Отрицательное число
_mess_tent_still_does_not_break_out_of_the_sub-freezing_temperatures.jpg)
В математике отрицательное число представляет собой противоположность. [1] В действительной системе счисления отрицательное число — это число меньше нуля . Отрицательные числа часто используются для обозначения величины потерь или дефицита. Долг , который имеется в наличии , можно рассматривать как отрицательный актив. Если величина, такая как заряд электрона, может иметь один из двух противоположных смыслов, то можно выбрать различие между этими смыслами — возможно, произвольно — как положительный и отрицательный . Отрицательные числа используются для описания значений по шкале ниже нуля, например, шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры. Законы арифметики отрицательных чисел гарантируют, что в арифметике отражается здравый смысл противоположности. Например, − (−3) = 3, поскольку противоположное противоположному является исходным значением.
Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус впереди. Например, -3 представляет собой отрицательную величину со степенью три и произносится как «минус три» или «отрицательные три». Чтобы помочь отличить операцию вычитания от отрицательного числа, иногда знак минуса ставится немного выше знака минус (в виде верхнего индекса ). И наоборот, число, большее нуля, называется положительным ; ноль обычно ( но не всегда ) не считается ни положительным, ни отрицательным . [2] Положительность числа можно подчеркнуть, поставив перед ним знак плюса, например +3. В общем, отрицательность или положительность числа называют его знаком .
Каждое действительное число, кроме нуля, является либо положительным, либо отрицательным. Неотрицательные целые числа называются натуральными числами (т. е. 0, 1, 2, 3...), а положительные и отрицательные целые числа (вместе с нулем) называются целыми числами . (Некоторые определения натуральных чисел исключают ноль.)
В бухгалтерском учете суммы задолженности часто обозначаются красными числами или числами в круглых скобках в качестве альтернативного обозначения для обозначения отрицательных чисел.
Отрицательные числа использовались в «Девяти главах математического искусства» , которые в своей нынешней форме датируются периодом китайской династии Хань (202 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но вполне могут содержать гораздо более древний материал. [3] Лю Хуэй (ок. III век) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. [4] К VII веку индийские математики, такие как Брахмагупта, описывали использование отрицательных чисел. Исламские математики далее разработали правила вычитания и умножения отрицательных чисел и решили задачи с отрицательными коэффициентами . [5] До появления концепции отрицательных чисел такие математики, как Диофант, считали отрицательные решения задач «ложными», а уравнения, требующие отрицательных решений, описывались как абсурдные. [6] Западные математики, такие как Лейбниц, считали, что отрицательные числа недействительны, но все же использовали их в расчетах. [7] [8]
Введение [ править ]
Числовая линия [ править ]
Связь между отрицательными числами, положительными числами и нулем часто выражается в виде числовой прямой :
Числа, расположенные правее на этой линии, больше, а числа, расположенные левее, меньше. Таким образом, ноль появляется посередине, положительные числа справа, а отрицательные слева.
Обратите внимание, что отрицательное число большей величины считается меньшим. Например, хотя (положительное) 8 больше, чем (положительное) 5 , записано
отрицательный 8 считается меньше отрицательного 5 :
Числа со знаком [ править ]
В контексте отрицательных чисел число, большее нуля, называется положительным . Таким образом, каждое действительное число, кроме нуля, является либо положительным, либо отрицательным, а сам ноль не считается имеющим знак. Положительные числа иногда пишутся со знаком плюс впереди, например, +3 обозначает положительную тройку.
Поскольку ноль не является ни положительным, ни отрицательным, термин «неотрицательный» иногда используется для обозначения числа, которое является либо положительным, либо нулевым, тогда как «неположительный» используется для обозначения числа, которое является либо отрицательным, либо нулевым. Ноль – нейтральное число.
В результате вычитания [ править ]
Отрицательные числа можно рассматривать как результат вычитания большего числа из меньшего. Например, отрицательная тройка — это результат вычитания тройки из нуля:
Как правило, вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат, при этом величина результата равна разнице между двумя числами. Например,
так как 8 - 5 = 3 .
отрицательных чисел использование Повседневное
Спорт [ править ]
.jpg)
- Разница мячей в футбольных и хоккейных ассоциациях ; разница очков в регби ; чистая скорость бега в крикете ; результаты в гольфе относительно номинала .
- Плюс-минус дифференциал в хоккее : разница в общем количестве голов, забитых за команду (+) и против команды (-), когда конкретный игрок находится на льду, является рейтингом игрока +/-. Игроки могут иметь отрицательный (+/-) рейтинг.
- Дифференциал ранов в бейсболе : дифференциал ранов отрицательный, если команда допускает больше ранов, чем забивает.
- Клубы могут быть лишены очков за нарушение законов, и, таким образом, их общее количество очков будет отрицательным, пока они не наберут хотя бы такое количество очков в этом сезоне. [9] [10]
- Время круга (или сектора) в Формуле 1 может быть указано как разница по сравнению с предыдущим кругом (или сектором) (например, предыдущим рекордом или кругом, только что пройденным гонщиком впереди), и будет положительным, если медленнее и медленнее. отрицательный, если быстрее. [11]
- В некоторых видах легкой атлетики , таких как спринтерские забеги , бег с барьерами , тройной прыжок и прыжки в длину , влияние ветра . измеряется и регистрируется [12] и является положительным при попутном ветре и отрицательным при встречном. [13]
Наука [ править ]
- Температуры ниже 0 °C или 0 °F. [14] [15]
- Широта к югу от экватора и долгота к западу от нулевого меридиана .
- Топографическим особенностям земной поверхности придается высота над уровнем моря , которая может быть отрицательной (например, высота поверхности Мертвого моря или Долины Смерти или высота туннеля прилива Темзы ).
- Электрические цепи . Когда батарея подключена в обратной полярности, считается, что подаваемое напряжение противоположно ее номинальному напряжению. Например, 6-вольтовая батарея, подключенная в обратном порядке, подает напряжение -6 вольт.
- Ионы имеют положительный или отрицательный электрический заряд.
- Импеданс AM-вещательной вышки, используемой в многобашенных направленных антенных решетках, может быть положительным или отрицательным.
Финансы [ править ]
- Финансовая отчетность может включать отрицательные остатки, обозначаемые либо знаком минус, либо заключением баланса в круглые скобки. [16] Примеры включают овердрафты на банковских счетах и коммерческие потери (отрицательные доходы ).
- страны Годовой процентный рост ВВП может быть отрицательным, что является одним из показателей рецессии . [17]
- Иногда уровень инфляции может быть отрицательным ( дефляция ), что указывает на падение средних цен. [18]
- Ежедневное изменение цены акций или индекса фондового рынка , такого как FTSE 100 или Dow Jones .
- Отрицательное число в финансировании является синонимом «долга» и «дефицита», которые также известны как «нахождение в минусе».
- Процентные ставки могут быть отрицательными, [19] [20] [21] когда кредитору поручено внести свои деньги.
Другое [ править ]
.jpg)
- Нумерация этажей в здании ниже первого этажа.
- При воспроизведении аудиофайла на портативном медиаплеере , таком как iPod , на экране может отображаться оставшееся время в виде отрицательного числа, которое увеличивается до нуля. Оставшееся время увеличивается с той же скоростью, что и уже воспроизведенное время увеличивается с нуля.
- Телевизионные игровые шоу :
- Участники QI часто заканчивают с отрицательным результатом.
- Команды University Challenge получают отрицательный балл, если их первые ответы неверны и прерывают вопрос.
- Опасность! имеет отрицательный денежный счет — участники играют на определенную сумму денег, и любой неправильный ответ, который стоит им больше, чем то, что у них есть сейчас, может привести к отрицательному счету.
- В The Price Is Right ценовой игре «Купи или продай » , если теряется сумма денег, превышающая сумму, находящуюся в данный момент в банке, она получает отрицательный балл.
- Изменение поддержки политической партии между выборами, известное как колебание .
- политика Рейтинг одобрения . [22]
- В видеоиграх отрицательное число указывает на гибель людей, ущерб, штрафные очки или потребление ресурса, в зависимости от жанра симуляции.
- Сотрудники с гибким рабочим графиком могут иметь отрицательный баланс в своем табеле учета рабочего времени , если они отработали меньше часов, чем указано в контракте на этот момент. Сотрудники могут иметь возможность получить в течение года сумму, превышающую их годовое отпускное пособие, и перенести отрицательный баланс на следующий год.
- Транспонирующие ноты на электронной клавиатуре отображаются на дисплее положительными числами для увеличения и отрицательными числами для уменьшения, например, «-1» на один полутон вниз.
Арифметика с отрицательными числами [ править ]
« Знак минус -» означает оператор как для двоичной (с двумя операндами ) операции вычитания ) , (как в y - z так и для унарной (с одним операндом) операции отрицания (как для - x или дважды для -( - Икс ) ). Особый случай унарного отрицания возникает, когда оно работает с положительным числом, и в этом случае результатом является отрицательное число (как в -5 ).
Неоднозначность символа «-» обычно не приводит к двусмысленности в арифметических выражениях, поскольку порядок операций делает возможной только одну или другую интерпретацию для каждого «-». Однако это может привести к путанице и затруднению понимания выражения, если символы оператора расположены рядом друг с другом. Решением может быть заключение унарного знака «-» в круглые скобки вместе с его операндом.
Например, выражение 7 + −5 может быть более понятным, если написать 7 + (−5) (хотя формально они означают одно и то же). Выражение вычитания — это другое выражение , 7–5 которое не представляет те же операции, но дает тот же результат.
Иногда в начальных школах перед числом может стоять надстрочный знак минус или знак плюс, чтобы явно различать отрицательные и положительные числа, как в [23]
Дополнение [ править ]
Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел. Например,
Идея состоит в том, что два долга можно объединить в один долг большей величины.
При сложении смеси положительных и отрицательных чисел можно думать об отрицательных числах как о вычитаемых положительных количествах. Например:
В первом примере кредит в размере 8 сочетается с долгом в размере 3 , что дает общий кредит в размере 5 . Если отрицательное число имеет большую величину, то результат отрицательный:
Здесь кредит меньше долга, поэтому конечным результатом является долг.
Вычитание [ править ]
Как обсуждалось выше, вычитание двух неотрицательных чисел может дать отрицательный ответ:
В общем, вычитание положительного числа дает тот же результат, что и сложение отрицательного числа равной величины. Таким образом
и
С другой стороны, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и сложение положительного числа равной величины. (Идея состоит в том, что потерять долг — это то же самое, что получить кредит.) Таким образом,
и
Умножение [ править ]
При умножении чисел величина произведения всегда равна произведению двух величин. Знак произведения определяется следующими правилами:
- Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
- Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Таким образом
и
Причина первого примера проста: сложение трех -2 дает -6 :
Обоснование второго примера более сложное. Идея снова заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что и получение кредита. В этом случае потерять два долга по три в каждом — то же самое, что получить кредит в шесть:
Соглашение о том, что произведение двух отрицательных чисел является положительным, также необходимо для того, чтобы умножение соответствовало закону распределения . В этом случае мы знаем, что
Поскольку 2 × (−3) = −6 , произведение (−2) × (−3) должно равняться 6 .
Эти правила приводят к другому (эквивалентному) правилу — знак любого произведения a × b зависит от знака a следующим образом:
- если a положительно, то знак a × b такой же, как знак b , и
- если a отрицательно, то знак a × b противоположен знаку b .
Обоснование того, почему произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, можно наблюдать при анализе комплексных чисел .
Дивизия [ править ]
Правила знаков при делении такие же, как и при умножении. Например,
и
Если делимое и делитель имеют одинаковый знак, результат положительный, если они имеют разные знаки, результат отрицательный.
Отрицание [ править ]
Отрицательная версия положительного числа называется его отрицанием . Например, −3 — это отрицание положительного числа 3 . Сумма числа и его отрицания равна нулю:
То есть отрицание положительного числа является аддитивным обратным числом.
Используя алгебру , мы можем записать этот принцип в виде алгебраического тождества :
Это тождество справедливо для любого положительного числа x . Его можно сделать справедливым для всех действительных чисел, расширив определение отрицания, включив в него ноль и отрицательные числа. Конкретно:
- Отрицание 0 равно 0, и
- Отрицание отрицательного числа соответствует соответствующему положительному числу.
Например, отрицание −3 равно +3 . В общем,
Абсолютное значение числа – это неотрицательное число той же величины. Например, абсолютное значение -3 и абсолютное значение 3 равны 3 , а абсолютное значение 0 равно 0 .
Формальное построение отрицательных целых чисел [ править ]
Подобно рациональным числам , мы можем расширить натуральные числа N до целых чисел Z, определив целые числа как упорядоченную пару натуральных чисел ( a , b ). Мы можем распространить сложение и умножение на эти пары с помощью следующих правил:
Мы определяем отношение эквивалентности ~ для этих пар по следующему правилу:
Это отношение эквивалентности совместимо с определенными выше операциями сложения и умножения, и мы можем определить Z как фактормножество N² /~, т.е. мы идентифицируем две пары ( a , b ) и ( c , d ), если они эквивалентны в выше смысла. Обратите внимание, что Z , оснащенный операциями сложения и умножения, является кольцом и фактически является прототипом кольца.
Мы также можем определить общий порядок на Z, написав
Это приведет к аддитивному нулю формы ( a , a ), аддитивной обратной к ( a , b ) форме ( b , a ), мультипликативной единице формы ( a + 1, a ) и a определение вычитания
Эта конструкция является частным случаем конструкции Гротендика .
Уникальность [ править ]
Аддитивное обратное число уникально, как показывает следующее доказательство. Как упоминалось выше, аддитивное обратное число определяется как значение, которое при добавлении к числу дает ноль.
Пусть x — число, а y — его аддитивное обратное число. Предположим, что y’ — еще одна аддитивная инверсия x . По определению,
Итак, x + y′ = x + y . Используя закон сокращения для сложения, видно, что y′ = y . Таким образом, y равен любому другому аддитивному значению, обратному x . То есть y — уникальная аддитивная инверсия x .
История [ править ]
Долгое время понимание отрицательных чисел задерживалось из-за невозможности иметь количество физического объекта с отрицательным числом, например «минус три яблока», а отрицательные решения проблем считались «ложными».
В эллинистическом Египте греческий эквивалентно математик Диофант в III веке нашей эры ссылался на уравнение, которое было (которое имеет отрицательное решение) в Арифметике , заявив, что уравнение абсурдно. [24] По этой причине греческие геометры умели геометрически решать все формы квадратного уравнения, дающие положительные корни; в то время как они не могли принимать во внимание других. [25]
Отрицательные числа впервые в истории появляются в « Девяти главах математического искусства» (九章算術, Цзиу чжан суан-шу ), которые в своем нынешнем виде датируются периодом Хань , но вполне могут содержать гораздо более древний материал. [3] Математик Лю Хуэй (ок. III в.) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Историк Жан-Клод Марцлофф предположил, что важность двойственности в китайской натурфилософии облегчила китайцам принятие идеи отрицательных чисел. [4] Китайцы умели решать одновременные уравнения, включающие отрицательные числа. В Девяти главах использовались красные счетные стержни для обозначения положительных коэффициентов и черные стержни для обозначения отрицательных. [4] [26] Эта система является полной противоположностью современной печати положительных и отрицательных чисел в области банковского дела, бухгалтерского учета и торговли, где красные цифры обозначают отрицательные значения, а черные числа обозначают положительные значения. Лю Хуэй пишет:
Итак, существуют два противоположных вида счетных палочек для прибылей и убытков, назовем их положительными и отрицательными. Красные счетные палочки – положительные, черные – отрицательные. [4]
В древнеиндийском рукописи Бахшали вычисления проводились с отрицательными числами, используя «+» в качестве отрицательного знака. [27] Дата рукописи неизвестна. Л. В. Гурджар датирует его не позднее IV века, [28] Хёрнле датирует его третьим и четвертым веками, Айянгар и Пингри датируют его 8-м или 9-м веками. [29] и Джордж Гевергезе Джозеф датирует его примерно 400 годом нашей эры, не позднее начала VII века. [30]
В 7 веке нашей эры в Индии для обозначения долгов использовались отрицательные числа. Брахмагупта Индийский математик в книге «Брахма-Спута-Сиддханта» (написанной около 630 г. н.э.) обсудил использование отрицательных чисел для получения квадратичной формулы общей формы , которая используется и сегодня. [24]
В 9 веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. [5] Аль-Хорезми в своей работе «Аль-джабр ва'ль-мукабала» (от которой происходит слово «алгебра») не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. [5] Но уже через пятьдесят лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения. , [31] и аль-Караджи написал в своей книге «Аль-Фахри» , что «отрицательные количества следует считать терминами». [5] В 10 веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . [31]
К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиального деления . [5] Как пишет аль-Самаваль :
произведение отрицательного числа — ан-накиш (потеря) — на положительное число — аз-заид (прибыль) — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разницей. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если из положительного числа вычесть отрицательное число, то остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени ( мартаба халия ), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет тем же положительным числом. [5]
В XII веке в Индии Бхаскара II дал отрицательные корни квадратным уравнениям, но отверг их, поскольку они не подходили в контексте проблемы. Он заявил, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».
Фибоначчи допускал отрицательные решения финансовых проблем, где их можно было интерпретировать как дебет (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позже как убытки (во Flos , 1225).
В 15 веке Николя Шюке француз использовал отрицательные числа в качестве показателей степени. [32] но называл их «абсурдными цифрами». [33]
Майкл Стифел имел дело с отрицательными числами в своей (1544 г.) книге «Арифметика Интегра» , где он также называл их « numeri абсурдными» (абсурдными числами).
В 1545 году Джероламо Кардано в своей книге «Ars Magna» представил первую удовлетворительную трактовку отрицательных чисел в Европе. [24] Он не допускал отрицательных чисел при рассмотрении кубических уравнений , поэтому ему приходилось рассматривать, например, отдельно от (с в обоих случаях). В целом Кардано был вынужден изучить тринадцать типов кубических уравнений, в каждом из которых все отрицательные члены были перенесены на другую сторону знака =, чтобы сделать их положительными. (Кардано тоже имел дело с комплексными числами , но, по понятным причинам, они нравились им еще меньше.)
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
Цитаты [ править ]
- ^ «Целые числа — это набор целых чисел и их противоположностей», Ричард В. Фишер, Серьезная алгебра, 2-е издание, Основы математики, ISBN 978-0999443330
- ^ Соглашение о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, не является универсальным. Например, во французской конвенции ноль считается как положительным, так и отрицательным. Французские слова positif и négatif означают то же самое, что и английские «положительный или ноль» и «отрицательный или ноль» соответственно.
- ^ Перейти обратно: а б Стройк, страницы 32–33. «В этих матрицах мы находим отрицательные числа, которые появляются здесь впервые в истории».
- ^ Перейти обратно: а б с д Ходжкин, Люк (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Издательство Оксфордского университета. п. 88 . ISBN 978-0-19-152383-0 .
Лю ясно говорит об этом; в тот момент, когда в Девяти главах дается подробное и полезное «Правило знаков».
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж Рашид, Р. (30 июня 1994 г.). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Спрингер. стр. 36–37. ISBN 9780792325659 .
- ^ Диофант , Арифметика .
- ^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. п. 252.
- ^ Марта Смит. «История отрицательных чисел» .
- ^ «Нарушение потолка зарплат сарацинами: чемпионы премьер-лиги не будут оспаривать санкции» . Би-би-си Спорт . Проверено 18 ноября 2019 г.
Команда Марка МакКолла впоследствии опустилась с третьего на последнее место в Премьер-лиге с -22 очками.
- ^ «Болтон Уондерерс 1–0 Милтон Кейнс Донс» . Би-би-си Спорт . Проверено 30 ноября 2019 г.
Но на третьей минуте добавленного времени нападающий реализовал прострел Люка Мерфи с восьми ярдов и принес третью подряд победу в первой лиге команде Хилла, которая начала кампанию с -12 очками после перехода в администрацию в мае.
- ^ «Глоссарий» . Formula1.com . Проверено 30 ноября 2019 г.
Дельта времени: термин, используемый для описания разницы во времени между двумя разными кругами или двумя разными автомобилями. Например, обычно существует отрицательная разница между лучшим временем круга водителя и его лучшим временем круга в квалификации, потому что он использует низкий запас топлива и новые шины.
- ^ «BBC Sport — Олимпийские игры — Лондон 2012 — Прыжки в длину среди мужчин: лёгкая атлетика — Результаты» . 5 августа 2012 года. Архивировано из оригинала 5 августа 2012 года . Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ «Как работает помощь при ветре в легкой атлетике» . Elitefeet.com . 3 июля 2008 года . Проверено 18 ноября 2019 г.
Помощь ветра обычно выражается в метрах в секунду, как положительных, так и отрицательных. Положительное значение означает, что ветер помогает бегунам, а отрицательное значение означает, что бегунам приходится работать против ветра. Так, например, ветер −2,2 м/с и +1,9 м/с является законным, а ветер +2,1 м/с является слишком сильным и считается незаконным. Также часто используются термины «попутный ветер» и «встречный ветер». Попутный ветер толкает бегунов вперед (+), а встречный ветер толкает бегунов назад (-)
- ^ Форбс, Роберт Б. (6 января 1975 г.). Вклад в геологию бассейна Берингова моря и прилегающих регионов: избранные статьи симпозиума по геологии и геофизике региона Берингова моря, посвященного открытию здания CT Elvey Building, Университет Аляски, 26-28 июня, 1970 г., и со 2-го Международного симпозиума по арктической геологии, проходившего в Сан-Франциско 1-4 февраля 1971 г. Геологическое общество Америки. п. 194. ИСБН 9780813721514 .
- ^ Уилкс, Дэниел С. (6 января 2018 г.). Статистические методы в науках об атмосфере . Академическая пресса. п. 17. ISBN 9780123850225 .
- ^ Кэрисфорт, Кэрол; Нилд, Майк (2002), Двойная премия , Хайнеманн, с. 375, ISBN 978-0-435-44746-5
- ^ «Экономика Великобритании сократилась в конце 2012 года» . Новости BBC . 25 января 2013 года . Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ «Первый отрицательный показатель инфляции с 1960 года» . Независимый . 21 апреля 2009 г. Архивировано из оригинала 18 июня 2022 г. Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ «ЕЦБ вводит отрицательную процентную ставку» . Новости BBC . 5 июня 2014 года . Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ Линн, Мэтью. «Думаете, здесь не может быть отрицательных процентных ставок? Подумайте еще раз» . МаркетВотч . Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ «Процентная ставка в Швейцарии станет отрицательной» . Новости BBC . 18 декабря 2014 года . Проверено 5 декабря 2018 г.
- ^ Винтур, Патрик (17 июня 2014 г.). «Популярность Милибэнда и Клегга падает до самого низкого уровня, зафиксированного опросом ICM» . Хранитель . Проверено 5 декабря 2018 г. - через www.theguardian.com.
- ^ Грант П. Виггинс; Джей Мактай (2005). Понимание через дизайн . Публикации ACSD. п. 210 . ISBN 1-4166-0035-3 .
- ^ Перейти обратно: а б с Нидэм, Джозеф; Ван, Лин (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и земле (переиздание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 90. ИСБН 0-521-05801-5 .
- ^ Хит, Томас Л. (1897). Работы Архимеда . Издательство Кембриджского университета. стр. cxxxiii.
- ^ Нидэм, Джозеф; Ван, Лин (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и земле (переиздание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 90–91. ISBN 0-521-05801-5 .
- ^ Терези, Дик. (2002). Утерянные открытия: древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-684-83718-8 . Страница 65.
- ^ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Рукопись Бахшали» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 24 июля 2007 г.
- ^ Хаяши, Такао (2008), «Рукопись Бахшали» , в Хелейн Селин (редактор), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , том. 1, Спрингер, с. В2, ISBN 9781402045592
- ^ Терези, Дик. (2002). Утерянные открытия: древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-684-83718-8 . Страницы 65–66.
- ^ Перейти обратно: а б Бин Исмаил, Мэт Рофа (2008), «Алгебра в исламской математике», в Хелейн Селин (редактор), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , том. 1 (2-е изд.), Springer, с. 115, ISBN 9781402045592
- ^ Флегг, Грэм; Хэй, К.; Мосс, Б. (1985), Николя Шуке, математик эпохи Возрождения: исследование с обширными переводами математической рукописи Шуке, завершенное в 1484 году , D. Reidel Publishing Co., стр. 354, ISBN 9789027718723 .
- ^ Джонсон, Искусство (1999), Известные проблемы и их математики , Издательская группа Greenwood, стр. 56, ISBN 9781563084461 .
Библиография [ править ]
- Бурбаки, Николя (1998). Элементы истории математики . Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 .
- Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications.
Внешние ссылки [ править ]
- Биографические сведения Масереса
- Серия BBC Radio 4 « В наше время» , посвященная «Отрицательным числам», 9 марта 2006 г.
- Бесконечные примеры и упражнения: операции со знаковыми целыми числами
- Математический форум: Часто задаваемые вопросы доктора Математика: Отрицательное значение, умноженное на отрицательное
