Пустая правда

В математике и логике пустая истина — это условное или универсальное утверждение (универсальное утверждение, которое можно преобразовать в условное утверждение), которое истинно, поскольку антецедент не может быть удовлетворен . ^[1] Иногда говорят, что утверждение является абсурдно правдивым, поскольку на самом деле оно ничего не говорит. ^[2]Например, утверждение «все сотовые телефоны в комнате выключены» будет верным , если в комнате нет ни одного мобильного телефона. В этом случае утверждение «все сотовые телефоны в комнате включены » также будет бессмысленно верным, как и их соединение : «все сотовые телефоны в комнате включены и выключены», что в противном случае было бы бессвязно и ложно.

Более формально, относительно четко определенное использование относится к условному утверждению (или универсальному условному утверждению) с ложным антецедентом . ^[1]^[3]^[2]^[4] Одним из примеров такого утверждения является «если Токио находится в Испании, то Эйфелева башня находится в Боливии».

Такие утверждения считаются пустыми истинами, потому что тот факт, что антецедент ложен, не позволяет использовать это утверждение для вывода чего-либо об истинностном значении последующего . По сути, условное утверждение, основанное на материальном условии , истинно, когда антецедент («Токио находится в Испании» в примере) ложен независимо от того, является ли заключение или следствие («Эйфелева башня находится в Боливии» в пример) является истинным или ложным, потому что материальное условное выражение определяется таким образом.

Примеры, общие для повседневной речи, включают условные фразы, используемые как идиомы невероятности, такие как «когда ад замерзнет ...» и «когда свиньи смогут летать ...», указывающие на то, что говорящий не принимает это до тех пор, пока не будет выполнено данное (невозможное) условие. какое-то соответствующее (обычно ложное или абсурдное) утверждение.

В чистой математике абсурдно истинные утверждения обычно не представляют интереса сами по себе, но они часто возникают в качестве базового случая доказательств с помощью математической индукции . ^[5] Это понятие имеет отношение к чистой математике , а также к любой другой области, использующей классическую логику .

За пределами математики утверждения в форме пустой истины, хотя и логически обоснованы, тем не менее могут вводить в заблуждение. Такие утверждения делают разумные утверждения о квалифицированных объектах, которые на самом деле не существуют . Например, ребенок может честно сказать своему родителю: «Я съел все овощи на своей тарелке», хотя на тарелке ребенка с самого начала не было овощей. В этом случае родитель может поверить, что ребенок действительно съел немного овощей, хотя это не так.

Область применения концепции [ править ]

Заявление $S$ является «бессмысленно истинным», если оно напоминает материальное условное утверждение $P\Rightarrow Q$ , где антецедент $P$ известно, что это ложь. ^[1]^[3]^[2]

К бессмысленно истинным утверждениям, которые можно свести ( с соответствующими преобразованиями ) к этой базовой форме (материальному условному), относятся следующие универсально квантифицированные утверждения:

$\forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)$ , где дело в том, что $\forall x:\neg P(x)$ . ^[4]
$\forall x\in A:Q(x)$ $\forall x\in A:Q (x)$ , где множество $A$ $А$ пусто .
- Эта логическая форма $\forall x\in A:Q(x)$ может быть преобразовано в материальную условную форму, чтобы легко выявить антецедент . Для приведенного выше примера $S$ «все сотовые телефоны в комнате выключены», формально это можно записать как $\forall x\in A:Q(x)$ где $A$ это набор всех мобильных телефонов в номере и $Q(x)$ является " $x$ выключен». Это можно записать в материальный условный оператор $\forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)$ где $B$ совокупность всех вещей в комнате (включая мобильные телефоны, если они есть в комнате), антецедент $P(x)$ является " $x$ это сотовый телефон", и, как следствие, $Q(x)$ является " $x$ выключен».
$\forall \xi :Q(\xi )$ , где символ $\xi$ ограничивается типом , не имеющим представителей.

Пустые истины чаще всего появляются в классической логике с двумя значениями истинности . Однако пустые истины могут появиться и, например, в интуиционистской логике , в тех же ситуациях, что приведены выше. Действительно, если $P$ ложно, то $P\Rightarrow Q$ приведет к пустой истине в любой логике, использующей материальное условное выражение ; если $P$ является необходимой ложью она также приведет к пустой истине , то при строгом условном выражении .

Другие неклассические логики, такие как логика релевантности , могут пытаться избежать пустых истин, используя альтернативные кондиционалы (например, в случае контрфактического кондиционала ).

В компьютерном программировании [ править ]

Во многих средах программирования имеется механизм запроса, удовлетворяет ли каждый элемент в коллекции некоторым предикатам. Обычно такой запрос всегда оценивается как истинный для пустой коллекции. Например:

В JavaScript массива метод everyвыполняет предоставленную функцию обратного вызова один раз для каждого элемента, присутствующего в массиве, останавливаясь только (если и когда) находит элемент, для которого функция обратного вызова возвращает false. Примечательно, что вызов every метод для пустого массива вернет true для любого условия. ^[6]
В Python all функция возвращает True если все элементы данной итерации True. Функция также возвращает True когда задана итерация нулевой длины. ^[7]
В Русте Iterator::all функция принимает итератор и предикат и возвращает true только когда предикат возвращается true для всех элементов, созданных итератором, или если итератор не создает элементов. ^[8]

Примеры [ править ]

Эти примеры, один из математики , другой из естественного языка , иллюстрируют концепцию пустых истин:

«Для любого целого числа x , если x > 5, то x > 3 ». ^[9] – Это утверждение истинно не безосновательно (поскольку некоторые целые числа действительно больше 5), но некоторые из его последствий верны лишь в неопределённом смысле: например, когда x равно целому числу 2, из этого утверждения следует бессмысленная истина о том, что «если 2 > 5, то 2 > 3 ".
«Все мои дети — козлы» — пустая истина, когда ее произносит человек, не имеющий детей. Точно так же фраза «Ни один из моих детей не козел» также будет пустой истиной, если ее произнесет один и тот же человек.

См. также [ править ]

Определенное описание
Законы де Моргана – в частности, закон, согласно которому универсальное утверждение истинно только в том случае, если не существует контрпримера: $\forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)$
Пустая сумма и пустой продукт
Пустая функция
Парадоксы материальной подоплеки , особенно принцип взрыва.
Предпосылка , двойной вопрос
Положение дел (философия)
Тавтология (логика) – еще один тип истинного утверждения, которое также не несет никакой существенной информации.
Тривиальность (математика) и вырождение (математика)

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Пустая правда» . web.cse.ohio-state.edu . Архивировано из оригинала 18 ноября 2023 года . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Пустая правда — CS2800 wiki» . курсы.cs.cornell.edu . Архивировано из оригинала 21 июня 2023 года . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Определение: Пустая истина - ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эдвардс, Швейцария (18 января 1998 г.). «Бессмысленная правда» (PDF) . swarthmore.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 28 апреля 2021 года . Проверено 14 декабря 2019 г.
^ Болдуин, Дуглас Л.; Скрэгг, Грег В. (2011), Алгоритмы и структуры данных: наука о вычислениях , Cengage Learning, стр. 261, ISBN 978-1-285-22512-8
^ «Array.prototype.every() — JavaScript | MDN» . http://developer.mozilla.org .
^ «Встроенные функции – документация Python 3.10.2» . docs.python.org .
^ «Итератор в std::iter — Rust» . doc.rust-lang.org .
^ «логика – что такое пустая истина?» . Математический обмен стеками .

Библиография [ править ]

Блэкберн, Саймон (1994). «пустой», Оксфордский философский словарь . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, стр. 388.
Дэвид Х. Сэнфорд (1999). "импликация". Кембриджский философский словарь , 2-е место. ред., с. 420.
Пиво, Илан; Бен-Давид, Шохам; Эйснер, Синди; Роде, Йоав (1997). «Эффективное обнаружение вакуума в формулах ACTL». Компьютерная проверка: 9-я Международная конференция, CAV'97, Хайфа, Израиль, 22–25 июня 1997 г., Материалы . Конспекты лекций по информатике . Том. 1254. стр. 279–290. дои : 10.1007/3-540-63166-6_28 . ISBN 978-3-540-63166-8 .

Внешние ссылки [ править ]

Условные утверждения: пустая истина

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Пустая правда» . web.cse.ohio-state.edu . Архивировано из оригинала 18 ноября 2023 года . Проверено 15 декабря 2019 г.

[:2-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Пустая правда — CS2800 wiki» . курсы.cs.cornell.edu . Архивировано из оригинала 21 июня 2023 года . Проверено 15 декабря 2019 г.

[:3-3] Перейти обратно: ^а ^б «Определение: Пустая истина - ProofWiki» . prowiki.org . Проверено 15 декабря 2019 г.

[:4-4] Перейти обратно: ^а ^б Эдвардс, Швейцария (18 января 1998 г.). «Бессмысленная правда» (PDF) . swarthmore.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 28 апреля 2021 года . Проверено 14 декабря 2019 г.

[5] Болдуин, Дуглас Л.; Скрэгг, Грег В. (2011), Алгоритмы и структуры данных: наука о вычислениях , Cengage Learning, стр. 261, ISBN 978-1-285-22512-8

[6] «Array.prototype.every() — JavaScript | MDN» . http://developer.mozilla.org .

[7] «Встроенные функции – документация Python 3.10.2» . docs.python.org .

[8] «Итератор в std::iter — Rust» . doc.rust-lang.org .

[9] «логика – что такое пустая истина?» . Математический обмен стеками .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]