Противоположное число

В математике — аддитивное обратное число . $a$ (иногда противоположностью a $называемое$ ) ^[1]это число, которое при добавлении к $a$ дает ноль . Операция перевода числа в аддитивное обратное называется сменой знака . ^[2] или отрицание . ^[3]Для действительного числа оно меняет свой знак : аддитивное обратное (противоположное число) положительному числу является отрицательным, а аддитивное обратное отрицательному числу положительное. Ноль — это аддитивная инверсия самого себя.

Аддитивный обратный $a$ обозначается унарным минусом : $- a$ (см. также § Связь с вычитанием ниже). ^[4] Например, аддитивная инверсия 7 равна −7, потому что 7 + (−7) = 0 , а аддитивная инверсия −0,3 равна 0,3, потому что −0,3 + 0,3 = 0 .

Точно так же аддитивным обратным выражением $a - b$ является $-(a - b)$ , который можно упростить до $b - a$ . Аддитивная обратная 2 x − 3 равна 3 − 2 x , потому что 2 x − 3 + 3 − 2 x = 0 . ^[5]

Аддитивный обратный элемент определяется как его обратный элемент при двоичной операции сложения (см. Также § Формальное определение ниже), что позволяет широко обобщить математические объекты, отличные от чисел. Как и любая обратная операция, двойная аддитивная обратная операция не имеет итогового эффекта : $-(- x) = x$ .

Эти комплексные числа, два из восьми значений ⁸√ 1 , взаимно противоположны

Типичные примеры [ править ]

Для числа (и вообще в любом кольце ) аддитивную обратную величину можно вычислить путем умножения на −1 ; то есть $- n = -1 \times n$ . Примерами колец чисел являются целые числа , рациональные числа , действительные числа и комплексные числа .

Связь с вычитанием [ править ]

Аддитивное обратное тесно связано с вычитанием , которое можно рассматривать как сложение противоположного:

а - б знак равно а + (- б)

.

И наоборот, аддитивное обратное можно рассматривать как вычитание из нуля:

- а знак равно 0 - а

.

Следовательно, унарное обозначение знака минус можно рассматривать как сокращение для вычитания (без символа «0»), хотя в правильной типографике не должно быть пробела после унарного «-».

Другая недвижимость [ править ]

Помимо перечисленных выше тождеств, отрицание обладает следующими алгебраическими свойствами:

$-(- a) = a$ , это операция инволюции
$-(а + б) знак равно (- а) + (- б)$
$-(а - б) знак равно б - а$
$а - (- б) знак равно а + б$
$(- а) \times б знак равно а \times (- б) знак равно - (а \times б)$
(- а ) × (- б ) знак равно а × б
- в частности, $(- a) 2 = а 2$

Формальное определение [ править ]

Обозначение + обычно зарезервировано для коммутативных двоичных операций (операций, где $x + y = y + x$ для всех $x$ , $y$ ). Если такая операция допускает единичный элемент $o$ (такой, что $x + o ( = o + x) = x$ для всех $x$ ), то этот элемент уникален ( $o' = o' + o = o$ ). Для данного $x$ , если существует $x'$ такой, что $x + x' ( = x' + x) = o$ , то $x'$ называется аддитивным обратным $x$ .

Если + ассоциативно , т. е. $(x + y) + z = x + (y + z)$ для всех $x$ , $y$ , $z$ , то аддитивное обратное единственное. Чтобы убедиться в этом, пусть $x'$ и $x″$ являются аддитивными инверсиями $x$ ; затем

Икс' знак равно Икс' + о знак равно Икс' + (Икс + Икс″) знак равно (Икс' + Икс) + Икс″ знак равно о + Икс″ = Икс″

.

Например, поскольку сложение действительных чисел ассоциативно, каждое действительное число имеет уникальное аддитивное обратное число.

Другие примеры [ править ]

Все следующие примеры на самом деле являются абелевыми группами :

Комплексные числа : $-(а + би) знак равно (- а) + (- б) я$ . На комплексной плоскости эта операция поворачивает комплексное число на 180 градусов вокруг начала координат (см. изображение выше ).
Сложение действительных и комплекснозначных функций: здесь аддитивной обратной функцией $f$ является функция $- f,$ определенная формулой $(- f)(x) = - f (x)$ для всех $x$ , такая что $f + (- f) = o$ , нулевая функция ( $o (x) = 0$ для всех $x$ ).
В более общем смысле, то, что предшествует, относится ко всем функциям со значениями в абелевой группе («ноль» означает единичный элемент этой группы):
Последовательности , матрицы и сети также являются особыми видами функций.
В векторном пространстве аддитивный обратный −v вектором , называют противоположным v ; часто он имеет ту же величину, что и исходный, и противоположное направление. Аддитивная инверсия соответствует скалярному умножению на −1. Для евклидова пространства это отражение точки в начале координат. Векторы в точно противоположных направлениях, но не обязательно одинаковой величины, иногда называют антипараллельными векторами .
- функции со значениями в векторном пространстве (не обязательно линейные),
В модульной арифметике также определяется модульная аддитивная обратная величина : $x$ это число $a$ такое, что $a + x \equiv 0 (mod n)$ . Эта аддитивная инверсия всегда существует. Например, обратное число 3 по модулю 11 равно 8, поскольку это решение уравнения $3 + x \equiv 0 (по модулю 11)$ .

Непримеры [ править ]

Натуральные числа , кардинальные числа и порядковые числа не имеют аддитивных обратных значений в своих соответствующих наборах . Таким образом, можно сказать, например, что натуральные числа имеют аддитивные обратные числа, но поскольку эти аддитивные обратные числа сами по себе не являются натуральными числами, множество натуральных чисел не замкнуто относительно аддитивных обратных чисел.

См. также [ править ]

−1
Абсолютное значение (связанное тождеством $|- x | = | x |$ ).
Аддитивная идентичность
Группа (математика)
Моноид
Обратная функция
Инволюция (математика)
Мультипликативный обратный
Рефлексия (математика)
Симметрия отражения
Полугруппа

Примечания и ссылки [ править ]

^ Тусси, Алан; Густавсон, Р. (2012), Элементарная алгебра (5-е изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790 .
^ Брейс, Коррин Пеллилло; Брейс, Чарльз Генри (1976). Базовая алгебра для студентов . Хоутон Миффлин. п. 54. ИСБН 978-0-395-20656-0 . ... чтобы получить аддитивный обратный член, мы меняем знак числа.
^ Термин « отрицание » относится к отрицательным числам , что может вводить в заблуждение, поскольку аддитивное обратное отрицательному числу является положительным.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная инверсия» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 августа 2020 г.
^ "Противоположное число" . www.learnalberta.ca . Проверено 27 августа 2020 г.

[1] Тусси, Алан; Густавсон, Р. (2012), Элементарная алгебра (5-е изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790 .

[2] Брейс, Коррин Пеллилло; Брейс, Чарльз Генри (1976). Базовая алгебра для студентов . Хоутон Миффлин. п. 54. ИСБН 978-0-395-20656-0 . ... чтобы получить аддитивный обратный член, мы меняем знак числа.

[3] Термин « отрицание » относится к отрицательным числам , что может вводить в заблуждение, поскольку аддитивное обратное отрицательному числу является положительным.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная инверсия» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 августа 2020 г.

[5] "Противоположное число" . www.learnalberta.ca . Проверено 27 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]