Элемент идентификации
В математике единичный элемент или нейтральный элемент бинарной операции — это элемент, который оставляет неизменным каждый элемент при применении операции. [1] [2] Например, 0 — это единичный элемент сложения действительных чисел . Это понятие используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца . Термин «элемент идентичности» часто сокращается до «идентичность» (как в случае аддитивной идентичности и мультипликативной идентичности). [3] когда нет возможности путаницы, но идентичность неявно зависит от бинарной операции, с которой она связана.
Определения [ править ]
Пусть ( S , ∗) — множество S , снабженное бинарной операцией ∗. Тогда элемент e из S называется левая единица , если e ∗ s = s для всех s из S и a правая идентичность если s ∗ e = s для всех s из S. , [4] Если e одновременно является левым и правым тождеством, то оно называется двусторонняя идентичность , или просто личность . [5] [6] [7] [8] [9]
Тождество относительно сложения называется аддитивное тождество (часто обозначаемое как 0) и тождество относительно умножения называется мультипликативное тождество (часто обозначается как 1). [3] Это не обязательно должны быть обычные сложение и умножение, поскольку лежащая в их основе операция может быть довольно произвольной. Например, в случае группы идентификационный элемент иногда просто обозначается символом . Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для множеств, которые поддерживают как бинарные операции, такие как кольца , целые области и поля . Мультипликативное тождество часто называют единство в последнем контексте (кольцо с единством). [10] [11] [12] Это не следует путать с единицей в теории колец, которая представляет собой любой элемент, имеющий мультипликативный обратный . По своему собственному определению единство само по себе обязательно является единицей. [13] [14]
Примеры [ править ]
Свойства [ править ]
В примере S = { e,f } с заданными равенствами S — полугруппа . Это демонстрирует возможность для ( S , ∗) иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левым тождеством. Аналогично, правильных тождеств может быть несколько. Но если есть и правая, и левая идентичности, то они должны быть равны, в результате чего получается одна двусторонняя идентичность.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если l — левая тождество, а r — правая тождество, то l = l ∗ r = r . В частности, никогда не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем, e и f , то e ∗ f должно было бы быть равно как e , так и f .
Также вполне возможно, что ( S , ∗) имеет не единичного элемента, [15] например, в случае четных целых чисел при операции умножения. [3] Другим распространенным примером является векторное произведение векторов направление , где отсутствие единичного элемента связано с тем фактом, что любого ненулевого векторного произведения всегда ортогонально любому умножаемому элементу. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример структуры без единичного элемента включает в себя аддитивную полугруппу положительных натуральных чисел .
См. также [ править ]
- Поглощающий элемент
- Противоположное число
- Обобщенный обратный
- Идентичность (уравнение)
- Функция идентификации
- Обратный элемент
- Моноид
- Псевдорольцо
- Квазигруппа
- Юнитал (значения)
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент идентичности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ «Определение ЭЛЕМЕНТА ИДЕНТИЧНОСТИ» . www.merriam-webster.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Перейти обратно: а б с «Элемент идентичности» . www.энциклопедия.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Фрэли (1976 , стр. 21)
- ^ Борегар и Фрели (1973 , стр. 96)
- ^ Фрэли (1976 , стр. 18)
- ^ Херштейн (1964 , стр. 26)
- ^ Маккой (1973 , стр. 17)
- ^ «Элемент идентичности | Блестящая вики по математике и естественным наукам» . блестящий.орг . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Борегар и Фрели (1973 , стр. 135)
- ^ Фрэли (1976 , стр. 198)
- ^ Маккой (1973 , стр. 22)
- ^ Фрэли (1976 , стр. 198, 266)
- ^ Херштейн (1964 , стр. 106)
- ^ Маккой (1973 , стр. 22)
Библиография [ править ]
- Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
- Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225
Дальнейшее чтение [ править ]
- М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 , с. 14–15