (с $f_{X}=f(X)$).

Формулы для f(L∆R) =

Это следует из $L\,\triangle \,R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)$ и приведенные выше формулы для образа множества вычитания, что для любой функции $f:X\to Y$ и любые наборы $L$ и $R,$

$${\begin{alignedat}{4}f(L\,\triangle \,R)&=Y~~~\;~~~\;~~~\;\setminus \left\{y\in Y~~~\,~~~\;~~~\,~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cup R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in V~~~\,~~~~~~~~~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)~~\,~~~\,~\,\setminus \left\{y\in f(S)~~~\,~~~\;~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq (L\cup R)\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Формулы для f(L) =

Из приведенных выше формул для образа вычитания множества следует, что для любой функции $f:X\to Y$ и любой набор $L,$

$${\begin{alignedat}{4}f(L)&=Y~~~\;\,\setminus \left\{y\in Y~~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=W~~~\,\setminus \left\{y\in W~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(L)\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

Это легче рассматривать как следствие того факта, что для любого $y\in Y,$ $f^{-1}(y)\cap L=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $y\not \in f(L).$

Формулы для f(L⋂R) =

Из приведенных выше формул для образа множества следует, что для любой функции $f:X\to Y$ и любые наборы $L$ и $R,$

$${\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)&=Y~~~~~\setminus \left\{y\in Y~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in U~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad U\supseteq f(L)\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in V~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(R)\\[0.4ex]&=f(L)\cap f(R)\setminus \left\{y\in f(L)\cap f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.7ex]\end{alignedat}}$$

где, кроме того, для любого $y\in Y,$

$L\cap f^{-1}(y)\subseteq L\setminus R~$ тогда и только тогда, когда $~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing ~$ тогда и только тогда, когда $~R\cap f^{-1}(y)\subseteq R\setminus L~$ тогда и только тогда, когда $~y\not \in f(L\cap R).$

Наборы $U$ и $V$ упомянутое выше могло бы, в частности, быть любым из множеств $f(L\cup R),\;\operatorname {Im} f,$ или $Y,$ например.

(Предварительные) изображения операций над (предварительным) изображениями

Позволять $L$ и $R$ быть произвольными множествами, $f:X\to Y$ быть любой картой, и пусть $A\subseteq X$ и $C\subseteq Y.$

Изображение прообраза	Прообраз изображения	Дополнительные предположения о множествах
$f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)=L\cap f(R)$	$f^{-1}(f(L)\cap R)~\supseteq ~L\cap f^{-1}(R)$	Никто
$f\left(f^{-1}(L)\cup R\right)~=~(L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)~\subseteq ~L\cup f(R)$	$f^{-1}(f(A)\cup R)~\supseteq ~A\cup f^{-1}(R)$ Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий: $f(A)\subseteq R.$ $A\subseteq f^{-1}(R).$	$A\subseteq X$

(Предварительно) Изображения операций над изображениями

С $f(L)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$

$${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(f(L)\setminus f(L\setminus R))&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in f^{-1}(f(L\cap R))~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\\end{alignedat}}$$

С $f(X)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$

$${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in X~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\&~=~&&X\setminus f^{-1}(f(L\setminus R))\\\end{alignedat}}$$

С использованием $L:=X,$ это становится $~f(X)\setminus f(X\setminus R)~=~\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}~$ и

$${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(X\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(X\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{r\in R\cap X~:~f^{-1}(f(r))\subseteq R\right\}\\&\subseteq &&R\\\end{alignedat}}$$

и так

$${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X\setminus L)~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\right)\\&=&&\{x\in X\setminus L~:~f(x)\not \in f(L)\}\\&=&&X\setminus f^{-1}(f(L))\\&\subseteq &&X\setminus L\\\end{alignedat}}$$

(Предварительные) изображения и декартовы произведения Π

Позволять $\prod Y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{j\in J}Y_{j}$ и для каждого $k\in J,$ позволять

$$\pi _{k}~:~\prod _{j\in J}Y_{j}~\to ~Y_{k}$$

обозначим каноническую проекцию на $Y_{k}.$

Определения

Учитывая коллекцию карт $F_{j}:X\to Y_{j}$ индексируется $j\in J,$ определить карту

$${\begin{alignedat}{4}\left(F_{j}\right)_{j\in J}:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J},\\\end{alignedat}}$$

что также обозначается $F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.$ Это уникальная карта, удовлетворяющая

$$\pi _{j}\circ F_{\bullet }=F_{j}\quad {\text{ for all }}j\in J.$$

И наоборот, если дана карта

$$F~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}$$

затем $F=\left(\pi _{j}\circ F\right)_{j\in J}.$Явно это означает, что если

$$F_{k}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{k}\circ F~:~X~\to ~Y_{k}$$

определяется для каждого $k\in J,$ затем $F$ уникальная карта, удовлетворяющая: $\pi _{j}\circ F=F_{j}$ для всех $j\in J;$ или сказать короче, $F=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.$

Карта $F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}$ не следует путать с декартовым произведением $\prod _{j\in J}F_{j}$ из этих карт, которая по определению является картой

$${\begin{alignedat}{4}\prod _{j\in J}F_{j}:\;&&\prod _{j\in J}X&&~\;\to \;~&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in J}&&~\;\mapsto \;~&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J}\\\end{alignedat}}$$

с доменом $\prod _{j\in J}X=X^{J}$ скорее, чем $X.$

Прообраз и образы декартова произведения

Предполагать $F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}.$

Если $A~\subseteq ~X$ затем

$$F_{\bullet }(A)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\prod _{j\in J}F_{j}(A).$$

Если $B~\subseteq ~\prod _{j\in J}Y_{j}$ затем

$$F_{\bullet }^{-1}(B)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)$$

где равенство будет иметь место, если $B=\prod _{j\in J}\pi _{j}(B),$ в этом случае ${\textstyle F_{\bullet }^{-1}(B)=\displaystyle \bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)}$ и

$$F_{\bullet }^{-1}\left(\prod _{j\in J}\pi _{j}(B)\right)~=~\bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right).$$

( уравнение 11а )

Для того чтобы равенство имело место, достаточно существования семьи. $\left(B_{j}\right)_{j\in J}$ подмножеств $B_{j}\subseteq Y_{j}$ такой, что $B=\prod _{j\in J}B_{j},$ в этом случае:

$$F_{\bullet }^{-1}\left(\prod _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(B_{j}\right)$$

( уравнение 11б )

и $\pi _{j}(B)=B_{j}$ для всех $j\in J.$

(Предварительно) Изображение одного набора

Изображение	Прообраз	Дополнительные предположения
${\begin{alignedat}{4}f(L)&=f(L\cap \operatorname {domain} f)\\&=f(L\cap X)\\&=Y~~~~\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\,:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\\end{alignedat}}$	${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap \operatorname {Im} f)\\&=f^{-1}(L\cap Y)\end{alignedat}}$	Никто
$f(X)=\operatorname {Im} f\subseteq Y$	${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y)&=X\\f^{-1}(\operatorname {Im} f)&=X\end{alignedat}}$	Никто
${\begin{alignedat}{4}f(L)&=f(L\cap R~&&\cup ~&&(&&L\setminus R))\\&=f(L\cap R)~&&\cup ~f&&(&&L\setminus R)\end{alignedat}}$	${\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap R&&\cup &&(&&L&&\setminus &&R))\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}$	Никто
$\operatorname {Im} f=f(X)~=~f(L)\cup f(X\setminus L)$	${\begin{alignedat}{4}X&=f^{-1}(L)\cup f^{-1}(Y&&\setminus L)\\&=f^{-1}(L)\cup f^{-1}(\operatorname {Im} f&&\setminus L)\end{alignedat}}$	Никто
$f{\big \vert }_{L}(R)=f(L\cap R)$	$\left(f{\big \vert }_{L}\right)^{-1}(R)=L\cap f^{-1}(R)$	Никто
$(g\circ f)(L)~=~g(f(L))$	$(g\circ f)^{-1}(L)~=~f^{-1}\left(g^{-1}(L)\right)$	Никто ( $f$ и $g$ являются произвольными функциями).
$f\left(f^{-1}(L)\right)=L\cap \operatorname {Im} f$	$f^{-1}(f(L))~\supseteq ~L\cap f^{-1}(\operatorname {Im} f)=L\cap f^{-1}(Y)$	Никто
$f\left(f^{-1}(Y)\right)=f\left(f^{-1}(\operatorname {Im} f)\right)=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=f^{-1}(\operatorname {Im} f)=X$	Никто
$f\left(f^{-1}(f(L))\right)=f(L)$	$f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(L)\right)\right)=f^{-1}(L)$	Никто

Включения ⊆ и пересечения ⋂ изображений и прообразов

Эквивалентности и значения образов и прообразов

Изображение	Прообраз	Дополнительные предположения о множествах
$f(L)\subseteq \operatorname {Im} f\subseteq Y$	$f^{-1}(L)=X$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Im} f\subseteq L$	Никто
$f(L)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $L\cap \operatorname {domain} f=\varnothing$	$f^{-1}(L)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $L\cap \operatorname {Im} f=\varnothing$	Никто
$f(A)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A=\varnothing$	$f^{-1}(C)=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $C\subseteq Y\setminus \operatorname {Im} f$	$A\subseteq X$ и $C\subseteq Y$
$L\subseteq R$ подразумевает $f(L)\subseteq f(R)$	$L\subseteq R$ подразумевает $f^{-1}(L)\subseteq f^{-1}(R)$	Никто
Следующие действия эквивалентны: $f(L)\subseteq f(R)$ $f(L\cup R)=f(R)$ $L\cap \operatorname {domain} f~\subseteq ~f^{-1}(f(R))$	Следующие действия эквивалентны: $f^{-1}(L)\subseteq f^{-1}(R)$ $f^{-1}(L\cup R)=f^{-1}(R)$ $L\cap \operatorname {Im} f\subseteq R$ Если $C~\subseteq ~\operatorname {Im} f$ затем $f^{-1}(C)~\subseteq ~f^{-1}(R)$ тогда и только тогда, когда $C~\subseteq ~R.$	$C\subseteq \operatorname {Im} f$
Следующие действия эквивалентны, когда $C\subseteq Y:$ $C\subseteq f(R)$ $f(B)=C$ для некоторых $B\subseteq R$ $f(B)=C$ для некоторых $B\subseteq R\cap \operatorname {domain} f$	Следующие действия эквивалентны: $L\subseteq f^{-1}(R)$ $f(L)\subseteq R$ и $L\subseteq \operatorname {domain} f$ Следующие действия эквивалентны, когда $A\subseteq X:$ $A\subseteq f^{-1}(R)$ $f(A)\subseteq R$	$A\subseteq X$ и $C\subseteq Y$
Следующие действия эквивалентны: $f(A)~\supseteq ~f(X\setminus A)$ $f(A)=\operatorname {Im} f$	Следующие действия эквивалентны: $f^{-1}(C)~\supseteq ~f^{-1}(Y\setminus C)$ $f^{-1}(C)=X$	$A\subseteq X$ и $C\subseteq Y$
$f\left(f^{-1}(L)\right)\subseteq L$ Равенство имеет место тогда и только тогда, когда верно следующее: $L\subseteq \operatorname {Im} f.$ Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий: $L\subseteq Y$ и $f:X\to Y$ является сюръективным.	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ Равенство имеет место тогда и только тогда, когда верно следующее: $A$ является $f$-насыщенный. Равенство имеет место, если верно любое из следующих условий: $f$ является инъективным.	$A\subseteq X$

Пересечение множества и (про)образа

Следующие утверждения эквивалентны:

1. $\varnothing =f(L)\cap R$
2. $\varnothing =L\cap f^{-1}(R)$
3. $\varnothing =f^{-1}(f(L))\cap f^{-1}(R)$
4. $\varnothing =f^{-1}(f(L)\cap R)$

Таким образом, для любого $t,$

$$t\not \in f(L)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\cap f^{-1}(t)=\varnothing .$$

Последовательности и коллекции семейств множеств

Определения

Семейство множеств или просто семейство — это множество, элементами которого являются множества. Семья закончилась $X$ представляет собой семейство подмножеств $X.$

Мощность набора ​ $X$ представляет собой совокупность всех подмножеств $X$:

$$\wp (X)~\colon =~\{\;S~:~S\subseteq X\;\}.$$

Обозначение последовательностей множеств

Через, $S{\text{ and }}T$ будут произвольными множествами и $S_{\bullet }$ и будет обозначать сеть или последовательность множеств, причем, если это последовательность, то это будет обозначаться любым из обозначений

$$S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\qquad {\text{ or }}\qquad S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$$

где $\mathbb {N}$ обозначает натуральные числа . Обозначение $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ указывает на то, что $S_{\bullet }$ представляет собой , управляемую сеть $(I,\leq ),$ которая (по определению) является последовательностью , если множество $I,$ сети который называется набором индексов , представляет собой натуральные числа (то есть, если $I=\mathbb {N}$) и $\,\leq \,$ это естественный порядок на $\mathbb {N} .$

Непересекающиеся и монотонные последовательности множеств

Если $S_{i}\cap S_{j}=\varnothing$ для всех различных индексов $i\neq j$ затем $S_{\bullet }$ называется попарно непересекающимся или просто непересекающимся . Последовательность или сеть $S_{\bullet }$ множества называется возрастающим или неубывающим, если (соответственно убывающим или невозрастающим ), если для всех индексов $i\leq j,$ $S_{i}\subseteq S_{j}$ (соответственно $S_{i}\supseteq S_{j}$). Последовательность или сеть $S_{\bullet }$ множества называется строго возрастающим (соответственно строго убывающим ), если оно не убывает (соответственно не возрастает), а также $S_{i}\neq S_{j}$ для всех различных индексов $i{\text{ and }}j.$ Она называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая, и строго монотонной, если строго возрастающая или строго убывающая.

Последовательности или сеть $S_{\bullet }$ говорят, увеличивается до $S,$ обозначается $S_{\bullet }\uparrow S$ или $S_{\bullet }\nearrow S,$ если $S_{\bullet }$ растет, и объединение всех $S_{i}$ является $S;$ то есть, если

$$\bigcup _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\subseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.$$

Говорят, что оно уменьшится до $S,$ обозначается $S_{\bullet }\downarrow S$ или $S_{\bullet }\searrow S,$ если $S_{\bullet }$ увеличивается и пересечение всех $S_{i}$ является $S$ то есть, если

$$\bigcap _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\supseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.$$

Определения поэлементных операций над семействами

Если ${\mathcal {L}}{\text{ and }}{\mathcal {R}}$ являются семействами множеств, и если $S$ это любой набор, затем определите:

$${\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cup R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}$$

$${\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cap R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}$$

$${\mathcal {L}}\;(\setminus )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\setminus R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}$$

$${\mathcal {L}}\;(\triangle )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\;\triangle \;R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}$$

$${\mathcal {L}}{\big \vert }_{S}~\colon =~\{L\cap S~:~L\in {\mathcal {L}}\}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{S\}$$

которые соответственно называются поэлементным объединением , поэлементным пересечением , поэлементной ( множественной ) разницей , поэлементной симметричной разницей и следом / ограничением ${\mathcal {L}}$ к $S.$ Обычное объединение, пересечение и разность множеств определяются как обычно и обозначаются обычными обозначениями: ${\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\;\triangle \;{\mathcal {R}},$ и ${\mathcal {L}}\setminus {\mathcal {R}},$ соответственно. Эти поэлементные операции над семействами множеств играют важную роль, среди прочего, в теории фильтров и предфильтров на множествах.

Закрытие вверх в $X$ семьи ${\mathcal {L}}\subseteq \wp (X)$ это семья:

$${\mathcal {L}}^{\uparrow X}~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\{\;S~:~L\subseteq S\subseteq X\;\}~=~\{\;S\subseteq X~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}L\subseteq S\;\}$$

и закрытие вниз ${\mathcal {L}}$ это семья:

$${\mathcal {L}}^{\downarrow }~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\wp (L)~=~\{\;S~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}S\subseteq L\;\}.$$

Определения категорий семейств множеств

скрывать Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Обязательно верно для ${\mathcal {F}}\colon$ или, есть ${\mathcal {F}}$ закрыто под:	Режиссер к $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	ФИП
π -система
Полукольцо										Никогда
Полуалгебра (Полуполе)										Никогда
Монотонный класс						только если $A_{i}\searrow$	только если $A_{i}\nearrow$
𝜆 система (Система Дынкина)				только если $A\subseteq B$			только если $A_{i}\nearrow$ или они непересекающиеся			Никогда
Кольцо (Теория порядка)
Кольцо (Теория меры)										Никогда
δ-кольцо										Никогда
𝜎-Кольцо										Никогда
Алгебра (Поле)										Никогда
𝜎-Алгебра (𝜎-Поле)										Никогда
Двойной идеал
Фильтр				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Предварительный фильтр (основа фильтра)				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Основание фильтра				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Открытая топология							(даже произвольный $\cup$)			Никогда
Закрытая топология						(даже произвольный $\cap$)				Никогда
Обязательно верно для ${\mathcal {F}}\colon$ или, есть ${\mathcal {F}}$ закрыто под:	направленный вниз	конечный перекрестки	конечный профсоюзы	родственник дополняет	дополняет в $\Omega$	счетный перекрестки	счетный профсоюзы	содержит $\Omega$	содержит $\varnothing$	Конечный Пересечение Свойство
Кроме того, полукольцо — это π -система , в которой каждое дополнение $B\setminus A$ равно конечному дизъюнктному объединению множеств из ${\mathcal {F}}.$ Полуалгебра дополнение – это полукольцо, в котором каждое $\Omega \setminus A$ равно конечному дизъюнктному объединению множеств из ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ являются произвольными элементами ${\mathcal {F}}$ и предполагается, что ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Семья ${\mathcal {L}}$ называется изотоном , восходящим или восходящим, замкнутым в $X$ если ${\mathcal {L}}\subseteq \wp (X)$ и ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\uparrow X}.$ Семья ${\mathcal {L}}$ называется закрытым вниз, если ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\downarrow }.$

Семья ${\mathcal {L}}$ говорят, что это:

• замкнуто относительно конечных пересечений (соответственно замкнуто относительно конечных объединений ), если всякий раз, когда $L,R\in {\mathcal {L}}$ затем $L\cap R\in {\mathcal {L}}$ (соответственно, $L\cup R\in {\mathcal {L}}$).
• замкнуто относительно счетных пересечений (соответственно замкнуто относительно счетных объединений ), если всякий раз $L_{1},L_{2},L_{3},\ldots$ являются элементами ${\mathcal {L}}$ тогда как и их пересечения $\bigcap _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}\cap \cdots$ (соответственно, как и их союз $\bigcup _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\cup \cdots$).
• замкнутый относительно дополнения в (или относительно ) $X$ если когда-нибудь $L\in {\mathcal {L}}$ затем $X\setminus L\in {\mathcal {L}}.$

Семья ${\mathcal {L}}$ множеств называется a/an:

• π -система , если ${\mathcal {L}}\neq \varnothing$ и ${\mathcal {L}}$ замкнуто относительно конечных пересечений.
  • Каждая непустая семья ${\mathcal {L}}$ содержится в единственном наименьшем (по отношению к $\subseteq$) π −система, которая обозначается $\pi ({\mathcal {L}})$ и называется π -системой , порожденной ${\mathcal {L}}.$
• подбазу фильтра и говорят, что она обладает свойством конечного пересечения , если ${\mathcal {L}}\neq \varnothing$ и $\varnothing \not \in \pi ({\mathcal {L}}).$
• фильтровать по $X$ если ${\mathcal {L}}\neq \varnothing$ представляет собой семейство подмножеств $X$ то есть π -система, замкнута вверх в $X,$ а также является правильным , что по определению означает, что он не содержит пустого множества в качестве элемента.
• префильтр или база фильтров , если это непустое семейство подмножеств некоторого множества $X$ чье закрытие вверх в $X$ это фильтр на $X.$
• алгебра на $X$ является непустым семейством подмножеств $X$ содержащее пустое множество, образующее π -систему, а также замкнутое относительно дополнения относительно $X.$
• σ-алгебра на $X$ является алгеброй на $X$ замкнутый относительно счетных объединений (или, что то же самое, замкнутый относительно счетных пересечений).

Последовательности множеств часто возникают в теории меры .

Алгебра множеств

См. Также: Алгебра множеств и Категория: Свойства бинарных операций.

Семья ​ $\Phi$ подмножеств множества $X$ называется алгеброй множеств, если $\varnothing \in \Phi$ и для всех $L,R\in \Phi ,$ все три набора $X\setminus R,\,L\cap R,$ и $L\cup R$ являются элементами $\Phi .$ В статье на эту тему перечислены идентичности и другие отношения этих трех операций.

Любая алгебра множеств является также кольцом множеств. и π-система .

Алгебра, порожденная семейством множеств

Учитывая любую семью ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$ есть уникальный самый маленький алгебра множеств в $X$ содержащий ${\mathcal {S}}.$ Она называется алгеброй, порожденной ${\mathcal {S}}$ и это будет обозначаться через $\Phi _{\mathcal {S}}.$ Эту алгебру можно построить следующим образом:

1. Если ${\mathcal {S}}=\varnothing$ затем $\Phi _{\mathcal {S}}=\{\varnothing ,X\}$ и мы закончили. Альтернативно, если ${\mathcal {S}}$ тогда пусто ${\mathcal {S}}$ может быть заменен на $\{\varnothing \},\{X\},{\text{ or }}\{\varnothing ,X\}$ и продолжить строительство.
2. Позволять ${\mathcal {S}}_{0}$ быть семьей всех наборов в ${\mathcal {S}}$ вместе с их дополнениями (взятыми в $X$).
3. Позволять ${\mathcal {S}}_{1}$ — семейство всех возможных конечных пересечений множеств в ${\mathcal {S}}_{0}.$
4. Тогда алгебра, порожденная ${\mathcal {S}}$ это набор $\Phi _{\mathcal {S}}$ состоящее из всех возможных конечных объединений множеств из ${\mathcal {S}}_{1}.$

Поэлементные операции над семействами

Позволять ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}},$ и ${\mathcal {R}}$ быть семьями наборов над $X.$ В левых частях следующих тождеств: ${\mathcal {L}}$ самая левая семья, ${\mathcal {M}}$ находится в середине , и ${\mathcal {R}}$ это самый правый набор.

Коммутативность :

$${\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cup )\;{\mathcal {L}}$$

$${\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cap )\;{\mathcal {L}}$$

Ассоциативность :

$$[{\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {M}}]\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cup )\;[{\mathcal {M}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}]$$

$$[{\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {M}}]\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;[{\mathcal {M}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}]$$

Личность :

$${\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}$$

$${\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{X\}={\mathcal {L}}$$

$${\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}$$

Доминирование :

$${\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{X\}=\{X\}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing$$

$${\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{\varnothing \}=\{\varnothing \}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing$$

$${\mathcal {L}}\;(\cup )\;\varnothing =\varnothing$$

$${\mathcal {L}}\;(\cap )\;\varnothing =\varnothing$$

$${\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\varnothing =\varnothing$$

$$\varnothing \;(\setminus )\;{\mathcal {R}}=\varnothing$$

Набор мощности

$$\wp (L\cap R)~=~\wp (L)\cap \wp (R)$$

$$\wp (L\cup R)~=~\wp (L)\ (\cup )\ \wp (R)~\supseteq ~\wp (L)\cup \wp (R).$$

Если $L$ и $R$ являются подмножествами векторного пространства $X$ и если $s$ тогда это скаляр

$$\wp (sL)~=~s\wp (L)$$

$$\wp (L+R)~\supseteq ~\wp (L)+\wp (R).$$

Последовательности наборов

Предположим, что $L$ любое множество такое, что $L\supseteq R_{i}$ для каждого индекса $i.$ Если $R_{\bullet }$ уменьшается до $R$ затем $L\setminus R_{\bullet }:=\left(L\setminus R_{i}\right)_{i}$ увеличивается до $L\setminus R$ тогда как если вместо этого $R_{\bullet }$ увеличивается до $R$ затем $L\setminus R_{\bullet }$ уменьшается до $L\setminus R.$

Если $L{\text{ and }}R$ являются произвольными множествами, и если $L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i}$ увеличивается (соответственно уменьшается) до $L$ затем $\left(L_{i}\setminus R\right)_{i}$ увеличивается (соответственно уменьшается) до $L\setminus R.$

Разделы

Предположим, что $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ — это любая последовательность множеств, которая $S\subseteq \bigcup _{i}S_{i}$ — любое подмножество, и для каждого индекса $i,$ позволять $D_{i}=\left(S_{i}\cap S\right)\setminus \bigcup _{m=1}^{i}\left(S_{m}\cap S\right).$ Затем $S=\bigcup _{i}D_{i}$ и $D_{\bullet }:=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность попарно непересекающихся множеств.

Предположим, что $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ не убывает, пусть $S_{0}=\varnothing ,$ и пусть $D_{i}=S_{i}\setminus S_{i-1}$ для каждого $i=1,2,\ldots .$ Затем $\bigcup _{i}S_{i}=\bigcup _{i}D_{i}$ и $D_{\bullet }=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность попарно непересекающихся множеств.

См. также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
• Дополнение (теория множеств) - множество элементов, не входящих в данное подмножество.
• Изображение (математика)#Свойства – Набор значений функции.
• Принцип включения-исключения - Техника счета в комбинаторике
• Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список математических тождеств
• Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
• Принцип ячейки : если предметов больше, чем коробок с ними, одна коробка должна содержать как минимум два предмета.
• Набор (математика) - Коллекция математических объектов.
• Простые теоремы алгебры множеств
• Симметричная разница (теория множеств) — элементы ровно в одном из двух наборов. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Союз (теория множеств) - Набор элементов в любом из некоторых множеств.

Примечания

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN  81-203-0871-9 .
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Спрингер. ISBN  1-85233-905-5 . .
• Былинский, Чеслав (2004). «Некоторые основные свойства множеств» . Журнал формализованной математики . 1 . Проверено 5 октября 2021 г.
• Курант, Ричард, Герберт Роббинс, Ян Стюарт, Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США, 1996. ISBN   978-0-19-510519-3 . «ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ» .
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-108-47368-2 . OCLC   1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN  9780442030643 . Збл   0087.04403 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27 (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN  978-0-387-90125-1 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Монк, Джеймс Дональд (1969). Введение в теорию множеств (PDF) . Международная серия по чистой и прикладной математике. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-042715-0 . ОСЛК   1102 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Падлевска, Беата (1990). «Семейства множеств» . Журнал формализованной математики . 1 : 1 . Проверено 5 октября 2021 г.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co.  978-0-356-02077-8 . OCLC   463753 .
• Столл, Роберт Р.; Теория множеств и логика , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications (1979). ISBN   0-486-63829-4 . «Алгебра множеств», стр. 16–23 .
• Трибулец, Зинаида (2002). «Свойства подмножеств» (PDF) . Журнал формализованной математики . 1 : 1 . Проверено 5 октября 2021 г.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .

Внешние ссылки

• Операции с множествами в ProvenMath