0

← −1 0 1 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Список номеров ; Целые числа ; ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	0, ноль, «о» ( / oʊ / ) , ноль, ноль, ноль
Порядковый номер	Ноль, ноль, 0-й
Латинский префикс	никто
Двоичный	0 2
тройной	0 3
Сенарий	0 6
Восьмеричный	0 8
Двенадцатеричный	0 12
Шестнадцатеричный	0 16
арабский , курдский , персидский , синдхи , урду	٠
Индуистские цифры	०
Китайский	ноль, 〇
бирманский	0
кхмерский	0
тайский	๐
Ассамский, Бенгальский	০
Цифры майя	𝋠
азбука Морзе	_ _ _ _ _

Эта статья содержит специальные символы . Без надлежащей поддержки рендеринга вы можете увидеть вопросительные знаки, прямоугольники и другие символы .

0 ( ноль ) – число , обозначающее пустое количество . Добавление 0 к любому числу оставляет это число неизменным. математической терминологии 0 — это аддитивная идентичность целых В , рациональных , действительных и комплексных чисел , а также других алгебраических структур . Умножение любого числа на 0 дает результат 0, и, следовательно, деление на ноль не имеет смысла в арифметике .

Как числовая цифра 0 играет решающую роль в десятичной системе счисления: это указывает на то, что степень десяти , соответствующая месту, содержащему 0, не вносит вклад в общую сумму. Например, «205» в десятичном формате означает две сотни, не десятки, а пять единиц. Тот же принцип применяется в обозначениях разрядных чисел , в которых используется основание, отличное от десяти, например двоичное и шестнадцатеричное . Современное использование 0 таким образом происходит из индийской математики , которая была передана в Европу через средневековых исламских математиков и популяризирована Фибоначчи . Его независимо использовали майя .

Общие названия числа 0 на английском языке включают ноль , ноль , ноль ( / n ɔː t / ) и ноль . В контекстах, где хотя бы одна соседняя цифра отличает его от буквы O , число иногда произносится как oh или o ( / oʊ / ). Неофициальные или сленговые термины, обозначающие 0, включают zilch и zip . Исторически сложилось так, что следует , aught ( / ɔː t / ) и шифр также использовались.

Этимология

Слово «ноль» пришло в английский язык через французский «ноль» от итальянского «ноль» , сокращения венецианской формы «зеверо» от итальянского «зефиро» через «сафира» или «шифр» . ^[1] В доисламское время слово шифр (арабское صفر ) имело значение «пустой». ^[2] Сифр превратился в ноль, когда его использовали для перевода шуньи ( санскрит : शून्य ) из Индии. ^[2] Первое известное использование нуля в Англии произошло в 1598 году. ^[3]

Итальянский математик Фибоначчи ( ок. 1170 — ок. 1250 ), выросший в Северной Африке и которому приписывают введение десятичной системы в Европе, использовал термин зефирум . По-итальянски это стало зефиро , а затем по-венециански сократилось до нуля . Итальянское слово zefiro уже существовало (означающее «западный ветер» от латинского и греческого Zephyrus ) и, возможно, повлияло на написание при транскрипции арабского ṣifr . ^[4]

Современное использование

В зависимости от контекста для обозначения числа ноль или понятия нуля могут использоваться разные слова. Для обозначения простого понятия «недостаток» часто используются слова «ничего» и «нет». Британские английские слова «nought» или «naught» и « nil » также являются синонимами. ^[5]^[6]

Его часто называют «о» в контексте чтения ряда цифр, таких как номера телефонов , уличные адреса , номера кредитных карт , военное время или годы. Например, код города 201 может произноситься как «два ноль один», а год 1907 часто произносится как «девятнадцать ноль семь». Наличие других цифр, указывающих на то, что строка содержит только цифры, позволяет избежать путаницы с буквой О. По этой причине системы, включающие строки как с буквами, так и с цифрами (например, канадские почтовые индексы ), могут исключить использование буквы О. ^{[ нужна цитата ]}

Сленговые слова, обозначающие ноль, включают «zip», «пшик», «нада» и «царапина». ^[7]В контексте спорта иногда используется слово «nil», особенно в британском английском . В некоторых видах спорта есть специальные слова для нулевого результата, например, « любовь » в теннисе – от французского l'œuf , «яйцо» – и « утка » в крикете , сокращение от «утиное яйцо». «Гусиное яйцо» — еще один общий жаргонный термин, обозначающий ноль. ^[7]

История

Древний Ближний Восток

нфр

сердце с трахеей
красиво, приятно, хорошо

Древнеегипетские цифры имели основание 10 . ^[8]Они использовали иероглифы для обозначения цифр и не были позиционными . В одном папирусе , написанном около 1770 г. до н.э. , писец записывал ежедневные доходы и расходы двора фараона , используя иероглиф нфр для обозначения случаев, когда количество полученных продуктов питания было точно равно количеству выплаченных. Египтолог Алан Гардинер предположил, что иероглиф nfr использовался как символ нуля. Этот же символ использовался также для обозначения уровня основания на рисунках гробниц и пирамид, а расстояния измерялись относительно базовой линии как находящиеся выше или ниже этой линии. ^[9]

К середине 2-го тысячелетия до нашей эры вавилонская математика имела сложную основанием 60 позиционную систему счисления с . Отсутствие позиционного значения (или нуля) обозначалось пробелом между шестидесятеричными цифрами. В табличке, раскопанной в Кише (датируемой еще 700 г. до н. э. ), писец Бел-бан-аплу использовал три крючка в качестве заполнителя в той же вавилонской системе . ^[10] К 300 г. до н. э. знак препинания (два наклонных клина) стал использоваться в качестве заполнителя. ^[11]^[12]

Вавилонская позиционная система счисления отличалась от более поздней индуистско-арабской системы тем, что в ней явно не указывалась величина ведущей шестидесятеричной цифры, так что, например, единственная цифра 1 ( ) может представлять любое из 1, 60, 3600 = 60 ²и т. д., аналогично мантиссе числа с плавающей запятой , но без явного показателя степени и поэтому только неявно отличается от контекста. Знак-заполнитель, похожий на ноль, когда-либо использовался только между цифрами, но никогда отдельно или в конце числа. ^[13]

Доколумбовая Америка

Мезоамериканский календарь длинного счета , разработанный на юге центральной Мексики и в Центральной Америке, требовал использования нуля в качестве заполнителя в его двадцатеричной (основание 20) позиционной системе счисления. Множество различных символов, в том числе частичный четырехлистник, использовались в качестве нулевого символа для этих дат Длинного счета, самый ранний из которых (на стеле 2 в Чьяпа-де-Корсо, Чьяпас ) имеет дату 36 г. до н.э. ^[а]^[14]

Поскольку восемь самых ранних дат Длинного счета появляются за пределами родины майя, ^[15] обычно считается, что использование нуля в Америке предшествовало майя и, возможно, было изобретением ольмеков . ^[16] Многие из самых ранних дат Длинного счета были найдены в центре ольмеков, хотя цивилизация ольмеков прекратила свое существование к 4 веку до нашей эры , за несколько столетий до самых ранних известных дат Длинного счета. ^{[ нужна цитата ]}

Хотя ноль стал неотъемлемой частью цифр майя , с другой, пустой черепаховой « формой панциря », используемой для многих изображений цифры «ноль», предполагается, что он не повлиял на Старого Света . системы счисления ^{[ нужна цитата ]}

Кипу , устройство с завязанным шнуром, использовавшееся в Империи инков и предшествующих ей обществах в Андском регионе для записи бухгалтерских и других цифровых данных, закодировано в десятичной позиционной системе. Ноль обозначается отсутствием узла в соответствующем положении. ^[17]

Классическая античность

У древних греков не было символа нуля (μηδέν, произносится как «миден»), и они не использовали для него цифровой заполнитель. ^[18]По словам математика Чарльза Сейфа , древние греки начали использовать вавилонский заполнитель нуля для своей работы в астрономии после 500 г. до н. э., представляя его строчной греческой буквой ό ( όμικρον : омикрон ). Однако после использования вавилонского нуля для астрономических вычислений они обычно конвертировали числа обратно в греческие цифры . Греки, похоже, философски возражали против использования нуля в качестве числа. ^[19] Другие ученые относят частичное принятие греками вавилонского нуля к более поздней дате: нейробиолог Андреас Нидер указывает дату после 400 г. до н.э., а математик Роберт Каплан датирует ее после завоеваний Александра . ^[20]^[21]

Греки, казалось, не были уверены в статусе нуля как числа. Некоторые из них задавались вопросом: «Как не может быть?», что привело к философским, а к периоду Средневековья и религиозным спорам о природе и существовании нуля и вакуума . Парадоксы Зенона Элейского во многом зависят от неопределенной интерпретации нуля. ^[22]

К 150 году нашей эры Птолемей , под влиянием Гиппарха и вавилонян , использовал символ нуля ( — ° ). ^[23]^[24] в своей работе по математической астрономии под названием Syntaxis Mathematica , также известной как Альмагест . ^[25] Этот эллинистический ноль был, пожалуй, самым ранним задокументированным использованием цифры, обозначающей ноль, в Старом Свете. ^[26]Птолемей много раз использовал его в своем «Альмагесте» (VI.8) для обозначения величины солнечных и лунных затмений . Он представлял собой значение как цифр , так и минут погружения при первом и последнем контакте. Цифры непрерывно менялись от 0 до 12 и до 0 по мере прохождения Луны над Солнцем (треугольный импульс), где двенадцать цифр обозначали угловой диаметр Солнца. Минуты погружения были сведены в таблицы от 0 ′ 0″ до 31 ′ 20″ и до 0 ′ 0″, где 0 ′ 0″ использовал символ в качестве заполнителя в двух позициях своей шестидесятеричной позиционной системы счисления, ^[б]в то время как комбинация означала нулевой угол. Минуты погружения также были непрерывной функцией. 1 / 12 31 ′ 20″ √ d(24−d) (треугольный импульс с выпуклыми сторонами), где d — цифровая функция, а 31 ′ 20″ — сумма радиусов дисков Солнца и Луны. ^[27] Символ Птолемея был заполнителем, а также числом, используемым двумя непрерывными математическими функциями, одна внутри другой, поэтому он означал ноль, а не отсутствие.

Самое раннее использование нуля при расчете юлианской Пасхи произошло до 311 года нашей эры, в первой записи в таблице эпактов , сохранившейся в эфиопском документе за 311–369 годы, с использованием слова геэз , означающего «нет» ( В других местах английский перевод равен «0») наряду с цифрами геэз (на основе греческих цифр), которые были переведены из эквивалентной таблицы, опубликованной Александрийской церковью на средневековом греческом языке . ^[28] через латинское nulla («нет») Это использование было повторено в 525 году в эквивалентной таблице, которая была переведена Дионисием Эксигуусом , наряду с римскими цифрами . ^[29]Когда при делении в остатке получался ноль, nihil использовался , что означает «ничего». Эти средневековые нули использовались всеми будущими средневековыми калькуляторами Пасхи . Начальная буква «N» использовалась в качестве нулевого символа в таблице римских цифр Бедой или его коллегами около 725 года нашей эры. ^[30]

В большинстве культур число 0 было идентифицировано до того, как была принята идея отрицательных вещей (т. е. величин, меньших нуля). ^{[ нужна цитата ]}

Китай

Сунзи Суаньцзин неизвестной даты, но, по оценкам, датируемый 1-5 веками нашей эры , а также японские записи, датированные 18 веком, описывают, как 4-го века до китайская система счетных стержней нашей эры позволяла выполнять десятичные вычисления. Как отмечается в «Сяхоу Ян Суаньцзин» (425–468 гг. н. э.), чтобы умножить или разделить число на 10, 100, 1000 или 10 000, все, что нужно сделать с палочками на счетной доске, — это переместить их вперед, или назад, на 1, 2, 3 или 4 места. ^[32] Стержни обозначали десятичное представление числа, где пустое место обозначало ноль. ^[31]^[33] Система счетных стержней представляет собой позиционную систему обозначений . ^[34]^[35]

В то время ноль рассматривался не как число, а как «вакантная позиция». ^[36] » Цинь Цзюшао 1247 года «Математический трактат в девяти разделах является старейшим сохранившимся китайским математическим текстом, в котором используется круглый символ 〇 для обозначения нуля. ^[37]Происхождение этого символа неизвестно; он мог быть заимствован из индийских источников или создан путем изменения квадратного символа. ^[38] Китайские авторы были знакомы с идеей отрицательных чисел еще во времена династии Хань (2 век нашей эры) , как видно из «Девяти глав математического искусства» . ^[39]

Индия

Пингала ( ок. 3 или 2 век до н. э.), ^[40] знаток санскрита, занимающийся просодией , ^[41] использовали двоичные последовательности в виде коротких и длинных слогов (последние равны по длине двум коротким слогам), чтобы идентифицировать возможный действительный санскритский размер , обозначение, похожее на азбуку Морзе . ^[42] Пингала использовал санскритское слово шунья явно для обозначения нуля. ^[40]

Концепция нуля как записанной цифры в десятичном формате была разработана в Индии . ^[43] Символ нуля, большая точка, которая, вероятно, является предшественником все еще актуального полого символа, используется во всей рукописи Бахшали , практическом руководстве по арифметике для торговцев. ^[44] показало, что три образца рукописи В 2017 году радиоуглеродное датирование относятся к трем разным векам: от 224–383 гг. Н.э., 680–779 гг. Н.э. и 885–993 гг. Н.э., что делает его старейшим зарегистрированным использованием символа нуля в Южной Азии. Неизвестно, как . сложились воедино фрагменты бересты разных веков, составляющие рукопись ^[45]^[46]^[47]

Локавибхага , , джайнский текст по космологии сохранившийся в средневековом санскритском переводе пракритского оригинала , который внутренне датируется 458 годом нашей эры ( 380 год сака ), использует десятичную систему разрядов , включая ноль. В этом тексте шунья («пустой, пустой») также используется для обозначения нуля. ^[48]

В «Арьябхатии» ( ок. 499 г.) говорится: стханат стханам дашагунам сйат «с места на место каждое в десять раз превышает предыдущее». ^[49]^[50]^[51]

Правила, регулирующие использование нуля, появились в Брахмагупты » « Брахмапутха Сиддханте (7 век), в котором сумма нуля утверждается как ноль и неправильно описывается деление на ноль следующим образом: ^[52]^[53]

Положительное или отрицательное число, разделенное на ноль, представляет собой дробь, у которой нуль является знаменателем. Ноль, разделенный на отрицательное или положительное число, либо равен нулю, либо выражается дробью с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль, разделенный на ноль, равен нулю.

Эпиграфика

Черная точка используется в качестве заполнителя для десятичной дроби в рукописи Бахшали , части которой датируются 224–993 годами нашей эры. ^[45]

Существует множество надписей на медных пластинах с одной и той же маленькой буквой О , некоторые из них, возможно, датируются VI веком, но их дата или подлинность могут быть подвергнуты сомнению. ^[10]

Каменная табличка, найденная в руинах храма недалеко от Самбора на реке Меконг , провинция Кратье , Камбоджа , включает в себя надпись «605» кхмерскими цифрами (набор цифровых символов для индуистско-арабской системы счисления ). Число — год надписи в сакскую эпоху , соответствующий дате 683 года нашей эры. ^[54]

Первое известное использование специальных символов для десятичных цифр, включающее несомненное появление символа цифры ноль, маленького круга, появляется на каменной надписи, найденной в храме Чатурбхудж, Гвалиор , в Индии, датированной 876 годом. ^[55]^[56]

Средний возраст

Трансмиссия в исламскую культуру

Наследство арабском науки на языке было в основном греческим . ^[57] за которым последовали индуистские влияния. ^[58] В 773 году по повелению Аль-Мансура были сделаны переводы многих древних трактатов, в том числе греческих, римских, индийских и других.

В 813 году нашей эры астрономические таблицы были составлены персидским математиком Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми с использованием индуистских цифр; ^[58] и около 825 года он опубликовал книгу, в которой синтезировались греческие и индуистские знания, а также содержался его собственный вклад в математику, включая объяснение использования нуля. ^[59]Эта книга позже была переведена на латынь в XII веке под названием Algoritmi de numero Indorum . Это название означает «аль-Хорезми на цифрах индейцев». Слово «Алгоритми» было латинизацией переводчиком имени Аль-Хорезми, а слово « Алгоритм » или « Алгоризм » начало приобретать значение любой арифметики, основанной на десятичных дробях. ^[58]

Мухаммад ибн Ахмад аль-Хорезми в 976 году заявил, что, если в расчете вместо десятков не появляется число, следует использовать небольшой кружок, «чтобы сохранить ряды». Этот круг назывался шифр . ^[60]

Передача в Европу

Индо -арабская система счисления (основание 10) достигла Западной Европы в 11 веке через Аль-Андалус через испанских мусульман , мавров , вместе со знаниями классической астрономии и такими инструментами, как астролябия . Герберту Орийакскому приписывают возвращение утерянных учений в католическую Европу. По этой причине цифры стали известны в Европе как «арабские цифры». Итальянский математик Фибоначчи или Леонардо Пизанский сыграл важную роль во внедрении этой системы в европейскую математику в 1202 году, заявив:

После того как мой отец был назначен на родине государственным чиновником в таможне Буджиа для стекавшихся туда пизанских купцов, он взял на себя управление; и, учитывая его будущую полезность и удобство, я в детстве пришел к нему и там хотел, чтобы я посвятил себя и научился изучению вычислений в течение нескольких дней. Там, после моего знакомства с девятью пальцами индусов, как следствие чудесного обучения этому искусству, знание этого искусства очень привлекло меня прежде всех остальных, и благодаря этому я понял, что все его аспекты изучались в Египет, Сирия, Греция, Сицилия и Прованс с их различными методами; и в этих местах впоследствии, по делам. Я продолжил свое углубленное исследование и усвоил взаимовлияние споров. Но даже все это, а также алгоритмизм , как и искусство Пифагора , я считал почти ошибкой по отношению к методу индусов [ Modus Indorum ]. Поэтому, более строго приняв этот метод индусов и приложив более строгие усилия к его изучению, добавляя при этом некоторые вещи из моего собственного понимания и вставляя также некоторые вещи из тонкостей Евклида Геометрическое искусство . Я постарался составить эту книгу как можно более понятно, разделив ее на пятнадцать глав. Почти все, что я представил, я продемонстрировал с точными доказательствами, чтобы те, кто в дальнейшем ищет это знание с его выдающимся методом, могли быть проинструктированы, и, кроме того, чтобы что латинский народ не оказалось, лишен этого знания. , как они были до сих пор. Если я случайно упустил что-нибудь более или менее приличное или необходимое, то прошу снисхождения, так как нет человека, который был бы непорочным и совершенно предусмотрительным во всем. Девять индийских цифр: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. С помощью этих девяти цифр и знака 0 ... можно записать любое число. ^[61]

С 13 века руководства по вычислениям (сложение, умножение, извлечение корней и т. д.) стали распространены в Европе, где их называли algorismus в честь персидского математика аль-Хорезми . Одно популярное руководство было написано Иоганнесом де Сакробоско в начале 1200-х годов и стало одной из первых научных книг , напечатанных в 1488 году. ^[62]^[63] Практика вычислений на бумаге с использованием индийско-арабских цифр лишь постепенно вытеснила расчеты на счетах и запись римскими цифрами . ^[64] В 16 веке индийско-арабские цифры стали преобладающими цифрами, используемыми в Европе. ^[62]

Символы и изображения

Сегодня цифру 0 обычно записывают в виде круга или эллипса. Традиционно во многих печатных шрифтах заглавная буква О была более округлой, чем более узкая эллиптическая цифра 0. ^[65] Первоначально пишущие машинки не делали различий по форме между О и 0; в некоторых моделях даже не было отдельной клавиши для цифры 0. Это различие стало заметным на современных символьных дисплеях . ^[65]

Перечеркнутый ноль ( $0\!\!\!{/}$ ) часто используется, чтобы отличить число от буквы (например, в основном в вычислительной технике, навигации и в армии). Цифра 0 с точкой в центре, похоже, возникла как опция на дисплеях IBM 3270 и продолжилась в некоторых современных компьютерных шрифтах, таких как Andalé Mono , а также в некоторых системах бронирования авиабилетов. В одном варианте вместо точки используется короткая вертикальная полоса. В некоторых шрифтах, предназначенных для использования на компьютерах, одна пара заглавная-О-цифра-0 сделана более округлой, а другая - более угловатой (ближе к прямоугольнику). Еще одно различие делается в шрифте, препятствующем фальсификации , который используется на номерных знаках немецких автомобилей, путем разрезания цифры 0 в верхней правой части. В некоторых системах буква О, цифра 0 или обе исключены из употребления во избежание путаницы.

Математика

Понятие нуля играет в математике множество ролей: как цифра, оно является важной частью позиционных обозначений для представления чисел, а также играет важную роль как самостоятельный номер во многих алгебраических системах.

Как цифра

В позиционных системах счисления (например, в обычной десятичной системе счисления для представления чисел) цифра 0 играет роль заполнителя, указывая на то, что определенные степени основания не вносят вклада. Например, десятичное число 205 представляет собой сумму двух сотен и пяти единиц, причем цифра 0 означает, что десятки не добавляются. Такую же роль цифра играет и в десятичных дробях , и в десятичном представлении других действительных чисел (указывая на наличие каких-либо десятых, сотых, тысячных и т. д.) и в системах счисления, отличных от 10 (например, в двоичном, где она указывает на какие степени 2 опущены). ^[66]

Элементарная алгебра

Числовая линия от −3 до 3 с 0 в середине.

Число 0 — это наименьшее неотрицательное целое число и самое большое неположительное целое число. Натуральное число, следующее за 0, равно 1, и ни одно натуральное число не предшествует 0. Число 0 может считаться или не считаться натуральным числом . ^[67]^[68] но это целое число , а значит, рациональное и действительное число . ^[69] Все рациональные числа являются алгебраическими числами , включая 0. Когда действительные числа расширяются до комплексных чисел , 0 становится началом комплексной плоскости.

Число 0 нельзя считать ни положительным, ни отрицательным. ^[70] или, альтернативно, как положительные, так и отрицательные ^[71]и обычно отображается как центральное число в числовой строке . Ноль четный ^[72](то есть кратно 2), а также является целым числом, кратным любому другому целому, рациональному или действительному числу. Это число не является ни простым, ни составным : оно не является простым, поскольку простые числа больше 1 по определению, и не является составным, поскольку его нельзя выразить как произведение двух меньших натуральных чисел. ^[73] (Однако одноэлементное множество {0} является простым идеалом в кольце целых чисел.)

Ниже приведены некоторые основные правила работы с числом 0. Эти правила применимы к любому действительному или комплексному числу x , если не указано иное.

Сложение : х + 0 = 0 + х = х . То есть 0 является единичным элементом (или нейтральным элементом) относительно сложения.
Вычитание : Икс - 0 = Икс и 0 - Икс = - Икс .
Умножение : х · 0 = 0 · х = 0.
Разделение : 0 / x = 0, для ненулевого x . Но x / 0 не определено , поскольку 0 не имеет обратного мультипликативного числа (ни одно действительное число, умноженное на 0, не дает 1), что является следствием предыдущего правила. ^[74]
Возведение в степень : х ⁰ = x / x = 1, за исключением того, что случай x = 0 в некоторых контекстах считается неопределенным. Для всех положительных действительных x , 0 ^Икс = 0 .

Выражение 0/0 которое , можно получить при попытке определить предел выражения вида f ( x ) / g ( x ) в результате применения оператора lim независимо к обоим операндам дроби, представляет собой так называемую « неопределенную форму ». Это не означает, что искомый предел обязательно не определен; скорее, это означает, что предел f ( x ) / g ( x ) , если он существует, должен быть найден другим методом, например, правилом Лопиталя . ^[75]

Сумма 0 чисел ( пустая сумма ) равна 0, а произведение 0 чисел ( пустое произведение ) равно 1. Факториал 0! оценивается как 1, как частный случай пустого произведения. ^[76]

Другие применения в математике

Роль 0 как наименьшего счетного числа можно обобщить или расширить различными способами. В теории множеств 0 — это мощность пустого множества : если у человека нет яблок, то у него 0 яблок. Фактически, в некоторых аксиоматических разработках математики из теории множеств 0 определяется как пустое множество. ^[77]Когда это будет сделано, пустое множество станет кардинальным присвоением фон Неймана для множества без элементов, которое является пустым множеством. Функция мощности, примененная к пустому множеству, возвращает пустое множество как значение, тем самым присваивая ему 0 элементов.

Также в теории множеств 0 — это наименьший порядковый номер , соответствующий пустому множеству, рассматриваемому как хорошо упорядоченное множество . В теории порядка подполей (и особенно в теории решетки ) 0 может обозначать наименьший элемент решетки частично или другого упорядоченного множества .

Роль 0 как аддитивной идентичности выходит за рамки элементарной алгебры. В абстрактной алгебре 0 обычно используется для обозначения нулевого элемента , который является единичным элементом для сложения (если он определен в рассматриваемой структуре) и поглощающим элементом для умножения (если он определен). (Такие элементы также можно назвать нулевыми элементами .) Примеры включают единичные элементы аддитивных групп и векторных пространств . Другой пример — нулевая функция (или нулевое отображение области $D.$ ) в Это постоянная функция с 0 в качестве единственного возможного выходного значения, то есть это функция $f,$ определенная как $f (x) = 0$ для всех $x$ в $D$ . Как функция преобразования действительных чисел в действительные числа, нулевая функция является единственной функцией, которая является одновременно четной и нечетной .

Число 0 также используется несколькими другими способами в различных областях математики:

Нуль функции f — это точка x в области определения функции такая, что $f (x) = 0$ .
В пропозициональной логике 0 может использоваться для обозначения истинностного значения «ложь».
В теории вероятностей 0 — это наименьшее допустимое значение вероятности любого события. ^[78]
Теория категорий вводит идею нулевого объекта , часто обозначаемого 0, и связанную с ним концепцию нулевых морфизмов , которые обобщают нулевую функцию. ^[79]

Физика

Значение ноль играет особую роль для многих физических величин. Для некоторых величин нулевой уровень естественным образом выделяется среди всех других уровней, тогда как для других он выбирается более или менее произвольно. Например, для абсолютной температуры (обычно измеряемой в Кельвинах ) ноль — это наименьшее возможное значение. ( Для некоторых физических систем можно определить отрицательные температуры , но системы с отрицательной температурой на самом деле не холоднее.) Это контрастирует, например, с температурами по шкале Цельсия, где ноль произвольно определяется как точка замерзания воды . ^[80]^[81]При измерении интенсивности звука в децибелах или фонах нулевой уровень произвольно устанавливается на эталонном значении, например, на значении порога слышимости. В физике энергия нулевой точки — это наименьшая возможная энергия, которой может обладать квантовомеханическая физическая система , и энергия основного состояния системы.

Информатика

Современные компьютеры хранят информацию в двоичном формате , то есть используют «алфавит», содержащий только два символа, обычно выбираемых «0» и «1». Двоичное кодирование удобно для цифровой электроники , где «0» и «1» могут обозначать отсутствие или наличие электрического тока в проводе. ^[82] Компьютерные программисты обычно используют языки программирования высокого уровня , которые более понятны человеку, чем двоичные инструкции , которые непосредственно выполняются центральным процессором . 0 играет различные важные роли в языках высокого уровня. Например, логическая переменная хранит значение, которое является либо истинным , либо ложным, а 0 часто является числовым представлением ложного значения. ^[83]

0 также играет роль в индексации массива . Самая распространенная практика на протяжении всей истории человечества заключалась в том, чтобы начинать счет с единицы, и это практика в ранних классических языках программирования, таких как Фортран и КОБОЛ . ^[84] Однако в конце 1950-х годов LISP ввел начинающуюся с нуля, нумерацию массивов, в то время как Algol 58 представил совершенно гибкую основу для индексов массива (позволяя использовать любое положительное, отрицательное или нулевое целое число в качестве основы для индексов массива), и большинство последующих языков программирования приняли тот или иной этих должностей. ^{[ нужна цитата ]} Например, элементы массива нумеруются начиная с 0 в C , так что для массива из n элементов последовательность индексов массива идет от 0 до n -1 . ^[85]

Может возникнуть путаница между индексацией на основе 0 и 1; например, JDBC Java индексирует параметры с 1, хотя сама Java использует индексацию с отсчетом от 0. ^[86]

В языке C байт , содержащий значение 0, служит для указания места окончания строки символов. Кроме того, 0 — это стандартный способ ссылки на нулевой указатель в коде. ^[87]

В базах данных поле может не иметь значения. Тогда говорят, что оно имеет нулевое значение . ^[88]Для числовых полей это не нулевое значение. Для текстовых полей это не пустое поле и не пустая строка. Наличие нулевых значений приводит к трехзначной логике . Условие больше не является ни истинным , ни ложным , но оно может быть неопределенным . Любое вычисление, включающее нулевое значение, дает нулевой результат. ^[89]

В математике не существует «положительного нуля» или «отрицательного нуля», отличного от нуля; и -0, и +0 представляют собой одно и то же число. Однако в некоторых компьютерных представлениях чисел со знаком ноль имеет два различных представления: положительное, сгруппированное с положительными числами, и отрицательное, сгруппированное с отрицательными. Этот вид двойственного представления известен как знаковый ноль , причем последнюю форму иногда называют отрицательным нулем. Эти представления включают в себя со знаком и дополнением до единиц двоичные целочисленные представления (но не двоичную форму с дополнением до двух, используемую в большинстве современных компьютеров), а также большинство представлений чисел с плавающей запятой (таких как форматы с плавающей запятой IEEE 754 и IBM S / 390 ). . ^{[ нужна цитата ]}

Эпоха . , в вычислительной терминологии, — это дата и время, связанные с нулевой отметкой времени начинается Эпоха Unix в полночь первого января 1970 года. ^[90]^[91]^[92] Эпоха классической Mac OS и эпоха Palm OS начинаются в полночь первого января 1904 года. ^[93]

Многие API и операционные системы , которые требуют, чтобы приложения возвращали целочисленное значение в качестве статуса выхода, обычно используют ноль для обозначения успеха и ненулевые значения для обозначения конкретных условий ошибки или предупреждения. ^[94]^{[ нужна цитата ]}

Программисты часто используют перечеркнутый ноль , чтобы не путать с буквой « О ». ^[95]

Другие поля

Биология

В сравнительной зоологии и когнитивной науке признание того, что некоторые животные осознают концепцию нуля, приводит к выводу, что способность к числовой абстракции возникла на ранних этапах эволюции видов . ^[96]

Системы знакомств

В до нашей эры календарной эпохе первый год до нашей эры является первым годом перед 1 годом нашей эры; не существует нулевого года . Напротив, в астрономической нумерации лет год 1 до н.э. имеет номер 0, год 2 до н.э. имеет номер -1 и так далее. ^[97]

Смотрите также

Примечания

^ Никакой даты длинного счета, фактически использующей число 0, не было обнаружено до 3 века нашей эры, но поскольку система длинного счета не имела бы смысла без какого-либо заполнителя и поскольку мезоамериканские глифы обычно не оставляют пустых мест, эти более ранние даты принимаются как косвенное свидетельство того, что понятие 0 уже существовало в то время.
↑ Каждое место в шестидесятеричной системе Птолемея было записано греческими цифрами от 0 до 59 , где 31 было записано λα, что означает 30+1, а 20 было написано κ, что означает 20.

Библиография

Аксель, Амир Д. (2015). Нахождение нуля . Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. ISBN 978-1-137-27984-2 .
Азимов, Исаак (1978). «Ничто не имеет значения». Азимов о числах . Нью-Йорк: Карманные книги. ISBN 978-0-671-82134-0 . OCLC 1105483009 .
Барроу, Джон Д. (2001). Книга Ничего . Винтаж. ISBN 0-09-928845-1 .
Ченг, Евгения (2017). За пределами бесконечности: Экспедиция к внешним пределам математики . Основные книги. ISBN 978-1-5416-4413-7 .
Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-87342-0 .
Реймер, Дэвид (2014). Считай как египтянин . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-16012-2 .
Вудфорд, Крис (2006). Цифровая технология . Братья Эванс. ISBN 978-0-237-52725-9 . Архивировано из оригинала 17 августа 2019 года . Проверено 24 марта 2016 г.
Хилл, Кристиан (2020). Изучение научного программирования на Python (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-10707541-2 .

Исторические исследования

Бурбаки, Николя (1998). Элементы истории математики . Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8 .
Диль, Ричард А. (2004). Ольмеки: первая цивилизация Америки . Лондон: Темза и Гудзон. ISBN 978-0-500-28503-9 .
Ифра, Жорж (2000). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Уайли. ISBN 0-471-39340-1 .
Каплан, Роберт (2000). Ничто, что есть: естественная история нуля . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-198-02945-8 .
Сейфе, Чарльз (2000). Ноль: Биография опасной идеи . Пингвин США. ISBN 0-14-029647-6 .

Внешние ссылки

В поисках первого в мире нуля
История нуля
Нулевая сага
История алгебры
Эдсгер В. Дейкстра : Почему нумерация должна начинаться с нуля , EWD831 ( pdf рукописной рукописи)
Ноль в программе «В наше время» на BBC
Вайсштейн, Эрик В. «0» . Математический мир .
Тексты в Wikisource:
- " Нуль ". Британская энциклопедия (11-е изд.). 1911.
- " Нуль ". Американская энциклопедия . 1920.

[14] Никакой даты длинного счета, фактически использующей число 0, не было обнаружено до 3 века нашей эры, но поскольку система длинного счета не имела бы смысла без какого-либо заполнителя и поскольку мезоамериканские глифы обычно не оставляют пустых мест, эти более ранние даты принимаются как косвенное свидетельство того, что понятие 0 уже существовало в то время.

[28] Каждое место в шестидесятеричной системе Птолемея было записано греческими цифрами от 0 до 59 , где 31 было записано λα, что означает 30+1, а 20 было написано κ, что означает 20.

[1] 
Харпер, Дуглас (2011). "Нуль" . Этимологический этимологический словарь . Архивировано из оригинала 3 июля 2017 года. цифра, которая ничего не означает в арабской системе обозначений», а также «отсутствие всего количества, рассматриваемого как количество», около 1600 г., от французского нуля или непосредственно от итальянского нуля, от средневекового латинского zephirum, от арабского sifr «шифр», перевод санскрита sunya-m «пустое место, пустыня, ничто».
Меннингер, Карл (1992). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел . Публикации Courier Dover. стр. 399–404. ISBN 978-0-486-27096-8 . Проверено 5 января 2016 г.
"ноль, н." ОЭД онлайн . Издательство Оксфордского университета . Декабрь 2011. Архивировано из оригинала 7 марта 2012 года . Проверено 4 марта 2012 г. Французский ноль (1515 в Хацфельде и Дарместетере) или его исходный итальянский ноль, для *zefiro, <арабский çifr

[4] Харпер, Дуглас (2011). "Нуль" . Этимологический этимологический словарь . Архивировано из оригинала 3 июля 2017 года. цифра, которая ничего не означает в арабской системе обозначений», а также «отсутствие всего количества, рассматриваемого как количество», около 1600 г., от французского нуля или непосредственно от итальянского нуля, от средневекового латинского zephirum, от арабского sifr «шифр», перевод санскрита sunya-m «пустое место, пустыня, ничто».

[5] Меннингер, Карл (1992). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел . Публикации Courier Dover. стр. 399–404. ISBN 978-0-486-27096-8 . Проверено 5 января 2016 г.

[6] "ноль, н." ОЭД онлайн . Издательство Оксфордского университета . Декабрь 2011. Архивировано из оригинала 7 марта 2012 года . Проверено 4 марта 2012 г. Французский ноль (1515 в Хацфельде и Дарместетере) или его исходный итальянский ноль, для *zefiro, <арабский çifr

[smithsonian-2] Перейти обратно: ^а ^б
Смитсоновский институт. Восточные элементы культуры на Западе , с. 518, в Google Книгах . Годовой отчет Попечительского совета Смитсоновского института; Архив Гарвардского университета. «Сифр встречается в значении «пустой» еще в доисламское время. ...Арабское сифр в значении нуля является переводом соответствующего индийского сунья».
Галлберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Co. ISBN 978-0-393-04002-9 . п. 26: Ноль происходит от индуистского sunya – что означает пустота, пустота – через арабское sifr, латинское cephirum, итальянское zevero.
Логан, Роберт (2010). Поэзия физики и физика поэзии . Всемирная научная. ISBN 978-981-4295-92-5 . п. 38: Идея сюнья и чисел мест была передана арабам, которые перевели сунья или «оставить пространство» на свой язык как сифр.

[8] Смитсоновский институт. Восточные элементы культуры на Западе , с. 518, в Google Книгах . Годовой отчет Попечительского совета Смитсоновского института; Архив Гарвардского университета. «Сифр встречается в значении «пустой» еще в доисламское время. ...Арабское сифр в значении нуля является переводом соответствующего индийского сунья».

[9] Галлберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Co. ISBN 978-0-393-04002-9 . п. 26: Ноль происходит от индуистского sunya – что означает пустота, пустота – через арабское sifr, латинское cephirum, итальянское zevero.

[10] Логан, Роберт (2010). Поэзия физики и физика поэзии . Всемирная научная. ISBN 978-981-4295-92-5 . п. 38: Идея сюнья и чисел мест была передана арабам, которые перевели сунья или «оставить пространство» на свой язык как сифр.

[3] "Нуль" . Онлайн-словарь Мерриам Вебстер . Архивировано из оригинала 6 декабря 2017 года. }}

[ifrah-4] Ифра 2000 , с. 589

[5] «Коллинз — Бесплатный онлайн-словарь» .

[6] «Коллинз — Бесплатный онлайн-словарь, тезаурус и справочные материалы — ноль» .

[thesaurus-7] Перейти обратно: ^а ^б « Ага, синонимы» . Тезаурус.com . Архивировано из оригинала 23 августа 2014 года . Проверено 23 апреля 2013 г.

[8] Джей Джей О'Коннор; Э.Ф. Робертсон (2000). «Египетские цифры» . mathshistory.st-andrews.ac.uk . Университет Сент-Эндрюс. Архивировано из оригинала 15 ноября 2019 года . Проверено 21 декабря 2019 г.

[9] Лампкин, Беатрис (2002). «Математика, используемая в египетском строительстве и бухгалтерском учете». Математический интеллект . 24 (2): 20–25. дои : 10.1007/BF03024613 . S2CID 120648746 .

[FOOTNOTEKaplan2000-10] Перейти обратно: ^а ^б Каплан 2000 .

[11] Джей Джей О'Коннор; Э.Ф. Робертсон (2000). "Нуль" . История математики . Университет Сент-Эндрюс. Архивировано из оригинала 21 сентября 2021 года . Проверено 7 сентября 2021 г.

[12] «Вавилонская математика» . Открытый университет . 2016. Архивировано из оригинала 7 сентября 2021 года . Проверено 7 сентября 2021 г.

[FOOTNOTEReimer2014172-13] Реймер 2014 , с. 172.

[15] «Циклические взгляды на время» . www.mexicolore.co.uk . Проверено 20 января 2024 г.

[FOOTNOTEDiehl2004186-16] Диль (2004) , с. 186.

[17] Мортен, Вероника (28 ноября 2014 г.). «Золотой век цивилизации майя – обзор выставки» . Хранитель . Архивировано из оригинала 28 ноября 2014 года . Проверено 10 октября 2015 г.

[18] Леон, Мануэль де (20 декабря 2022 г.). «Узлы, обозначающие числа: математика инков» . ЭЛЬ-ПАИС английский . Проверено 5 июня 2024 г.

[19] Валлин, Нильс-Бертиль (19 ноября 2002 г.). «История нуля» . YaleGlobal онлайн . Центр международных и региональных исследований Уитни и Бетти Макмиллан в Йельском университете. Архивировано из оригинала 25 августа 2016 года . Проверено 1 сентября 2016 г.

[Seife2000-20] Сейфе, Чарльз (1 сентября 2000 г.). Ноль: Биография опасной идеи . Пингвин. п. 39. ИСБН 978-0-14-029647-1 . OCLC 1005913932 . Проверено 30 апреля 2022 г.

[Nieder2019-21] Нидер, Андреас (19 ноября 2019 г.). Мозг для чисел: биология числового инстинкта . МТИ Пресс. п. 286. ИСБН 978-0-262-35432-5 . Проверено 30 апреля 2022 г.

[FOOTNOTEKaplan200017-22] Каплан 2000 , с. 17.

[23] Хаггетт, Ник (2019). «Парадоксы Зенона» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2019 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 10 января 2021 года . Проверено 9 августа 2020 г.

[24] Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . стр. 13–14 , табл. 2. ISBN. 978-0-486-22332-2 .

[Mercier-25] Мерсье, Раймонд. «Рассмотрение греческого символа «ноль» » (PDF) . Дом Кайроса . Архивировано (PDF) из оригинала 5 ноября 2020 г. Проверено 28 марта 2020 г. ^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}

[Ptolemy-26] Птолемей (1998) [1984, ок. 150]. Альмагест Птолемея . Перевод Тумера, GJ Princeton University Press . стр. 306–307. ISBN 0-691-00260-6 .

[27] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э. Ф. «История нуля» . MacTutor История математики. Архивировано из оригинала 7 апреля 2020 года . Проверено 28 марта 2020 г.

[Pedersen-29] Педерсен, Олаф (2010) [1974]. Александр Джонс (ред.). Обзор Альмагеста . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер. стр. 232–235. дои : 10.1007/978-0-387-84826-6_7 . ISBN 978-0-387-84825-9 .

[Neugebauer-30] Нойгебауэр, Отто (2016) [1979]. Эфиопская астрономия и вычислительная техника (изд. Red Sea Press). Красное Море Пресс. стр. 25, 53, 93, 183, табличка I. ISBN. 978-1-56902-440-9 . . Страницы в этом издании имеют номера на шесть меньше, чем те же страницы в оригинальном издании.

[Dionysius-31] Декерс, Майкл (2003) [525]. «Cyclus Decemnovennalis Dionysii» [Девятнадцатилетний цикл Дионисия]. Архивировано из оригинала 15 января 2019 года.

[zero-32] CW Jones, изд., Didactic Works , vol. 123C в Corpus Christianorum, латинская серия .

[Hodgkin-33] Перейти обратно: ^а ^б Ходжкин, Люк (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Издательство Оксфордского университета. п. 85 . ISBN 978-0-19-152383-0 .

[34] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (январь 2004 г.), «Китайские цифры» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[35] «Китайские цифры» . История математики . Проверено 28 апреля 2024 г.

[36] Шен, Кроссли и Лун 1999 , с. 12: «Древняя китайская система — это система обозначений мест»

[37] Эберхард-Бреар, Андреа (2008), Селин, Хелейн (редактор), «Математика в Китае» , Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 1371–1378. , doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9453 , ISBN 978-1-4020-4425-0 , получено 28 апреля 2024 г.

[Crossley-38] Шен Каншен Кроссли, Джон Н.; Лун, Энтони В.-К. (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. п. 35. ISBN 978-0-19-853936-0 . ноль считался числом в Индии... тогда как китайцы занимали вакантную должность

[Qin-39] «Математика на Ближнем и Дальнем Востоке» (PDF) . grmath4.phpnet.us . п. 262. Архивировано (PDF) из оригинала 4 ноября 2013 года . Проверено 7 июня 2012 г.

[40] Марцлофф, Жан-Клод (2007). История китайской математики . Перевод Уилсона, Стивена С. Спрингера. п. 208. ИСБН 978-3-540-33783-6 .

[struik33-41] Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 32–33. « В этих матрицах мы находим отрицательные числа, которые появляются здесь впервые в истории » .

[plofker-42] Перейти обратно: ^а ^б Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. стр. 54–56 . ISBN 978-0-691-12067-6 . В Чанда-сутре Пингалы, датируемой, возможно, третьим или вторым веком до нашей эры, [...] использование Пингалой нулевого символа [шунья] в качестве маркера, по-видимому, является первой известной явной ссылкой на ноль. ... В Чанда-сутре Пингалы, датируемой, возможно, третьим или вторым веком до нашей эры, есть пять вопросов, касающихся возможных размеров для любого значения «n». [ ...] Ответ: (2) ⁷= 128, как и ожидалось, но вместо семи удвоений процесс (объясненный сутрой) потребовал только трех удвоений и двух возведений в квадрат – удобная экономия времени, когда «n» велико. Использование Пингалой нулевого символа в качестве маркера, по-видимому, является первой известной явной ссылкой на ноль.

[43] Ваман Шиварам Апте (1970). «Санскритская просодия и важные литературные и географические названия в древней истории Индии» . Студенческий санскритско-английский словарь . Мотилал Банарсидасс. стр. 648–649. ISBN 978-81-208-0045-8 . Проверено 21 апреля 2017 г.

[44] Холл, Рэйчел (15 февраля 2005 г.). «Математика для поэтов и барабанщиков: математика ритма» (PDF) (слайд-шоу). Университет Святого Иосифа. Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2019 года . Проверено 20 декабря 2015 г.

[bourbaki46-45] Бурбаки 1998 , с. 46

[Weiss-46] Вайс, Иттай (20 сентября 2017 г.). «Ничто не имеет значения: как изобретение нуля в Индии помогло создать современную математику» . Разговор . Архивировано из оригинала 12 июля 2018 года . Проверено 12 июля 2018 г.

[Devlin_2017-47] Перейти обратно: ^а ^б Девлин, Ханна (13 сентября 2017 г.). «Много шума из ничего: древнеиндийский текст содержит самый ранний нулевой символ» . Хранитель . ISSN 0261-3077 . Архивировано из оригинала 20 ноября 2017 года . Проверено 14 сентября 2017 г.

[48] Ревелл, Тимоти (14 сентября 2017 г.). «История нуля отодвинута на 500 лет назад древнеиндийским текстом» . Новый учёный . Архивировано из оригинала 25 октября 2017 года . Проверено 25 октября 2017 г.

[49] «Углеродное датирование обнаружило, что рукопись Бахшали содержит древнейшие зафиксированные источники происхождения символа «ноль» » . Бодлианская библиотека . 14 сентября 2017 года. Архивировано из оригинала 14 сентября 2017 года . Проверено 25 октября 2017 г.

[FOOTNOTEIfrah2000416-50] Ифра (2000) , с. 416.

[Aryab-51] Арьябхатия Арьябхаты , перевод Уолтера Юджина Кларка .

[52] Джей Джей О'Коннор; Э.Ф. Робертсон (2000). «Арьябхата Старший» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Архивировано из оригинала 11 июля 2015 года . Проверено 26 мая 2013 г.

[53] Уильям Л. Хош, изд. (15 августа 2010 г.). Британское руководство по числам и измерениям (объяснение математики) . Издательская группа Розен. стр. 97–98. ISBN 978-1-61530-108-9 . Проверено 26 сентября 2016 г.

[brahmagupta-54] Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары . Перевод Генри Томаса Коулбрука. Лондон: Джон Мюррей. 1817. OCLC 1039515732 .

[FOOTNOTEKaplan2000[httpsarchiveorgdetailsnothingthatisnat00kaplpage68_68–75]-55] Каплан 2000 , с. 68–75 .

[Cambodia-56] 
Кодес, Джордж (1931). «Предложение о происхождении арабских волос». Бюллетень Школы востоковедения Лондонского университета (на французском языке). 6 (2). Издательство Кембриджского университета: 323–328. дои : 10.1017/S0041977X00092806 . JSTOR 607661 . S2CID 130482979 .
Диллер, Энтони (1996). «Новые нули и старые кхмеры» (PDF) . Журнал мон-кхмерских исследований . 25 : 125–132.

[63] Кодес, Джордж (1931). «Предложение о происхождении арабских волос». Бюллетень Школы востоковедения Лондонского университета (на французском языке). 6 (2). Издательство Кембриджского университета: 323–328. дои : 10.1017/S0041977X00092806 . JSTOR 607661 . S2CID 130482979 .

[64] Диллер, Энтони (1996). «Новые нули и старые кхмеры» (PDF) . Журнал мон-кхмерских исследований . 25 : 125–132.

[57] Кассельман, Билл . «Все зря» . ams.org . Университет Британской Колумбии), Американское математическое общество. Архивировано из оригинала 6 декабря 2015 года . Проверено 20 декабря 2015 г.

[FOOTNOTEIfrah2000400-58] Ифра (2000) , с. 400.

[59] Паннекук, Антон (1961). История астрономии . Джордж Аллен и Анвин. п. 165. ИСБН 9780045200023 . OCLC 840043 .

[Durant-60] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дюрант, Уилл (1950). История цивилизации, том 4, Эпоха веры: от Константина до Данте – 325–1300 гг . н.э. Саймон и Шустер. ISBN 978-0-9650007-5-8 . п. 241: Арабское наследие науки было преимущественно греческим, но на втором месте стояло влияние индуизма. В 773 году по повелению Мансура были сделаны переводы Сиддхант – индийских астрономических трактатов, датируемых еще 425 годом до нашей эры; в этих версиях может быть средство, с помощью которого «арабские» цифры и ноль были перенесены из Индии в ислам. В 813 году аль-Хорезми использовал индуистские цифры в своих астрономических таблицах.

[61] Брезина, Корона (2006). Аль-Хорезми: изобретатель алгебры . Издательская группа Розен. ISBN 978-1-4042-0513-0 . Проверено 26 сентября 2016 г.

[62] Дюрант 1950 , с. 241: «В 976 году Мухаммад ибн Ахмад в своих «Клачах наук» заметил, что если при вычислении вместо десятков не появляется число, следует использовать небольшой кружок, «чтобы сохранить ряды». Этот кружок Мусульмане называли шифр , «пустой», отсюда и наш шифр».

[63] 
Сиглер, Лоуренс (2003). Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский книги вычислений Леонардо Пизано . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Спрингера. дои : 10.1007/978-1-4613-0079-3 . ISBN 978-1-4613-0079-3 .
Гримм, Ричард Э. (февраль 1973 г.). «Автобиография Леонардо Пизано» . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . Том. 11, нет. 1. С. 99–104. Архивировано из оригинала 26 ноября 2023 года.
Хансен, Алиса (2008). Начальная математика: расширение знаний на практике . МУДРЕЦ. дои : 10.4135/9781446276532 . ISBN 978-0-85725-233-3 . Архивировано из оригинала 7 марта 2021 года . Проверено 7 ноября 2020 г. .

[72] Сиглер, Лоуренс (2003). Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский книги вычислений Леонардо Пизано . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Спрингера. дои : 10.1007/978-1-4613-0079-3 . ISBN 978-1-4613-0079-3 .

[73] Гримм, Ричард Э. (февраль 1973 г.). «Автобиография Леонардо Пизано» . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . Том. 11, нет. 1. С. 99–104. Архивировано из оригинала 26 ноября 2023 года.

[74] Хансен, Алиса (2008). Начальная математика: расширение знаний на практике . МУДРЕЦ. дои : 10.4135/9781446276532 . ISBN 978-0-85725-233-3 . Архивировано из оригинала 7 марта 2021 года . Проверено 7 ноября 2020 г. .

[Karpinski1911-64] Перейти обратно: ^а ^б Смит, Делавэр; Карпинский, Л.К. (1911). «Распространение [индуистско-арабских] цифр в Европе» . Индо-арабские цифры . Джинн и компания. стр. 134–136 - из Интернет-архива.

[65] Педерсен, Олаф (1985). «В поисках Сакробоско». Журнал истории астрономии . 16 (3): 175–221. Бибкод : 1985JHA....16..175P . дои : 10.1177/002182868501600302 . S2CID 118227787 .

[FOOTNOTEIfrah2000588–590-66] Ифра 2000 , стр. 588–590.

[bemer-67] Перейти обратно: ^а ^б Бемер, RW (1967). «К стандартам рукописного нуля и ой: много шума из ничего (и буквы) или частичное досье о различении рукописного нуля и ой». Коммуникации АКМ . 10 (8): 513–518. дои : 10.1145/363534.363563 . S2CID 294510 .

[FOOTNOTEReimer2014156,_199–204-68] Реймер 2014 , стр. 156, 199–204.

[69] Бунт, Лукас Николаас Хендрик; Джонс, Филипп С.; Бедьен, Джек Д. (1976). Исторические корни элементарной математики . Публикации Courier Dover. стр. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5 . Архивировано из оригинала 23 июня 2016 года . Проверено 5 января 2016 г. , Отрывок из стр. 254–255. Архивировано 10 мая 2016 г. в Wayback Machine.

[FOOTNOTECheng201732-70] Ченг 2017 , с. 32.

[FOOTNOTECheng201741,_48–53-71] Ченг 2017 , стр. 41, 48–53.

[72] Вайсштейн, Эрик В. «Ноль» . Вольфрам . Архивировано из оригинала 1 июня 2013 года . Проверено 4 апреля 2018 г.

[73] Вейль, Андре (6 декабря 2012 г.). Теория чисел для начинающих . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8 . Архивировано из оригинала 14 июня 2021 года . Проверено 6 апреля 2021 г.

[74] Лемма B.2.2. Целое число 0 четное и не нечетное , в Пеннер, Роберт К. (1999). Дискретная математика: методы доказательства и математические структуры . Всемирная научная. п. 34 . ISBN 978-981-02-4088-2 .

[75] Рид, Констанс (1992). От нуля до бесконечности: чем интересны числа (4-е изд.). Математическая ассоциация Америки . п. 23. ISBN 978-0-88385-505-8 . ноль, не простой и не составной

[FOOTNOTECheng201747-76] Ченг 2017 , с. 47.

[77] Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и другие. (2017). Исчисление . Том. 1. Хьюстон, Техас: OpenStax. стр. 454–459. ISBN 978-1-938168-02-4 . OCLC 1022848630 . Архивировано из оригинала 23 сентября 2022 года . Проверено 26 июля 2022 г.

[gkp-78] Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 111. ИСБН 0-201-14236-8 .

[FOOTNOTECheng201760-79] Ченг 2017 , с. 60.

[FOOTNOTEKardar200735-80] Кардар 2007 , с. 35.

[81] Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте . Дувр. п. 103. ИСБН 978-0-486-80903-8 .

[82] Рекс, Эндрю; Финн, CBP (2017). Теплофизика Финна (3-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 8–16. ISBN 978-1-4987-1887-5 .

[FOOTNOTEKardar20074–5,_103–104-83] Кардар 2007 , с. 4–5, 103–104.

[FOOTNOTEWoodford20069-84] Вудфорд 2006 , с. 9.

[FOOTNOTEHill202020-85] Хилл 2020 , с. 20.

[86] Оверленд, Брайан (14 сентября 2004 г.). C++ без страха: руководство для начинающих, которое поможет вам почувствовать себя умным . Пирсон Образование. п. 132. ИСБН 978-0-7686-8488-9 .

[87] Оливейра, Суэли; Стюарт, Дэвид Э. (7 сентября 2006 г.). Написание научного программного обеспечения: руководство по хорошему стилю . Издательство Кембриджского университета. п. 64. ИСБН 978-1-139-45862-7 .

[88] «ResultSet (Java Platform SE 8)» . docs.oracle.com . Архивировано из оригинала 9 мая 2022 года . Проверено 9 мая 2022 г.

[89] Риз, Ричард М. (2013). Понимание и использование указателей C: основные методы управления памятью . О'Рейли Медиа. ISBN 978-1-449-34455-9 .

[90] Ву, Х.; Итикава, Т.; Черконе, Н. (25 октября 1996 г.). Поисковые системы по базам данных, основанные на базе знаний . Всемирная научная. ISBN 978-981-4501-75-0 . Архивировано из оригинала 31 марта 2022 года . Проверено 7 ноября 2020 г. .

[91] «Нулевые значения и тип, допускающий значение NULL» . ИБМ . 12 декабря 2018 г. Архивировано из оригинала 23 ноября 2021 г. Проверено 23 ноября 2021 г. Что касается служб, отправка нулевого значения в качестве аргумента при вызове удаленной службы означает, что данные не отправляются. Поскольку параметр приема имеет значение NULL, функция приема создает новое неинициализированное значение для отсутствующих данных, а затем передает его запрошенной сервисной функции.

[92] Поль Дюбуа. «Поваренная книга MySQL: решения для разработчиков и администраторов баз данных». Архивировано 24 февраля 2017 г. на Wayback Machine. 2014. п. 204.

[93] Арнольд Роббинс; Нельсон Биби. «Классические сценарии оболочки». Архивировано 24 февраля 2017 года на Wayback Machine . 2005. п. 274

[94] Изток Файфар. «Начните программировать с использованием HTML, CSS и JavaScript». Архивировано 24 февраля 2017 г. на Wayback Machine . 2015. п. 160.

[95] Даррен Р. Хейс. «Практическое руководство по компьютерным криминалистическим расследованиям». Архивировано 24 февраля 2017 года в Wayback Machine . 2014. п. 399

[96] Марк Дж. Рочкинд (1985). Продвинутое UNIX-программирование . Серия программного обеспечения Prentice-Hall. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0-13-011818-4 . Здесь: Раздел 5.5 "Выход из системного вызова", стр.114.

[97] «Обзор шрифтов: 42 лучших шрифта для моноширинного программирования» . codeproject.com . 18 августа 2010 года. Архивировано из оригинала 24 января 2012 года . Проверено 22 июля 2021 г.

[98] Цепелевич, Джордана (9 августа 2021 г.). «Животные считают и используют ноль. Как далеко заходит их чувство числа?» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 18 августа 2021 года.

[99] Сталь, Дункан (2000). Marking Time: Эпический квест по созданию идеального календаря . Джон Уайли и сыновья. п. 113 . ISBN 978-0-471-29827-4 . OCLC 1135427740 . В схеме до н.э./н.э. нулевого года нет. После 31 декабря 1 года до н.э. наступило 1 января 1 года нашей эры. ... Если вы возражаете против этой схемы без года и нуля, не используйте ее: используйте астрономическую схему счета с отрицательными числами лет.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[а]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[б]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

v т Это Теория чисел
Поля	Алгебраическая теория чисел ( теория полей классов , неабелева теория полей классов , теория Ивасавы , теория Ивасавы–Тейта , теория Куммера ) Аналитическая теория чисел ( аналитическая теория L-функций , вероятностная теория чисел , теория решета ) Геометрическая теория чисел Вычислительная теория чисел Трансцендентная теория чисел Diophantine geometry ( Arakelov theory , Hodge–Arakelov theory ) Арифметическая комбинаторика ( аддитивная теория чисел ) Арифметическая геометрия ( анабелева геометрия , P-адическая теория Ходжа ) Арифметическая топология Арифметическая динамика
Ключевые идеи	Числа 0 Натуральные числа Единство простые числа Составные числа Рациональное число Иррациональные числа Алгебраические числа Трансцендентные числа P-адические числа ( P-адический анализ ) Арифметика Модульная арифметика Китайская теорема об остатках Арифметические функции
Расширенные концепции	Квадратичные формы Модульные формы L-функции Диофантовы уравнения Диофантово приближение Непрерывные дроби
Категория Список тем Список развлекательных тем Викибук Викиверситет