Пустая сумма

Не путать с нулевой суммой .

В математике , пустая сумма или нулевая сумма , представляет собой суммирование , в котором количество членов равно нулю. Естественный способ расширения непустых сумм состоит в том, чтобы позволить пустой сумме быть аддитивной идентичностью .

Позволять $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, ... — последовательность чисел, и пусть

$s_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}+\cdots +a_{m}$

— сумма первых m членов последовательности. Это удовлетворяет повторению

$s_{m}=s_{m-1}+a_{m}$

при условии, что мы используем следующее естественное соглашение: $s_{0}=0$.Другими словами, «сумма» $s_{1}$ только с одним термином оценивается как этот один термин, а «сумма» $s_{0}$ без условий оценивается как 0.Разрешение «суммы» только с 1 или 0 членами уменьшает количество случаев, которые необходимо учитывать во многих математических формулах. Такие «суммы» являются естественными отправными точками в индукционных доказательствах , а также в алгоритмах. По этим причинам расширение «пустая сумма равна нулю» является стандартной практикой в ​​математике и компьютерном программировании (при условии, что в домене есть нулевой элемент ).По той же причине пустое произведение считается мультипликативным тождеством .

Для сумм других объектов (таких как векторы , матрицы , полиномы ) значение пустого суммирования принимается за его аддитивную единицу .

Примеры

Пустые линейные комбинации

В линейной алгебре базой векторного пространства V является линейно независимое подмножество B что каждый элемент V является линейной комбинацией B. такое , Соглашение о пустой сумме позволяет нульмерному векторному пространству V = {0} иметь базис, а именно пустое множество.

См. также

• Пустой продукт
• Итерированная бинарная операция
• Пустая функция